Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2021-04-13 17:27:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Genesis Live Bataclan France 16mm January 10, 1973
Entry tags:math

Grothendieck-Teichmueller group, operads and graph complexes: a survey
Хорошее
https://arxiv.org/abs/1904.13097
Grothendieck-Teichmueller group, operads and graph complexes: a survey
Sergei Merkulov

душеполезный ликбез от Меркулова про Коно-Дринфельда,
мальцевские пополнения, Гротендика-Тейхмюллера
вот это все

в свое время я очень нуждался в человеческом
введении в мальцевские пополнения, для студентов,
вот это оно и есть


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]kaledin
2021-04-14 21:39 (ссылка)
А нафиг вообще в диффгеме координаты?? Некоторые сильно продвинутые вещи доказываются локальными вычислениями, но даже там координаты не помогают, пишут через скобки Ли и формулу Картана обычно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-15 01:50 (ссылка)
Мне кажется, координаты нужны наоборот в самом низу, для примеров (типа найти особые точки на кривой)
и многие вещи записываются проще, когда они отнесены не к произвольному векторному полю,
а происходят из двойственной к набору независимых дифференциалов функций системе
линейно независимых сечений TM.

Например, тот же внешний дифференциал проще записать в координатах, чем выразить его
через значение формы на поле и производную Ли (его легко определить по индукции,
конечно, но там надо доказывать корректность, и выглядит несколько искусственно);
интеграл формы обычно определяется через карту; уравнения Эйлера-Лагранжа можно
написать в бескоординатной форме, но они выглядят намного более громоздко
(и обычно их никто в такой форме не видел), а их "инвариантность" (т.е. независимость
от координат) и так очевидна, потому что они минимизируют функционал.

Это все, конечно, дифференциальная топология, а не геометрия; впрочем, уравнение
геодезической - частный случай Э.-Л. (оно совсем просто записывается бескоординатно,
но там спрятана связность, ассоциированная с метрикой - небось в координатах
её тоже определить проще).

Вот тут два ее вывода, в координатах и через формулу для произвольных векторных
полей:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_Riemannian_geometry

Опять же, "инвариантность" ассоциированной связности вытекает из единственности.

По-моему полезно рассказывать и так и эдак.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-15 02:54 (ссылка)
полезно рассказывать и так и эдак - универсальная истина

никак не дождусь, пока мне кто-нибудь без-координатно расскажет про
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation_in_curved_spacetime

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-15 18:08 (ссылка)
Если мне не изменяет память, то бескоординатное изложение сей науки должно быть в книжках типа Berline-Getzler-Vergne и записок Моргана про инварианты Зайберга-Виттена. Но я не уверен, что он понятнее, чем координатное, особенно если тебе надо что-то считать.

Ну и вообще я не понимаю нелюбви к координатам. По-моему некоторые вещи без них либо вообще нельзя сделать, либо в координатах оно выходит даже проще и короче, чем в бескоординатном виде а ля "формула Кошуля". Например C^2 и C^3 оценки в Калаби-Яу. Или вариация тензоров кривизны (скажем под действием Ricci Flow).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-15 20:19 (ссылка)
> Berline-Getzler-Vergne

похоже интересная книжка, спасибо

> не понимаю нелюбви к координатам

Я думаю, нелюбовь оттого, что если студенту вовремя не показать бескоординатный формализм, он потом ничего не понимает, я про физиков.
Тут уже вспомнили про Эйнштейна и координатные сингулярности, так такая история происходит по сей день.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 14:11 (ссылка)
>похоже интересная книжка, спасибо

Да, но может быть сложновато при первом чтении. Мне кажется, что стоит иметь какое-то представление про спиноры, связности и геометрию, если хочешь ее читать. Ну и вычисления примеров там пиздецовые, поэтому стоит глядеть еще куда-нибудь для лучшего понимания происходящего. У меня была для этого книжка Mikio Nakahara "Geometry, Topology and Physics", где достаточно понятно излагался вывод основных приложений теоремы Атьи-Зингера (эйлерова характеристика, Риман-Рох, Хирцебрух).

>что если студенту вовремя не показать бескоординатный формализм

Эта хуйня начинается с рассказов про тензоры как про "набор чисел, которые изменяются по такому-то закону". А дальше идет хуйня малафья про "символы Кристоффеля" и прочее говно с обилием индексов и без капли смысла. Если сразу рассказывать нормально (без индексов, равно как и без ебической абстракции).

Кстати, для физиков есть достаточно простой способ объяснить ковариантные производные без координат (ну почти). Надо просто сказать "мы хотим дифференцировать сечения векторных расслоений, но обычная производная не работает, поэтому мы делаем поправочку, которая называется связность". Ну не так даунски конечно (и многие физики не понимают слов "векторное расслоение", им надо что-то про представления), но идея понятная. Идиотизм, но что поделать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-17 00:44 (ссылка)
(и многие физики не понимают слов "векторное расслоение", им надо что-то про представления)

это типа которые квантовые поля изучали, не разобравшись с классическими?

Даже если читать сраного ландавшица2 вперемешку с МТУ, представление про связности получить довольно легко

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-17 05:53 (ссылка)
Но действительно многие физики не понимают, что тотальное пространство расслоения -
это просто пространство, где можно рисовать графики для полей.

Декартово произведение - это где обычные графики живут; оно же - тривиальное
расслоение. Но также, как локально евклидово пространство не обязано быть
евклидовым глобально, и так появляются многообразия, которые в физику
принес Эйнштейн, так и локально тривиальные расслоения не обязаны
быть тривиальными глобально; при этом полезно сказать, что над евклидовым
пространством локально тривиальное расслоение глобально тривиально,
то есть теория становится существенной именно при переходе к многообразиям.

Ну и пучки (на примере пучков локальных сечений) сюда же можно подтянуть;
объяснив, что глобальное поведение не отражает пучка, глобальные сечения
аналитических полей на компактном многообразии постоянны, а у расслоения
окружностей, ассоциированного с касательным на S^{2n}, глобальных сечений
нет вообще; и сюда же препятствия и характеристические классы.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-15 23:31 (ссылка)
>Ну и вообще я не понимаю нелюбви к координатам.

Дело вкуса. Я, нпаример, когда вижу индексы, перестаю читать.

Просто для кого-то математика это в конечном счете про числа, а для кого-то нет (а типа про множества там, или категории).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 01:12 (ссылка)
> Я, нпаример, когда вижу индексы, перестаю читать.

я дико извиняюсь за свое невежество, но бескоординатно это не то же самое, что безындексно.
вот правильный коммент о языке индексов
https://physics.stackexchange.com/questions/15002/mathematically-oriented-treatment-of-general-relativity/15006#15006

> для кого-то математика это в конечном счете про числа, а для кого-то нет

про две культуры мы уже где-то слышали

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 15:20 (ссылка)
>про две культуры мы уже где-то слышали

Вот причем здесь это, а?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 16:04 (ссылка)
я это написал потомучто "перестаю читать" звучит как понты.

лучше прокомментируйте коммент Маймуна про язык индексов.
вот мне индексы понятны сходу, хоть они часто уродливы.
а формы и звездочки менее понятны, но когда я их вижу, у меня текут слюни и я кидаюсь разбираться. как правило потом разочаровываюсь, и считаю, что они хороши только в очень уж простых случаях

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 16:59 (ссылка)
Что там комментировать? Это комментарий физика, о проблемах, которые есть у физиков. Потому что физикам крайне необходимо любой обьект свести к набору чисел (по-видимому затем, чтобы потом заткнуться и вычислять). Математикам это представляется странным половым извращением из викторианской эпохи.

>звучит как понты

Ну охуеть теперь.

А может быть, можно все-таки на шкаф-то не залезать?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 19:56 (ссылка)
> А может быть, можно все-таки на шкаф-то не залезать?

Я вроде дал понять, что гавкаю из-под шкафа и отлично это понимаю

> любой обьект свести к набору чисел

По-моему это совсем не о том, а о том, чтоб выбрять обозначения, которые делают этот объект геометрически узнаваемым (окей, для физика).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 21:02 (ссылка)
измеряй всё, и сделай неизмеримое измеримым, Галилей же сказал
в математике это тоже важный майндсет, но лишь один из многих
вместо измерения основополагающей идеей является строгость/красота
которые в физике, наоборот, нишевую роль играют (елико я понимаю)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 21:38 (ссылка)
да, а с другой стороны, понимание "физического смысла", который все так ценят, появляется как раз из рассматривания разных математических описаний и выработке интуитивного геометрического взгляда на объект. А вовсе не только из какого-то одного описания, которое позволяет побыстрее вычислить инвариант.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 06:23:24
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-17 07:04:19
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 07:37:09
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-17 07:56:16
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 08:01:16
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-17 18:20:45
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-18 01:41:45
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-18 02:48:18
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-19 03:46:07
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-20 21:34:43
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-20 22:09:11
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-21 00:31:31
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-21 04:14:22
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-21 18:17:09
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-21 08:45:19
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-21 18:16:09
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-21 18:47:29
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-22 04:14:06
(без темы) - [info]bors, 2021-04-23 21:48:13
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-24 01:24:58
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-24 02:11:45
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-24 02:54:51
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-24 03:27:46
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-24 13:57:31
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-24 19:05:54
(без темы) - [info]tiphareth, 2021-04-24 19:22:35
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-25 01:41:02
(без темы) - [info]bors, 2021-04-24 10:14:59
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-24 02:06:51

[info]sometimes
2021-04-17 06:11 (ссылка)
Не нишевую совсем; проблема, естественно, возникает в тот момент,
когда красивой модели нет и не предвидится, а посчитать есть сильный
lust, потому что кажется, что теория всего (или чего-то) уже вот-вот.

Хотя чем реальная реальность отличается от воображаемой, не знают
ни математики, ни физики.

Хорошо известно, что Максвелл люто-бешено пытался четверку
уравнений записать внятно, и даже залез на время в кватернионы
(потому что они красивые и по размерности подходили, das ist magisch!);
но математического аппарата (форм и расслоений) тогда просто ещё не было,
и он стучался мухой в стекло.

Или, например, есть такая замечательная штука, про которую мне рассказал
умный физик Лёня Л.: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D0%B9_%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B7_(%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0)
Вопрос состоит в том, можно ли заполнить пространство средой с переменным
показателем преломления, чтобы из каждой точки испущенный свет весь сходился
в какой-то другой точке; сейчас очевидно, что это вопрос про конформную
метрику с сопряженными точками, то есть про стереографическую проекцию
трехмерной сферы со стандартной метрикой; но трехмерные многообразия тогда
ещё не были популярны.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-17 06:20 (ссылка)
>которые делают этот объект геометрически узнаваемым

В смысле, свести к набору чисел. Геометрия-то тут причем?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bors
2021-04-16 22:05 (ссылка)
"Абстрактные" индексы в физике это просто способ обозначать количество векторов и ковекторов в тензоре, а так же для удобства обозначения по каким компонентам берётся след. Ну и конечно, это во многом координатное наследоство. По моим ощущениям, в этой области физики постепенно начинают отходить от координат. Есть некое понимание, что с координамаи они слишком сильно тупят в простых местах. Вот в квантовой физике всё намного хуже.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-17 00:24 (ссылка)
первый кумент по делу кстати

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-16 23:58 (ссылка)
я как-то только вижу "перестаю читать" сразу перестаю читать. сразу видно, что у пассажира сословие низкое.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-17 00:54 (ссылка)
предлагаю эмбарго на травлю в просветительских тредах на 3 дня
нарушителей будем травить на месте!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-17 04:15 (ссылка)
хуй выгрызи, уёбище

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-17 16:44 (ссылка)
заебал срать

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-17 18:17 (ссылка)
что, слабо оказалось "перестать читать"?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - (Анонимно), 2021-04-18 18:20:53
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-19 08:10:08
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-19 22:38:13

[info]kaledin
2021-04-17 06:19 (ссылка)
Клиенту, который озабочен иерархией сословий, очень тяжело жить.

Но сочувствия не жди. Тяжело жить, ну охуенно, пойди и убей себя; и нефига спамить тут.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-17 18:52 (ссылка)
хуй выгрызи, уёбище

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-18 15:53 (ссылка)
желаю вам эмбарго на 15 минут

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-16 13:52 (ссылка)
>Дело вкуса

Ну может быть. Мне кажется, что координатная запись и работа в координатах -- просто один из инструментов, который иногда адекватен поставленной задаче, а иногда нет. Чаще нет, но есть вещи, где без координат сложнее (как это ни странно).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 15:24 (ссылка)
>есть вещи, где без координат сложнее

Это само собой. Но чаще всего это анализ, т.е. искусство оценки; я им совершенно не владею.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-15 03:05 (ссылка)
>Например, тот же внешний дифференциал проще записать в координатах

Не уверен.

>связность, ассоциированная с метрикой - небось в координатах её тоже определить проще

Не только не проще, это вообще по-моему невозможно понять. Я по крайней мере не понимал, пока мне не обьяснили. А именно, берешь любую метрическую связность, потом поправляшь так, чтобы убрать кручение; это возможно потому, что пространство кручений и простанство поправок одинаковые -- \Lambda^2 T \otimes T -- а отображение это проекция из сечений T^{\otimes 3}, кососимметрических по первым двум аргументам, в сечения, кососимметрические по второму и третьему. И то, что это изоморфизм, теперь нетривиально, но понятно. А когда то же записано в коодинатах через символы Кристоффеля, как в книжке Милнора например, то выглядит как мутный бред.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-04-15 03:50 (ссылка)
внешний дифференциал определяется аксиоматически,
единственность следует из аксиом, то, что он действует
на пучке дифференциальных форм, из единственности.

Существование следует из того, что его можно записать
локально и из-за того, что любой эндоморфизм пучка
достаточно определить в малых окрестностях.

Локально он записывается, действительно, в координатах,
но формула занимает полстрочки (можно и без координат,
но тягостно и в общем незачем, оптимизировать полстрочки
это долбоебство уже)

http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-02.pdf

Let $t_1, ..., t_n$ be coordinate functions
on $\R^n$, $\alpha_i$ coordinate monomials, and $\alpha:= \sum f_i \alpha_i$.
Define $d(\alpha):= \sum_i \sum_j\frac{df_i}{dt_j}dt_j \wedge \alpha_i$.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-15 04:32 (ссылка)
> Существование следует из того, что его можно записать локально

Угу, я как раз об этом. Если писать не в координатах, там появляется
второе слагаемое, которое не имеет никакого отношения к формуле Стокса,
т.е. тому, что d - кограница, а является поправкой второго порядка из-за
того, что поля не коммутируют (может быть, у нее есть какой-то "глубокий
геометрический смысл", но мне он неизвестен):



Наверняка студентам полезно понимать, что формула Стокса - это фактически
тавтология, по модулю взаимоуничтожения внутренних границ; и дифференциал -
локальная формула Стокса и есть.

Вред от координат, с моей точки зрения, ровно таков: у (многих) студентов
стирается геометрический смысл, и они воспринимают дифференциальные
формы и проч. как формальную манипуляцию со значками (то, что Дмитрий
ниже называет "начетничеством" - но как раз там я его не вижу).

Есть знаменитая история, кстати, как Эйнштейн с Розеном отменили
гравитационные волны, потому что дифференциал выбранной проекции
у обращался в ноль (карты не хватило), а они решили, что у решения
особая точка и оно нефизично:

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/433234/Razgnevannyy_Eynshteyn_i_temnyy_retsenzent

При этом Эйнштейн, судя по всему, хорошо понимал, что такое связность и кривизна, в терминах
"локальных систем отсчета"; но, кажется, тогда у физиков это было редкость, поговорить ему было
не с кем, и из-за этого возник такой сбой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 05:15 (ссылка)
>и дифференциал - локальная формула Стокса и есть

Глупая точка зрения по-моему. Формула Стокса это факт про интегрирование; дифференциальное исчисление это что-то существенно более тривиальное и общее, и никакого отношения к интегрированию не имеет. А дифференциал пишется так: d(f)=df (где последнее есть универсальный элемент в модуле кэлеровых дифференциалов). Дальше по правилу Лейбница. И нефига переусложнять.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-15 06:12 (ссылка)
Интеграл - это понятие из линейной алгебры, называется "след". Цепи - это V, коцепи - это V^*. Дифференциал на коцепи - это значение коцепи на дифференциале цепи (что написано в первом слагаемом). Дифференциал формы - локальная формулировка топологического определения (вытащенная из электродинамических теорем Гаусса про "циркуляцию" и "поток", давших в качестве byproduct формулу для коэффициента зацепления).

Как артикулировал Михаил (а я, видимо, невнятно написал про правило Лейбница, говоря, что можно дифференциал определить по индукции), проблема в определении дифференциала формы - не как его посчитать ("единственность"), а почему если считать разными способами (форма n-й степени не одним способом раскладывается в произведение 1-формы и (n-1)-формы), получится одно и то же ("существование"). Доказать это не так чтоб сложно (это б.м. определение тензорного произведения), но получается определение, взятое с потолка, и волшебным образом согласованное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 06:48 (ссылка)
>Интеграл - это понятие из линейной алгебры, называется "след".

Офигенно; а теперь попробуй придать этой фразе математический смысл. У тебя не получится.

>получится одно и то же

Единственное, что там нужно доказывать, это что d^2=0. Это вычисление действительно локальное, но единственный способ его понять это проделать его на формальном пополнении (разумеется не говоря таких слов, просто градуировка по порядку). И увидеть, что там получается симметрическая алгебра от ацикличного комплекса. Иными словами, локально линеаризовать иногда полезно, но вот вводить в касательном и/или кокасательном пространстве базис не нужно строго ни для чего.

Хотя философски говоря, единственный способ на самом деле понять, откуда берутся дифференциальные формы, это теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга (которую они ровно для того и доказали).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-15 16:47 (ссылка)
> попробуй придать этой фразе математический смысл.

Называется distributions & currents. Собственно, теорема де Рама изначально так и доказывалась: https://www.springer.com/gp/book/9783642617546

> Единственное, что там нужно доказывать, это что d^2=0

Не понял. Вот есть правило Лейбница d (w_1 /\ w_2) = d w_1 /\ w_2 + (-1)^(deg w_1) w_1 /\ d w_2
Ты предлагаешь (а сначала я так предложил, но мне так не нравится) определить d так:

dw := Σ d f_i /\ d v_i | w = Σ f_i d v_i

Теперь у тебя есть другое разложение, w = Σ f'_i d v'_i.

Почему получится то же самое?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-04-15 18:11 (ссылка)


>Почему получится то же самое?

в силу того, что дифференциал удовлетворяет правилу
Лейбница, значит, определяется своими значениями
на любом наборе образующих алгебры

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 23:29 (ссылка)
Строго говоря, тебе надо выбрать образующие в алгебре функций, т.е. локальную линеаризацию. Но выбирать еще и координаты совершенно не за чем.

Чего надо реально избегать, это частных производных -- страшно мутное понятие, дебильное обозначение, и еще более мутная теорема о том, что "частные производные коммунитруют" -- при нормальном определении всего такого вопроса даже возникнуть не может.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-16 01:20:50
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-16 01:41:05
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-16 01:57:16
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-16 02:04:43
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-16 20:08:29
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-16 20:23:28
(без темы) - [info]tiphareth, 2021-04-16 20:36:24
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-16 20:57:36
(без темы) - [info]mr_utnubu, 2021-04-16 22:06:48
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-17 06:18:19
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 06:17:06
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-17 06:27:20
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 06:37:33
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-20 17:44:22
(без темы) - [info]tiphareth, 2021-04-20 19:24:40
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-20 21:51:52
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-17 07:18:18
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 07:33:54
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-17 07:38:34
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 07:58:44
(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-17 08:35:32
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-20 13:13:10
(без темы) - [info]mr_utnubu, 2021-04-17 09:19:34
(без темы) - [info]mr_utnubu, 2021-04-17 09:24:29
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 18:55:02
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-18 16:27:30
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-20 21:49:21
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-21 02:40:47
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-21 03:09:15
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-21 05:39:15
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-21 21:20:00
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-22 06:27:04
(без темы) - [info]tiphareth, 2021-04-17 13:18:06
(без темы) - [info]oort, 2021-04-17 17:17:39
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-17 18:51:46
(без темы) - [info]sasha_a, 2021-04-17 20:15:48
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-18 15:02:29
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-19 15:01:10
(без темы) - [info]tiphareth, 2021-04-19 17:01:00
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-19 18:27:05
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-16 21:23:15
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-17 06:29:49
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-16 02:03:36
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-16 02:47:43
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-16 03:06:59
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-16 03:58:29
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-16 04:32:33
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-16 05:35:58
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-16 15:17:26
(без темы) - [info]sometimes, 2021-04-16 05:39:49
(без темы) - [info]sasha_a, 2021-04-16 06:09:08

[info]kaledin
2021-04-15 23:21 (ссылка)
>Называется distributions & currents.

Ты ничего не сказал, извини.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]milinda
2021-04-17 15:48 (ссылка)
Скажите подробнее, пожалуйста. Почему "отправной точкой" должны быть гомологии Хохшильда? Непрерывные, кстати! Я не знаю, что представляют собой алгебраические для C^\infty M, но подозреваю, что ничего хорошего.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-18 03:40 (ссылка)
Это не то, чтобы отправная точка, но это место, где формы возникают более-менее сами, без насилия (в частности, именно как внешняя степень \Omega^1, а не там тензорная или симметрическая). А гомологии Хохшильда вещь как бы более естественная (в смысле, требующая меньше ад-хок предположений).

Насколько я понимаю, их на самом деле интересовало, что брать вместо форм в особом случае; более того, через год, в 63 году, ученик Хохшильда обнаружил, как писать дифференциал де Рама (тем самым открыв циклические гомологии, но этого никто не заметил).

Другой способ получить комплекс де Рама более-менее из первых принципов это начать думать про кристаллы (типа, слоган "когомологии это то, что не меняется при инфинитеземальных утолщениях"). Но во-первых, в 62 так еще не умели, а во-вторых, не факт, что это более по делу. Потому что как мы теперь знаем, самая-самая правильная и настоящая теория это все равно К-теория, а характер Черна естественным образом бьет именно в гомологии Хохшильда и иже с ними.

>Непрерывные, кстати!

Само собой.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-16 20:04 (ссылка)
интеграл это площадь фигуры под кривой же. или это интеграл лебезгуя?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sometimes
2021-04-16 20:52 (ссылка)
Я имел в виду следующее: есть векторное пространство k-цепей, то есть линейных комбинаций k-мерных гладких симплексов (или кубов); это стандартный первый шаг теории гомологий (потом выбирают линейные комбинации, у которых граница равна 0, и факторизуют по линейным комбинациям границ (k+1)-мерных симплексов; то, что получилось, называется k-мерным пространством гомологий).

И есть дифференциальные формы, субстрат интегрирования, тоже образующие векторное пространство; k-мерные формы можно интегрировать по гладким k-цепям, получается спаривание этих двух пространств.

Кроме этого, есть "обычные симплициальные (ко)гомологии", когда симплексы не гладкие, а любые непрерывные, и на пространстве их цепей берутся любые линейные функции, называемые "коцепи". Эта пара пространств строго двойственная, и спаривание V⨂V^* -> R в линейной алгебре называется "след" (пространство Hom(V, V) изоморфно пространству V⨂V^* в конечномерном случае, и это спаривание соответствует следу матрицы оператора из Hom(V, V) в любом базисе).

Конечно, гладкие симплексы - не то же самое, что любые; по произвольному непрерывному симплексу не проинтегрируешь, непрерывное отображение разрушает касательное пространство; но пространства (ко)гомологий для достаточно приличных многообразий получаются одинаковые, это называется "теорема де Рама", и причина этого в том, что любой симплекс и любую цепь можно сколь угодно хорошо приблизить гладкой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 21:43 (ссылка)
this, basically
https://www.youtube.com/watch?v=2ptFnIj71SM

(Ответить) (Уровень выше)


[info]milinda
2021-04-17 15:46 (ссылка)
Кстати, в \Omega^1_{C^\infty\R / \R} неверно de^x=e^xdx, это не алгебраическое соотношение потому что.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-17 18:48 (ссылка)
Да, там надо пополнять, к сожалению. Технически проще сначала определять векторные поля (есть лекции Арапуры, где оно все сделано плюс-минус оптимально).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bors
2021-04-19 00:18 (ссылка)
А как получить любую метрическую связность?

То что пространство поправок кососимметичное это вычисление, то что это изоморфизм - это тоже вычсиление. Формула из википедии доказывается в один шаг, если что.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-20 21:40 (ссылка)
>А как получить любую метрическую связность?

Взять любую и усреднить по ортогональной группе, ясное дело.

>То что пространство поправок кососимметичное это вычисление

Это еще почему? Алгебра Ли группы O это кососимметрические матрицы; факт хорошо известный, довольно очевидный, не требующий никаких координат, и уж точно без него в дифф. геометрии нечего делать.

Там нетривиальное маблюдение дальше, вот про то, что изоморфизм. Это факт про представления симметрической группы из трех букв, несложный, но нетривиальный. Из формул с индексами нормальный человек его увидеть не в состоянии, по-моему; я по крайней мере точно не могу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]bors
2021-04-30 02:49 (ссылка)
Съелся коммент. Ваш любимый "геометрический смысл" у нулевого кручения должен быть, просто я его не знаю. Подозреваю что это какое-то двумерное обобщение постоянных векторов вдоль геодезики. Т.е. если связность без курчения, то есть семейства геодезик с постоянными в направлении геодезик векторными полями, какая-нибудь такая херня. Тогда не удивительно, что как вы написали выше, однородные пространства сопротивляются нулевому кручению - такая двумерность не должна быть симметрична.

> Взять любую и усреднить по ортогональной группе
не понял по какому действию усреднять. Впрочем можно взять тривиальную связность локально и склеить.

>факт хорошо известный, довольно очевидный
согласен

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-04-15 03:07 (ссылка)
>https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_Riemannian_geometry

Как всегда, написана начетническая ерунда. Википедия по математике это вообще что-то с чем-то.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-15 03:42 (ссылка)
А русская и по истории - это вообще полный пиздец.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]deevrod
2021-04-15 07:29 (ссылка)
да нет, про формулу Кошуля сравнительно нормально

ну то есть всё то что ты говоришь, имеет место,
но к сожалению без формулы Кошуля доказать что-нибудь
простое (скажем, что у оператора внешней кривизны
на гиперповерхности собственные подпространства
конформно инвариантны) не получается

в координатах впрочем оно ещё хуже не получается

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 08:06 (ссылка)
Офигенно, но понять, в чем состоит формула Кошуля, нельзя по-моему без того, что я говорю. Потому что сначала линейная алгебра, потом уж формулы.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 01:25 (ссылка)
ну что такое кручение, геометрически тоже понять нельзя
кососимметрическая часть гессиана, где гессиан это что?

что это препятствие к 'интегрируемости' структуры,
параллельной относительно этой связности, тоже не есть
математическое утверждение

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 01:38 (ссылка)
По-хорошему, что такое кручение можно понять, только посмотрев на однородное пространство. Но хотя бы увидеть, что оно тензор, можно и без того.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 02:21 (ссылка)
> посмотрев на однородное пространство
а ты что-то конкретное имеешь ввиду?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 03:04 (ссылка)
?? Ну скобка же в алгебре Ли; один из членов (если G/H, то g/h \otimes g/h \to g/h). В симметрическом случае, когда g/h это (-1)-собственное значение инволюции, оно равно нулю, а вообще-то нет. А другой член -- g/h \otimes g/h \to h -- это кривизна. Все это для инвариантной связности на G/H, в предложении, что g/h отщеплено как H-модуль.

Узнал от Ани Абашевой кстати, она рассказывала на семинаре года полтора назад.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-04-16 06:21 (ссылка)
ну когда связность плоская, я и в общем случае могу
такое же определение дать: разнесём два вектора до
локальных параллельных векторных полей, вычислим
коммутатор. но это какая-то алгебра, а геометрический
смысл её туманен

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 15:15 (ссылка)
Ну, плоская! Плоская неинтересно. А это просто обьясняет известную теорему про то, что пространство симментрическое iff кривизна ковариантно постоянна. На самом деле, правильное утврждение не про симметрические, а про однородные, и надо брать метрическую связность с ков. постоянными кручением и кривизной.

>а геометрический смысл её туманен

Это может быть, но это я уж не знаю. Для меня всегда был туманен смысл слова "смысл" в выражении "геометрический смысл".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]deevrod, 2021-04-16 20:24:35

[info]milinda
2021-04-17 15:44 (ссылка)
Картан так его и придумал.

Я когда-то решил почитать, что он пишет про связности, мало что усвоил, зато сообразил следующее.

Пусть G < GL(m) -- связная подгруппа Ли, и пусть на m-мерном многообразии M задана G-структура. G расширяется до \tilde G = G \ltimes \R^m (подгруппа аффинной группы \R^m, порождённая G и сдвигами), а соответствующее главное G-расслоение P над M -- до главного \tilde G-раслоения \tilde P.

Теперь любая G-связность в TM -- эквивалентно, в P -- естественным образом задаёт некую \tilde G-связность в \tilde P. Кривизна этой новой связности -- 2-форма на \tilde P со значениями в \tilde g = g \oplus \R^m. Её g-компонента -- кривизна исходной сязности, \R^m-компонента -- кручение.

В терминах горизонтальных расслоений новая связность описывается следующим образом. Изоморфизм P \times^G \R^m \to TM задаёт каноническую \R^m-значную 1-форму на P ("припаивающая форма"; от связности не зависит). Исходная связность задаёт горизонтальное поднятие T_pM \to T_qP. Мы строим горизонтальное поднятие T_pM \to T_q \tilde P следующим образом: последнее пространство канонически раскладывается в прямую сумму T_qP \oplus \R^m, и наше поднятие будет такое: его композиция с проекцией на T_qP -- поднятие, заданное исходной связностью, а композиция с проекцией на \R^m равна T_pM \to T_qP \to \R^m, где первая стрелка -- поднятие, заданное исходной связностью, а вторая -- припаивающая форма.

Геометрическая картинка такая. Рассмотрим произвольный путь на M; G-связность отождествляет касательные пространства вдоль этого пути. Снесём параллельно векторы скорости нашего пути в касательное пространство к начальной точке, получим там вектор v(t), зависящий от времени, и проинтегрируем до пути dx/dt (t) = v(t), x(0)=0. Таким образом при параллельном перенесении T_pM вдоль пути, начинающегося в p, нулевой вектор 0 \in T_pM куда-то едет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-18 03:45 (ссылка)
Ну да. "Каждое многообразие локально есть однородное пространство". Сейчас это называют "формальная геометрия", но смысл тот же.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bananeen
2021-04-15 05:45 (ссылка)
В разделах дифф. геометрии, близких комплексной и алгебраической, далеко на координатах не уедешь ибо языки получаются слишком разные. Мне в этом отношении помимо разных записок Миши нравятся геометрические главы в Манинской "Калибровочные поля и комплексная геометрия". На этот счёт у меня есть фантазия, что у Манина вышла бы офигительная книга по дифференциальной геометрии, гораздо лучше его записок про схемы.

Надо правда оговориться, что некоторые вполне современные науки используют такой формализм гомологической алгебры, от которого у меня ощущения как от координат (всякие там L-инфинити и A-инфинити алгебры, а также труды Тамаркина, Цыгана и Неста. Т.е. видимо всё, где появляются операды). Дима наверное к этому привык, а меня для меня до сих пор барьер

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 06:09 (ссылка)
>Дима наверное к этому привык

Наоборот же! -- сам не пользуюсь, и другим не советую. Например, текст Меркулова, про который пост, для меня просто нечитаем. А Цыган мне отдельно подробно обьясняет, и даже тогда трудно понимать. Потому что у него половина комбинаторки по делу, а другая нет, и каждый раз надо выкидывать лишнее.

Операда вообще дурацкое понятие, видно, что американец придумал.

L_\infty и A_\infty впрочем лучше, оно бескоординатное же (это просто дифференциал на симметрической/тензорной степени).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]bananeen
2021-04-15 06:18 (ссылка)
>Наоборот же! -- сам не пользуюсь, и другим не советую.

Хорошо, значит я не один.

>L_\infty и A_\infty впрочем лучше, оно бескоординатное же (это просто дифференциал на симметрической/тензорной степени).

Ага, но я дальше азов не смог продвинуться. Я помню сидел на семинаре, где обсуждали, что какое-то отображение это морфизм L-инфинити, жутко нудно и я конечно охуевал от их комбинаторных вычислений

Был такой долгий годовой семинар по этой тематике, я всё на него ходил, чтобы услышать какой-нибудь результат, интересный за пределами всей этой тусовки, но увы. Типо народ там пытаелся навесить рюши на работы Концевича, ну и понятно, что из этого вышло на деле

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-15 06:54 (ссылка)
>какой-нибудь результат, интересный за пределами

Testing case там было доказательство Тамаркина формальности Концевича, на 10 страниц и куда проще, чем у Концевича (в частности, без какой-либо явной комбинаторики). Для него действительно нужно понятие операды, хотя жуткой комбинаторики не нужно. Вильвахер это дальнейшие рассуждения на ту же тему, в принципе, довольно нетривиальные и интересные, но читать конкретно трудно из-за жуткого количества индексов. У Тамаркина никаких индексов не было (или были, не помню, но они не нужны, Хинич переизложил без них). Народ-то конечно страшно любит индексы, но это уже социальная проблема, а не математическая.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-16 13:52 (ссылка)
> Операда вообще дурацкое понятие, видно, что американец придумал.

И чем оно дурацкое? Самое простое из понятий, описывающих типы алгебр. Lawvere theories и монады страшнее.

Нетривиальная часть теории категорий и ассоциативных алгебр должна обобщаться на операды, этим объясняя существующие уродливые комбинаторные конструкции в теории гомотопий.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-16 16:12 (ссылка)
>И чем оно дурацкое?

Тем, что если это надо обьяснять, то этого не надо обьяснять. Вот я и не буду.

Сделаю только одно историческое замечание: для той задачи, для которой они придумывались -- практическое построение бесконечнократных пространств петель -- они совершенно непригодны, и ни разу не применялись (а применяется машина Сигала).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-16 21:12 (ссылка)
В той статье 1971 года первая мотивация Сигала - теорема, нестабильный случай которой был недавно доказан через операды.

Категория \Gamma сродни категории \Delta. Симплициальное множество - это фундаментальное понятие или дурацкое?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-17 05:18 (ссылка)
>Симплициальное множество - это фундаментальное понятие или дурацкое?

Вот это очень интересный вопрос как раз, с которым я ко всем пристаю уже лет 10. Как оно используется сейчас, дурацкое процентов на 95, но в принципе, на оставшиеся 5 процентов похоже, что фундаментальное.

>теорема

Какая именно?

Я знаю два бесспорных случая применения операд в народном хозяйстве: во-первых, формальность Концевича в версии Тамаркина, во-вторых, периодичность Бокстеда в недавней версии Николауса-Краузе. Но и то, и другое, по-моему, классический пример исключения, которое подтверждает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-18 15:35 (ссылка)
Про \Delta и \Gamma частичный ответ такой.

Есть функтор Т:операды->категории. Точнее - по операде в категории V функтор Т строит категорию internal to V. Далее операды - в категории множеств. Планарный вариант T из терминальной планарной операды uAs_p строит \Delta. T(uCom)=\Gamma, где uCom - терминальная симметрическая операда. T(uAs) эквивалентна \Delta, где uAs - симметризация uAs_p, то есть uAs(n)=S_n.

Пример, где эта конструкция неявно встречается - http://imperium.lenin.ru/~kaledin/math/pira1.pdf
Для любой операды P определен функтор T(P)\to U(P), где U - некоторая известная конструкция. Функтор \hat{C}^{op} из 1.4 - это функтор T(uAs)\to U(uAs). Вся часть 1.4 получается сама собой при правильном взгляде на T.

Конструкция T была обнаружена двумя независимыми путями: при попытке понять как построить \Delta и более сложные категории по соответствующим операдам, и как обобщение известной конструкции из теории категорий на операды.

У конструкции T, как для операд, так и для категорий, есть два естественных источника/определения. Первый - конструкция U. Второй - в каком-то смысле сама конструкция T. У конструкций U и T есть простой некомбинаторный смысл, который без операд не сформулировать.

> теорема
Барратта-Придди-Квиллена, естественный взгляд на которую как раз дан в Categories and cohomology theories. Но тут я перепутал. В недавней статье доказывают некую теорему-1, для чего доказывают теорему-2, уточнение теоремы Б-П-К. Теперь же теорема-1 сама собой получается как следствие из правильного взгляда на то, про что написано выше. Не знаю, получается ли из этого Б-П-К.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-04-19 17:18 (ссылка)
>Барратта-Придди-Квиллена

А. Да не, это по нынешним временам полная банальность, и из Сигала она получается куда проще.

>Есть функтор Т:операды->категории.

Категория это фундаментальное понятие. "Операда" это технический гаджет, который иногда полезно навесить на категорию специального вида. И не более того.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-04-20 12:25 (ссылка)
Категория - это хороший предпучок над T(uAs). Бесконечность-категории и параметризированные связные спектры - это хорошие симплициальные предпучки над T(uAs) и T(uCom). Можно брать другие операды и получать аналогичные понятия. Например, из операды моноидов-со-следом получается категория, содержащая Delta, Connes cyclic Lambda, и еще что-то. Хороший предпучок на этой категории - это категория, циклический нерв этой категории, и аналог следа.

То есть из трех типов "алгебр", ассоциативной / ассоциативной и коммутативной / ассоциативной со следом, получаются три набора классических понятий. Сейчас соответствие 'тип алгебры -> набор понятий' использует именно операды. Другие способы кодировать типы алгебр не факт, что вообще работают, в любом случае сложнее, и интуитивно должны давать другие категории.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-20 21:32:25
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-21 06:32:58
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-22 04:09:00
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-22 10:40:35
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-22 19:03:33
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-23 19:01:23
(без темы) - (Анонимно), 2021-04-23 20:39:44
(без темы) - [info]kaledin, 2021-04-24 02:04:12

(Анонимно)
2021-04-17 05:21 (ссылка)
У что за машина у Сигала? У него небось целый автопарк.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-04-17 05:27 (ссылка)
>чем оно дурацкое?
Тем что пиндосы тупые придумали, знамо дело. У каледина комплекс.

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -