Совершенно верно, виден почерк программиста. Математики обычно не так формально доказывают, однако. Здесь бы они перечислили несколько пар и нарисовали бы поверх них стрелочки по побочным диагоналям, подразумевая перечисление элементов. А осилишь такую задачу: |R^2| = |R| ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

...берём десятичную запись x и y, составляем третью десятичную запись z, в которой чётные знаки из x, нечётные -- из y.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

И обратно то же отображение действует. Причём сначала удобно отобразить плоскость и числовую прямую в (0, 1) x (0, 1) и (0, 1) соответственно. Вероятно, в тебе погибают способности к математике?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вероятно, нет. Я просто хорошо учил матан на первом курсе(а на последующих значительно хуже).

(Reply to this) (Parent)

...вот, кстати, я представляю себе, как отобразить R на 2^N, но не слишком представляю обратную операцию. Там континуум-гипотеза задействована, или таки можно?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Как ты представляешь себе это отображение? Подозреваю, что это у тебя биекция по построению. 2^N равномощно R. Континуум-гипотеза ставит вопрос о существовании множеств промежуточной мощности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Любое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной(или любой другой) дроби. Назовём срезом дроби n-ного порядка последовательность цифр от нуля до n. Любой срез дроби соответствует натуральному числу. Таким образом, каждому действительному числу соответствует последовательность неповторяющихся натуральных чисел, очевидно, являющаяся также подмножеством натурального ряда.

(Reply to this) (Parent)

Если что, про _взаимно однозанчное_ отображение я ничего не говорил.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А это ещё проще. Направление у тебя правильное, могу дать хинт - или решение, по желанию. Хинт: сжать R до (0, 1) и рассматривать числа в этом промежутке как бесконечные двоичные дроби.

(Reply to this) (Parent)

(...это просто плохие математики. Я бы тоже диагонали нарисовал, это потому что из меня математик, как из г-на пуля).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Отнюдь, я видел такой рисунок в одной из уважаемых книг. Кажется, о теореме Гёделя. Или самого Гёделя книга (или Куранта(?), память подводит уже).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дело в том, что таковой рисунок основывается на интуитивном представлении, что такое плоскость. Пока интуитивно понятно, все мы хорошие математики. Но далеко не всё интуитивно понятно, и чем дальше, тем хуже. Поэтому по-настоящему хорошие математики -- это те, кто умеют всё доказвать чисто формально.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Мне кажется, большинство из таких математиков - плохие. Потому что невозможно сколь-нибудь серьёзно продвинуться через детали формализации. Обычно математики излагают на достаточном для понимания уровне, при этом всегда могут обосновать утверждение более формально, в принципе, на любом более глубоком уровне детализации.

(Reply to this) (Parent)

> Дело в том, что таковой рисунок основывается
> на интуитивном представлении, что такое плоскость.

Там существует простая* формула, эквивалентная рисованию стрелочек.

________________
* Рациональная функция какая-то, коротко записываемая.

(Reply to this) (Parent)

Вспомнил, в книге Клини "Метаматематика".

(Reply to this) (Parent)

Слишком простая zogдачка. Давай лучше докажем, что множество всех алгебраических чисел счётно.

(Reply to this) (Thread)

Да, это двухходовка уже.

Лучше разбираться, когда как соотносятся a^b, b^a, a и b.

А ради счётных множеств вообще должно быть стыдно произносить "кардинал"-"ординал".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Да, это двухходовка уже.

А по-моему, не так интересна, как о мощности счетного объединения счётных множеств. Последняя меня очень впечатлила в своё время.

>Лучше разбираться, когда как соотносятся a^b, b^a, a и b.

В каком смысле?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В каком смысле?
Надо утвердиться в определении того, что есть возведение в степень для ординалов/кардиналов, и понять, когда как мощность увеличивается.

Например, если a — конечное из более чем одного элемента, а b — бесконечное, то по мощности a < b = b^a < a^b.

Если оба множества бесконечные, то нужно много думать.

(Reply to this) (Parent)

Да, с алгебраическими тоже всё просто, а насчёт возведения произвольного числа в произвольную степень -- не очень понятно, всегда ли такая операция имеет смысл.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Всегда: (не совсем строго) a^b — это множество отображений из b в a.

Например, 2^R,— множество всех подмножеств R,— а каждое подмножество A задаёт отображение из R в {0,1}: f(x)=0 если x∊A и f(x)=1 если x∉A.

Конечно, это определение, а у нас аксиоматика и прочее, всё должно быть строго: как определили, то и есть. В аксиомах возведение множества в множество нет, так что нужно определение. Написанное мной — вполне обычное, популярное определение возведения множества в множество, так в тех же Бурбаках написано, например.

(Reply to this) (Parent)

> а насчёт возведения произвольного числа
> в произвольную степень -- не очень понятно,
> всегда ли такая операция имеет смысл.

Нам в школе в десятом классе сказали, что «это мы будем определять по непрерывности» (приближая основание и показатель степени рациональными числами). С тех самых пор меня этот вопрос даже не волнует, несмотря на то, что в период с десятого класса по второй курс я очень беспокоился о всей-всей аксиоматике.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

...речь идёт не о действительых числах(с которыми действительно всё понятно), а о мощностях множеств.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, вот оно что. Да, я тоже не представляю, как там обстоит дело. Но в данном случае "придать смысл операции a^b" означает только "определить порядок", да? Тогда, наверное, можно попытаться придать смысл.

(Reply to this) (Parent)

А это тоже слишком просто. Сегодня посложнее ещё дам зогдачки. Ты можешь дать архив своего дневника с ЛЖР?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вообще-то, могу. Вот, например:

http://webfile.ru/2500472

Только там всё кривовато, в частности ссылки, править нету времени.

(Reply to this) (Parent)

Наивные определения идут лесом. Ради счётных множеств теория множеств особо не нужна.

Ты сразу ушёл в неверном направлении: надо мучительно разбираться, почему квадрат любого бесконечного множества ему равномощен, а не баловаться с наивными примерами для мат. кружка 6-го класса.

Без аксиоматики теория множеств не строится. Пытались сотни лет, да не получалось: слишком легко парадоксы придумывать.

Так что возьмись уж за аксиоматику (если не извращенец, то — Цермело-Френкеля, потом, если всерьёз, сможешь смотреть, не дополнить ли её чем), а там по возможности изучай что-то очень общее.

Я рекомендую взять книжку Бурбаков "Теория множеств", читать её почти всю, а теоремы стараться доказывать самостоятельно до прочтения доказательств. Если легко осилишь, можно будет читать что-нибудь посовременнее, а иначе — скорее всего будешь путаться и фантазировать, где не надо. На первом курсе в первом семестре у меня такой подход проблем не вызвал: наоборот, хорошо пошло. Даже на экзамене были проблемы, так как доказывал что-то не как лектор, долго пришлось ковыряться ему, чтобы понять, что всё правильно.

(Reply to this) (Thread)

>Наивные определения идут лесом.

Нэт! Мне нравится индуктивный подход, особенно в изучении.

>Ты сразу ушёл в неверном направлении: надо мучительно разбираться, почему
>квадрат любого бесконечного множества ему равномощен, а не баловаться с
>наивными примерами для мат. кружка 6-го класса.

Это я запостил в надежде, что кого-то красивая простая задача возбудит и стимулирует к дальнейшему изучению математики.

>Я рекомендую взять книжку Бурбаков "Теория множеств", читать её почти всю, а
>теоремы стараться доказывать самостоятельно до прочтения доказательств. Если легко осилишь,

Дело в том, что я, наверно, немного глуп в этом плане. Т.е. я пробовал брать эту книжку и так делать, но у меня не получилось особо продвинуться.

Но предложения зачитываются!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дело в том, что я, наверно, немного глуп в этом плане. Т.е. я пробовал брать эту книжку и так делать, но у меня не получилось особо продвинуться.
Ты, вероятно, более физик, чем математик.

Но многие математики на мат. логику и теорию множеств кладут, так как профессионально в рамках их области они не требуются, так что это, конечно, метафора, а не диагноз.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Ты, вероятно, более физик, чем математик

Я в большей степени программист (т.е. формалист), чем математик. В принципе, можно было бы влиться в какую-нибудь область на стыке CS и математики (automated reasoning etc.). Но т.к. формализм - это до некоторой степени таки диагноз, эту болезнь хорошо бы подлечить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Срочный вопрос можно?

Тут тебя мы обсуждаем и толкуем (ты, кстати, в компании Кантора, например), про этот комментарий возникла идея: "… область на стыке CS и математики…"— и gastrit считает, что это "как раз всякие содержательно понимаемые иерархии Клини-Мостовского, а никак не АТМ."

Можешь разрешить толкование?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Прежде всего, я извиняюсь, что до сих пор не изучил вашу дискуссию и не вклинился в неё. Объективно смотря, ваш уровень владения обсуждаемыми вопросами выше чем мой, и я не уверен, что я могу сказать нечто апостериори содержательное. На следующей недели у меня будет время, надеюсь, прочесть весь диалог.

Опасаюсь я также делать любые обобщённые выводы касательно места формализаций и формального подхода в математике. Тем не менее, могу поделиться своими субъективными ощущениями в этом отношении. Если нужно будет раскрыть их в большей степени, скажите.

Как любой изучавший математику на (экс-)советском пространстве, я испытывал влияние как "бурбакистов", так и их ярых противников. Ещё до того, как прийти в университет, у меня был нескольколетний опыт программирования, и это сыграло, как я теперь понимаю, существенную роль в выборе симпатий.

Мне действительно нравился уровень формализации преподаваемого материала. Скажем так, там никто не употреблял до-бурбакистского $\subseteq$, но всегда $\subset$ в его значении. Более того, мне казался недостаточным и тот уровень формализации.

Опуская подробности скажу, что то ли я был ленив, то ли занимался кодингом вместо изучения математики, но в результате в изучении чистой математики я не особо продвинулся. Вторичную роль, как мне кажется, сыграл тот факт, что я хотел изучать её в высокой степени формализации - до мельчайших деталей. В моём случае это превратилось, мне кажется, в болезнь. В моём случае для продуктивных занятий математикой нужно подлечить эту склонность к формализации - результат занятий программированием (которое, по известному мнению, в гораздо большей степени строгий процесс, чем занятия математикой, требующий от мозга несколько иных качеств).

С другой стороны, можно принять слабость за силу, и развивать или смещать акцент деятельности в те области математики, которые требуют видоизменённых, но всё же схожих качеств от человека, и порой навыков программирования. Опуская за скобки прикладную математику (которой я и так занимаюсь) и алгоритмы, должен сказать, что я имел в виду примерно следующее. Логику и её приложения - AR (automated reasoning), включая ATP (automated theorem proving). Метаматематику, возможно, на стыке с формальными грамматиками, теорией типов и компиляции. CAS - computer algebra systems, символьные вычисления. И я не могу назвать чего-нибудь сверх этого, т.к. не обладаю знаниями, e.g. ни о иерархиях Клини-Мостовского, ни о специфических Тьюринг-машинах. Что касается теории множеств и её аксиоматики, не владею предметом пока, и к сожалению.

Возвращаясь к чистой математике вообще, можно утверждать, что формализация теорий, даже математики в целом - вопрос исключительной важности, недооцениваемый на данный момент. Мы давно подошли к черте ограниченных возможностей человеческого мозга, когда продвижение науки в силу этих ограничений замедлилось. Давно пора искать пути к тому, чтобы "научить роботов математике", что бы это ни значило: "усилители интеллекта" (зачаток которых - CAS) или "выращивание информации" по Лему (зачаток которых - AR). Так или иначе, сама сущность математики, как объекта, позволяет говорить, что математика формализуема.

Хорошо бы, конечно, осуществить шаг от возможности к реализации этого. Отчасти "бурбакизация", насколько я понимаю, ставила такую цель.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Некоторые пояснения на всякий случай.

Сам я формализацию (каким бы странным это ни показалось в свете обсуждаемой ветки) очень даже люблю. И ЭВМ в работе (в том числе при доказательстве математических утверждений) с удовольствием использую. И вопросы в стиле "напишите программу, делающую то-то и то-то" на экзаменах по матану и прочим непрограммистским формально предметам задаю регулярно (практика показывает, что мозги такая постановка весьма проясняет). Но есть одно маленькое «но»: формализация — это не более чем средство, причём далеко не универсальное. Исчерпывающим образом формализовать представление об истинности суждения нельзя даже в арифметике (теорема Гёделя). Кроме того (и это как раз главное) — любая задача ставится и решается потому, что это зачем-то нужно человеку. И вот это самое «зачем-то» — с которым в обязательном порядке будет потом связано и признание/непризнание предложенного решения правильным! — формализовано быть никак не может.

Если переоценить значение хорошей вещи, её можно превратить в плохую. Крайности-то сходятся.

> Давно пора искать пути к тому, чтобы "научить роботов
> математике", что бы это ни значило

ИМХО, это значит то же самое, что и "научить синхрофазотрон физике": робот — это машина, используемая человеком для экспериментальной проверки его математических представлений (как и синхрофазотрон — машина, используемая для экспериментальной проверки человеческих взглядов на физику). Изменения в используемой при научной работе технике, безусловно, не могут не сказаться на характере науки — но дело тут не в "исчерпании способностей мозга", а в изменении предмета исследования (были гирьки с верёвочками, стали синхрофазотроны; были счёты с логарифмическими линейками, стали роботы). Задачи-то роботу всё равно ставит человек, и проверку правильности решения (в форме доказательства корректности программы робота, например) делает тоже человек.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но есть одно маленькое «но»: формализация — это не более чем средство, причём
>далеко не универсальное.

Как средство действительно не универсальное, но с другой стороны, как объект-текст, математика приобретает свой "родной" облик только после формализации.

>Исчерпывающим образом формализовать представление об истинности суждения
>нельзя даже в арифметике (теорема Гёделя).

Для меня теорема Гёделя - оптимистичный результат, показывающий, что математикам всегда будет чем заняться. Тем более сейчас, когда есть угроза, что возможности экспериментальной физики будут вскоре исчерпаны.

>Кроме того (и это как раз главное) — любая задача ставится и решается потому, что
>это зачем-то нужно человеку.

Как платоник, я не поддерживаю эту точку зрения. Наоборот, по меткой метафоре Лема, сообщество математиков напоминают сумасшедшего портного, шьющего одежды для всевозможных, включая экзотических и не существующих, существ. К тому же, судя по словам Манина, осмысленно не пытаться решать всевозможные поставленные задачи, а развивать теории, и возможно, позже существующие задачи включатся в классы решаемых теориями задач.

>Задачи-то роботу всё равно ставит человек,

Компьютеры текущей архитектуры создавались свободными от целеполагания. Но даже для этих компьютеров можно написать программы, порождающие те или иные цели, не так ли? Т.е. робот может ставить задачи другому роботу, а генерировать их - да хотя бы и случайно.

>и проверку правильности решения (в форме доказательства корректности
>программы робота, например) делает тоже человек.

Ну почему же. Корректность часто проверяется программно, например, в компиляторах типизированных языков или в "контрактном программировании".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> как объект-текст, математика приобретает свой "родной" облик
> только после формализации.

Ничего не понял. Имеется в виду, что объектом рассмотрения в математике являются тексты (образующие "неинтересное" счётное множество, кстати), или что-то другое?

> Для меня теорема Гёделя - оптимистичный результат,
> показывающий, что математикам всегда будет чем заняться.

...без боязни конкуренции со стороны роботов. Я ровно об этом и говорил.

> Как платоник, я не поддерживаю эту точку зрения.
> Наоборот, по меткой метафоре Лема, сообщество математиков
> напоминают сумасшедшего портного,
> шьющего одежды для всевозможных, включая экзотических
> и не существующих, существ.

Будучи гнусным эпикурейцем, сразу задаю вопрос: а чем этот портной питается? Подозреваю, на существующих и платежеспособных существ он тоже всё-таки что-то шьёт :-) Это не говоря уже о том, что сам портной — тоже человек (и его внутренняя потребность сшить нечто, тем самым — тоже человеческая).

> Но даже для этих компьютеров можно написать программы,
> порождающие те или иные цели, не так ли?

Марионетка остаётся марионеткой независимо от длины верёвки, на коей она дёргается. В сколько итераций код не порождай — всё равно это будет алгорифмический процесс обработки некоторых внешних данных.

> Ну почему же. Корректность часто проверяется программно

Это опять же простое удлинение верёвки. Компилятор ведь не сам себя написал.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В моём случае курс на изучение формальное изучение математики, если не ложен, то должен быть вторичен. Формализации (если речь о формализованных учебных текстах) обременены деталями настолько, что теряется суть и идея. Судя по опыту, мне, равно как и большой, если не большей, доли студентов, подходит индуктивный способ изучения материала. От простого к сложному, от наивной теории к обобщениям, от схем к деталям. Так появляется понимание или его иллюзия, невозможные при дедуктивном подходе, когда сначала изучается максимального уровня обобщение, а всё остальное как частные его случаи. Студент не видит связей и не улавливает идей доказательства (которые, возможно, можно понять, увидев их на простых случаях).

Мне иногда кажется, что математика, как платоновский объект, плохо совместима с человеческим разумом, и разум этот ищет наиболее подходящие ему представления математического объекта. Побочный вопрос, который меня занимает много лет - что значит понять ту или иную теорию? Что есть понимание?

(Reply to this) (Parent)

> Т.е. я пробовал брать эту книжку и так делать,
> но у меня не получилось особо продвинуться.

Тебе всерьёз кажется, что их книги можно использовать как учебники? Не верю.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А можно использовать книгу Ленга для изучения алгебры?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не настолько хорошо знаю предмет, поэтому ничего не могу сказать.

Пока что мне кажется, что для знакомства с абстрактной алгеброй (если знакомиться сразу после школы) эта книга не подходит.

(Reply to this) (Parent)

> Ради счётных множеств теория множеств особо не нужна.

Хм, а вот Лузин в своём известном опусе 1933 года характеризует позицию Бореля и Бэра как «область счётной бесконечности», для которой «всякое несчётное множество — вне математики». Выходит, Борель ничего не смыслил в теории множеств?

> Без аксиоматики теория множеств не строится.

И вот тут мы натолкнёмся на вопрос, что же принципиально изменится, если термин "множество" мы заменим термином "сепулька", а термин "вхождение" термином "сепуление" (не меняя при этом аксиом Цермело-Френкеля). По-моему, вполне неплохо выйдет: "существует сепулька, не сепулящая никакую сепульку", "для любых двух сепулек A и B существует сепулька C, сепулящая в точности сепульки A и B", "для любой сепульки A существует сепулька B, сепулящая произвольную сепульку C в том и только том случае, если сепулька A сепулит любую сепульку, которую сепулит сепулька C" и т. д. Непонятно только, почему эту католическую схоластику следует считать современной наукой.

> Пытались сотни лет, да не получалось: слишком легко парадоксы придумывать.

Поправка: это богословы пытались, а не математики. Математики от таких попыток отплёвывались (нормальному математику сепульки до лампочки, ему осмысленные задачи решать надо): даже Кантора при жизни не пинал только ленивый (Пуанкаре? Кронекер?), человек аж в жёлтый домик в итоге угодил.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Лузин Бореля и Бэра
Для начало толкую буквально, в первом приближении:
1) Выходит, что да. (Если бы написали "в математике" — написал бы "нет".)
2) Это пересказ пересказа чужой позиции, его бессмысленно обсуждать.
3) Множеством вещественных чисел занимались как Лузин, так и Борель, и Бэр. Оно более чем счётное. Их работой была игра в бирюльки, а не математика?

"Несчётные множества" могут быть и объектами модели из счётного множества объектов, например. И теория множеств будет конечными последовательностями логических переходов выяснять какие-то их свойства и т.п. (Те же "сепульки".)

На второй взгляд:
У Вас ссылка есть на заметку?

Непонятно только, почему эту католическую схоластику следует считать современной наукой.
По-моему, математика, как и философия, наукой не является. Это личное пристрастие, видимо, ибо в популярных словарях моё мнение не разделяют. Современной наукой теория множеств на обсуждаемом детском уровне уж наверняка не является: это уже исторически сложившаяся наука, если наука.

Это не католическая схоластика по ряду причин, далёких от лексических. Замена лексики не меняет сути, хотя использование одиозной лексики может дать спорщику поверить в иллюзию аргумента.

человек аж в жёлтый домик в итоге угодил
В "жёлтый дом" и Гёдель "угодил", хоть к нему на поклон ходили. А в некоторых местах могут человеку, который сложно, но логично, говорит, могут дать в морду после слов: "Ты что, интеллигент?"

Нормальному математику осмысленные задачи до лампочки, потому что осмысленные задачи не предмет математики. Предмет математики — "сепульки". Математиков могут склонять к решению применимых на практике задач о "сепульках" те, кто решают реальные задачи, для которых предположительно хорошо подходят модели с "сепульками".

И сумма ряда — "сепулька", и вещественные числа — "сепулька". То, что ими пользуются не только математики, заслугой математиков может быть настолько, насколько они не только математики.

(Всё думаю о цитате, когда-то написанной Вами [в диалоге про коммунизмы], не могу придумать, откуда. Потому что в библиотеки не собирусь сходить и т.п.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Их работой была игра в
> бирюльки, а не математика?

Основные результаты Бореля и Бэра прекрасно переносятся в конструктивный анализ (где множество вещественных чисел именно что счётное, хотя и неперечислимое). Суть результата и привычный способ его изложения — это далеко не одно и то же.

> "Несчётные множества" могут быть
> и объектами модели из счётного
> множества объектов, например.

Во-первых, такой модели, насколько мне известно, нет. Во-вторых, даже если таковая модель и появится, то сама ZF её реальных свойств никогда полностью не опишет (неполнота), придётся привлекать дополнительные содержательные соображения. Спрашивается: зачем вообще нужна такая куцая «основа математики» (тем более, что и без неё всё тысячи лет прекрасно работало)?

> У Вас ссылка есть на заметку?

???

> По-моему, математика, как и философия,
> наукой не является.

Проблема в том, что исторически-то математика складывалась именно как наука. То, что "наукой не является", наросло на ней за последнее столетие (срок, по сути, смехотворный) и к реальному содержанию математики отношение имеет весьма косвенное.

> Это не католическая схоластика по ряду причин,
> далёких от лексических.

А что же это? Налицо все характерные признаки: принимаемая на веру догматика + формализация рассуждений + отсутствие практической проверки выводов. Кстати, ведь и сам Кантор (которого современные ему математики в массе своей числили за идиота) находил утешение в переписке именно с богословами, и именно с католическими: в сборнике сочинений Кантора (М., 1985) приводятся некоторые его письма кардиналу Францелину (стр. 287-288, например).

> Замена лексики не меняет сути

Да, суть одна: утверждение о возможности построить математику на базе ZF ровно ничем не отличается от утверждения о возможности построить её на базе теории сепулек. Просто в первом случае использование наукообразной терминологии вместо одиозной позволяет избежать нежелательных сомнений со стороны аудитории.

> осмысленные задачи не предмет математики.

Это взгляд весьма и весьма свежий, не ранее начала XX века возникший. Ещё Гаусс и Лобачевский (не сговариваясь) считали углы в "реальных" треугольниках.

> для которых предположительно
> хорошо подходят модели с "сепульками".

А в РПЦ считают, что освящённый самолёт "предположительно" летает лучше неосвящённого. Доказательства где?

> вещественные числа — "сепулька".

Вещественные числа известны в математике более двух тысяч лет. Множества — всего сто. Вопрос: как же так получилось, что понятие, которое никак (ну совсем никак, бурбаками клянусь!) не может быть введено без опоры на ZF, тем не менее в действительности появилось на целые тысячелетия раньше её?

> Всё думаю о цитате, когда-то написанной Вами

Это которой?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Всё думаю о цитате, когда-то написанной Вами
Это которой?
http://lj.rossia.org/users/kouzdra/513489.html?thread=3043537
(Немного утрирую.)

как же так получилось, что понятие… появилось на целые тысячелетия раньше её?
Тем, что так раньше называли другое понятие, менее определённое и более противоречивое.

А в РПЦ считают, что освящённый самолёт "предположительно" летает лучше неосвящённого. Доказательства где?
Я имел в виду не РПЦ, а, например, какую-нибудь теоретическую механику, которая применяет модели с вещественными числами. Научное доказательство — вера в то, что научные принципы работают. И с развитием техники и науки модели меняются (или не меняются, если разницу считают несущественной), так как перестают выполняться научные принципы для старых моделей с новыми опытами. Разница с РПЦ в том, что вера на других принципах основана (у РПЦ принципы "хуже" и невнятнее, наверное). Механика без всякой теории относительности и всё такое.

Гаусс и Лобачевский (не сговариваясь) считали углы в "реальных" треугольниках
Так как они не только математики, но и…

в первом случае использование наукообразной терминологии вместо одиозной позволяет избежать нежелательных сомнений со стороны аудитории
Я не сведущ в католической схоластике. Сомневаюсь, что она столь логична, но если она столь же логична и утверждения столь же проверяемы — тогда разницы особой нет. Можно доступный пример?

> У Вас ссылка есть на заметку?
???
Интернет-ссылка. На худой конец — библиографическая. Я не очень интересуюсь историей, с "опусом" не знаком.

Во-первых, такой модели, насколько мне известно, нет.
Я имею в виду следствия теоремы Сколема-Лёвенгейма. На счётных моделях применения метода вынуждения основаны, всё-таки, это использовалось для важных математических достижений и всё такое.

Ну, в крайнем случае — замените слово "сепулька" словосочетанием "несчётное множество" и подставьте в что-нибудь про "сепульки" с конечной моделью…

прекрасно переносятся в конструктивный анализ
А чего хорошего в конструктивном анализе?
Чем он лучше, например, нестандартного?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> http://lj.rossia.org/users/kouzdra/513489.html?thread=3043537

А, так Вы меня в конспирологи зачислить порываетесь :-) Нет, в «18-ом брюмера» написана чистая правда, дело вовсе не в личной злокозненности Кантора, а в общих условиях, сложившихся в определённое время в математическом сообществе (из-за которых Кантор и оказался востребован). Но ведь история не закончилась, всё ещё может измениться («ответственный издатель» переворота из цитаты помер-то далеко не императором).

> Тем, что так раньше называли другое понятие, менее определённое и более противоречивое.

В геометрии Евклида (в рамках которой и формулировались евдоксовы отношения) обнаружены противоречия?! Интересно — наверное, я многое в жизни пропустил.

Кстати, а что вообще значит "более противоречивое"? С большей минорантой длины вывода стандартной нелепости, что ли? Ведь непротиворечивость ZF, ЕМНИП — вопрос открытый.

> модели с вещественными числами.

При чём тут ZF?

> Так как они не только математики

С точки зрения конца XX века. Но никак не с точки зрения их самих (и их современников). С точки зрения Гаусса и Лобачевского это как раз Бурбаки — не математики.

> Сомневаюсь, что она столь логична

Да возьмите любое доказательство бытия божия. Например: бог совершенен (аксиома), несуществующий объект несовершенен (аксиома), следовательно, бог существует. Нет ничего проще, чем загнать это рассуждение в рамки КИП.

> утверждения столь же проверяемы

Заведомо не менее, чем континуум-гипотеза и аксиома выбора.

> Интернет-ссылка. На худой конец — библиографическая.

Это Вы про Лузина? «Современное состояние теории функций действительного переменного», М.-Л., 1933. В сети не видел. Собственно, в МЭС в качестве одного из приложений даётся лузинская же статья «Функция», там эти вещи тоже поминаются (а этот источник, вероятно, более доступен).

> это использовалось для важных математических достижений
> и всё такое.

Важных? И где же всё это применяется? Так и в богословии можно важные достижения отыскать (кстати, в Google Scholar римские папы вполне представлены).

> Чем он лучше, например, нестандартного?

Тем же, чем Windows круче Pentium'а. Это несравнимые вещи (нестандартный анализ тоже может быть конструктивным, а может и не быть).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В геометрии Евклида обнаружены противоречия?! Интересно — наверное, я многое в жизни пропустил.
…
Ведь непротиворечивость ZF, ЕМНИП — вопрос открытый.
Вижу более пристрастие, чем аргумент.

При чём тут ZF?
ЦФ — популярный вариант аксиоматики теории множеств. Более не при чём.

С точки зрения конца XX века.
Да. И только так. Употребляя слово сейчас, я имею в виду современное значение. См., например, мою готовность согласиться считать математику да философию науками (философию меньше: хоть и популярна такая точка зрения, но сам видел [по телевизору], как декан философского факультета МГУ разделял мои представления).

Например: бог совершенен (аксиома), несуществующий объект несовершенен (аксиома), следовательно, бог существует.
!!! Вижу серьёзную проблему: я не утверждаю, что, например, ЦФ абсолютно непогрешимы. Окажутся протеворечивыми — разберёмся. Все теоремы из ЦФ — это именно теоремы из ЦФ. И если ЦФ противоречива, то все утверждения верны и зря старались! Этот вариант не исключается!

А вот в вопросе существования бога обычно нет этой условности и вывод считается абсолютным, причём может и к действиям может приводить без долгих задержек. Потому что это не математика. А в математике: противоречива арифметика — ну и здорово!

>это использовалось для важных математических достижений и всё такое.
Важных? И где же всё это применяется?
В рамках математики — плевать мне на применения. Важность в математике гарантируется вхождением в "проблемы Гильберта".

Римские папы и без достижений очень важные, ссылки не требуются.

Важных достижений в богословии хватает: например, придумать отдавать еретиков светским властям, а светские власти наказывать по-церковному, если те еретиков не сжигают, "решая" "моральный" вопрос о причинении вреда христианами людям — важное достижение, которое имело применения.

Важность — неудачная категория.

> Чем он лучше, например, нестандартного?
Это несравнимые вещи
Так чего же хочется Вам: отсутствия "несчётных множеств" как "сепулек", или какого-то философского отсутствия более чем счётных множеств? Но счётность, по-моему,— почти та же "сепулька", только страшнее обычной, ибо менее условная.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> ЦФ — популярный вариант аксиоматики теории множеств.
> Более не при чём.

Ну так и зачем в разговоре о ZF вспоминать про вещественные числа, если связь этих чисел с ZF основана только на "популярности" последней? Вполне может оказаться, что среди шаманов Крайнего Севера "популярна" теория о сотворении мира Матерью-Моржихой — и что, факт реальности мира становится от этого доказательством реальности Матери-Моржихи?

> я не утверждаю, что, например, ЦФ абсолютно непогрешимы.

Вы утверждаете, что "теория множеств без аксиоматики не строится". Во-первых, это даже по факту не так (фамилия "Шанин" Вам, полагаю, известна?). Во-вторых, от содержательно понимаемых множеств Вы всё равно никуда не денетесь даже при суперформалистическом подходе: множество замкнутых формул языка ZF, выводимых в этой самой ZF, не станет в случае её противоречивости пустым оттого, что Вам удастся эту противоречивость доказать (как не стало пустым множество выводимых предложений "наивной" теории от заведомой возможности доказать оную пустоту "наивными" средствами). А потому одно из двух:

1) Или сама ZF является не "чисто аксиоматической" теорией, а отражает в некотором смысле реальные свойства реально существующих (в метаматематике, например) множеств. Тогда встаёт вопрос, каково же соотношение между этими реальными свойствами и постулатами ZF — ответа не видно.

2) Или ZF всё же является "чисто аксиоматической" теорией — но тогда она попросту подменяет изучение реальных свойств множеств (которые в метаматематике, повторяю, существуют объективно) бессмысленной шахматной игрой, а потому хуже чем бесполезна.

Какой из этих вариантов Вам кажется предпочтительным?

> А в математике: противоречива арифметика — ну и здорово!

Конечно, здорово: ЭВМ у меня неграмотная, логико-арифметическим языкам не обученная — так что в ответ на вопрос "сколько будет 5+7" она всё равно выдаст 12 :-)

> Важных достижений в богословии хватает

В этом смысле, безусловно: распил грантов — штука поистине крайне важная.

> Так чего же хочется Вам: отсутствия "несчётных множеств"
> как "сепулек", или какого-то философского отсутствия
> более чем счётных множеств?

Малого: изучения реальных свойств реально существующих объектов. Натуральных чисел, компьютерных программ или формул логико-предметных языков (хоть той же ZF, коли она так Вам нравится). Причём стандартными научными методами (опыт — теоретическое обобщение — практическая проверка), а не посредством высасывания аксиоматик из пальца.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

реальности мира… реальности Матери-Моржихи?
Причём тут реальность и аксиомы?

(фамилия "Шанин" Вам, полагаю, известна?)
Мне полагается употребить слово "сепулька" или "культ Матери-Моржихи"?

Я не очень понимаю: Вы хотите сообщить, что интуиционистское исчисление высказываний — "единственное верное" и не высосано из пальца?

Я не верю в принципиальные достоинства конструктивного подхода. Хотя, кажется, с помощью него были получены последние крупные достижения математики? Вряд ли. Боюсь, что большинству математиков совершенно наплевать на вопросы оснований мат. логики.

Вы утверждаете, что "теория множеств без аксиоматики не строится".
Я исхожу из интереса phantom к традиционной теории множеств. Традиционная теория множеств без аксиоматики не строится.

но тогда она попросту подменяет изучение реальных свойств множеств (которые в метаматематике, повторяю, существуют объективно) бессмысленной шахматной игрой, а потому хуже чем бесполезна.
"Чего: 'думать'?! Прыгать надо!"— да, подменяет. И работа тех, кто занимается наукой и техникой — понимать, какие модели, какие "сферические кони в вакууме", им могут пригодиться. Типа того.

Слова "бессмысленный" и "бесполезный" — эмоции.

Хотя я лично согласен с тем, что многое в современной математике бессмысленно и бесполезно, но не вижу у Вас логического обоснования этого.

Конечно, здорово: ЭВМ у меня неграмотная, логико-арифметическим языкам не обученная — так что в ответ на вопрос "сколько будет 5+7" она всё равно выдаст 12 :-)
Что не будет противоречить арифметике, если она противоречива.

Но если арифметика противоречива, то может оказаться, что стоит это учесть при конструировании компьютеров, чтобы они не могли также сложить пять и семь с другим ответом.

В этом смысле, безусловно: распил грантов — штука поистине крайне важная.
Да. А для математической проблемы достаточным условием важности является вхождение в список проблем Гильберта. А какая-то применимость прямая — это уже не математические достоинства.

Малого: изучения реальных свойств реально существующих объектов. Натуральных чисел, компьютерных программ или формул логико-предметных языков (хоть той же ZF, коли она так Вам нравится). Причём стандартными научными методами (опыт — теоретическое обобщение — практическая проверка), а не посредством высасывания аксиоматик из пальца.
Что такое "реально существующий объект"? По-моему, это сочетание слов просто высосано из пальца. Считать числа (хоть натуральные, хоть нет) реальными — это довольно смело. (Моё личное отношение ЦФ нет оснований называть словом "нравится", кстати.)

Я сам не занимаюсь математикой во многом (кроме глупости и лени) по той причине, что слишком мало в ней самой применимого (естественно, в тех областях, с которыми я знакомился; с уравнениями мат. физики некоторые знакомые имеют другие эмоции): применяется либо очень косвенно и опосредованно, либо вообще никак. Но это значит, по-моему, что с такими взглядами просто не стоит как делом жизни заниматься современной чистой математикой. Можно изучить какие-нибудь области, а потом стать, например, физиком, биологом, кем ещё. Конечно, проблема в том, что хрен впишешься в биологи, например, после долгих лет учёбы на математика.

Зачем претендовать на математику, которая естественной наукой в строгом смысле не является, с её высасываниями из пальца, если Вы хотите заниматься наукой? Естественной наукой, с её высосанными из пальца принципами?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я-то не логик и не математик по сути, а если Вы в Ленинграде вдруг, то у нас, наверное, должны быть общие знакомые логики (на худой конец: наверняка через интернет переписывались)? Как они, соглашаются?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но вот несколько комментариев походя:


1. бурбаков читать вредно. они наверное хорошие алгебраисты, но в теории множест не смыслят.И даже не в Tом дело, что у них фактических ошибок много, а в том, что они с самого начала имеют примитовное представление, давно опровергнутое классическими теоремами.

смотри например статью: Adrian Mathias. (1991). The ignorance of Bourbaki.


2. Утверждение "для изучения счетных множеств теория множеств не нужна" неверно во многих смыслах.

Например многочисленные утверздения ДАЖЕ о конечных подмножествах N, которые невозможно доказать в PA или ZFC, доказываются в (ZFC плюс большие кардиналы).
(Я не утверждаю, что их доказуемось в (ZFC плюс большие кардиналы) делает их "верными", но утверждаю, что теория множеств очень сильно на них влияет.)


3. Будучи ученым, а значит в математике конструктивистом , я наверое в чем-то соглашусь с Гастритом, но во всем ли - не знаю, нет сил вчитываться...

(Гастрит, еще не проникнувшийся такими вещами, как , PH или BRT, застыл примерно в 1958 году.
С тех пор наука и наше понимание далеко вперед продвинулись. Мы гораздо больше знаем о том как конструктивно интерпретировать кванторы, а об этом вся речь в этом споре. Ну и о арфметизации...)

Будучи "плюралистом" и "формалистом" - в чем-то согласен с PPKK, но насколько - лень сидеть думать...

(Что у PPKK не так - тоже можно сесть и понять, чтобы сойтись к одной из "стандартных" позиций. Может быть стоит прочитать про NF (Книжка Форстера загружается из колхоза!)?)


4. Про сепулек - это у меня взято или кто-то сам придумал? Я сначала называл сепульками, потом труляляшками. В англоязычных стьятях использую слово "wombles".


5. Про аксиому "все числа меньше ста". Hа самом деле есть известная аксиома Сазонова: для всех n, log(log(n)) <10. Эмпирически проверяемый факт для каждого данного n. (записанного палочками) :)


6. Я не согласен с утверждением, что утверждения, которые нельзя доказать без аксиомы выбора, а можно доказать с ней, приобретают какую-то бОльшую истинность, из-за того, что мы доказали их с поможю труляляшек (zfcsets).


7. Почему никто не говорит про NF? Чем ZFC лучше NF? Этот пример перевернул бы всю дискуссию!


8. Кстати Пуанкаре, после того как отверг разрушившуюся "теорию множеств" стал всем говотить, что AC - очевидо правда, WP - очевидно неправда, а лемма Цорна - фиг ее знает.
(Их эквивалентность силно непредикативна, поэтому он в их эквивалентность не верил.)


9. Я резко отрицательно отношусь к фразеологии большинства конструктивистов, утверждающих будто и NF, ZFC и Z_2 и даже АTR_0 - это "теоретико множественные теории".

Это просто неправда. Каждая теория говорит о своих труляляшках или сепульках, а не о "множествах". И теории ведут себя слишком по-разному, чтобы их в одну корзинку кидать.

Это похоже на ZFC-пропаганду (там тоже утверждают, что ZFC - это теория множеств, и ее аксиомы верны...xe-xe-xe)


10. Я дочитал обрывками ваш спор до конца января. Спор - достаточно типичный, с типичными аргументами, но многе хорошие аргументы пропущены всеми сторонами
(ну плюс ошибки всякие) так что на пятерку не получилось...

Я собираюсь 11 мая устраивать публичные дебаты в Бристоле.

Конструктивист, формалист и реакционер-платонист: каждый против остальных двоих.

Дебаты часа на 3, со съемкой на камеру. Я - ведущий, буду их стравливать.... Хе-хе-хе.


Ищу в англии (или не в англии) конструктивиста из молодежи для участия в споре. Если кто знает - подскажите кого пригласить.




Андрей Бовыкин

(Reply to this) (Thread)

The ignorance of Bourbaki:

http://www.dpmms.cam.ac.uk/~ardm/bourbaki.pdf

(Reply to this) (Parent)

>1. бурбаков читать вредно. они наверное хорошие алгебраисты, но в теории множест
>не смыслят.И даже не в Tом дело, что у них фактических ошибок много, а в том, что они с
>самого начала имеют примитовное представление, давно опровергнутое
>классическими теоремами.

Кого, в таком случае, нужно читать в плане ознакомления с теорией множеств?

>(Книжка Форстера загружается из колхоза!)?)

Какая
из них?

>Про сепулек - это у меня взято или кто-то сам придумал?

Надо спросить у авторов, но думаю, благодаря Станиславу Лему это теперь универсальный placeholder, который первым-вторым приходит на ум в таких случаях.

>
>Ищу в англии (или не в англии) конструктивиста из молодежи для участия в споре.
>Если кто знает - подскажите кого пригласить.

Лично я никого не знаю, рекомендую дать объявление в http://community.livejournal.com/ru_math/

(Reply to this) (Parent)

> (Гастрит, еще не проникнувшийся такими вещами,
> как , PH или BRT, застыл примерно в 1958 году.

Гастрит застыл в 1974-ом (башня Маркова). И был бы очень признателен за аргументы в пользу того, зачем ему отстывать: просто чтобы не отстать от моды, или есть что-то более содержательное?

> Почему никто не говорит про NF?

Неправда Ваша.

> Это просто неправда. Каждая теория говорит о своих
> труляляшках или сепульках, а не о "множествах".

По факту — да. А на словах эти сепульки называются «множествами», причём делается вид, будто это те самые множества, с которыми математики сталкиваются в обычной работе (множество чётных чисел, множество точек пространства $C[0,1]$ и т.д.). Собственно, говорить иначе (кроме как промеж себя) они и не могут — боятся, что срежут финансирование. Именно (и только!) такая подмена понятий конструктивистов и бесит — так что тут Вы не правы.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ах да, увидел упоминание про NFовых труляляшек. Надо этим аргументом пользоваться как следует.

По-моему очень хороший аргумент против утверждения, будто ZFC -это аксиоматизация "теории множеств".

То, что определенные секты заведомо занимались фальсификацией, утверждая будто ZFC и есть "основание для математики", действительно так.

Но ведь в 1960е годы закончилась арифметизация матфизики и функционального анализа, так что с тех пор такой аргумент серьезно никто не употребляет.

А в 1970е годы появиласъ Обратная Математика, и этот дискурс (или семейство дискурсов) все ставит на свои места. Ведь никто не скажет, что ATR_0 - это "теория множеств".

Андрей

P.S. Да, многое изменилось и надо принять во внимание, но нет времени писать...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Но ведь в 1960е годы закончилась
> арифметизация матфизики
> и функционального анализа,
> так что с тех пор такой аргумент
> серьезно никто не употребляет.

Чего-чего? И как Вы предполагаете "арифметизированно" (в рамках конструктивного анализа, к примеру) доказывать, что сепарабельное гильбертово пространство изоморфно каждому своему бесконечномерному подпространству? Оболочке иммунного подмножества базиса, в частности? Соответствующие утверждения на деле имеют именно теоретико-множественную, а никак не "арифметизационную" природу!

> никто не скажет, что ATR_0 - это "теория множеств".

Конечно, не скажет. Потому что её никто, кроме узких специалистов, и не знает. Я ж и говорю, что профессиональные теоретико-множественники — это что-то вроде эзотерической секты: промеж себя они согласны, что занимаются сепульками, а вот "непосвящённым" вешают лапшу на уши.

> Да, многое изменилось и надо принять во внимание

Я полагаю, что любой достаточно искренний католик тоже уверен, что физикам надо принять во внимание решения II Ватиканского собора. Но у физиков на этот счёт другое мнение. Фразеология этой вашей BRT (сужу по тому, что в сети нашёл) чисто теоретико-множественная — так что извините, но я, пожалуй, отнесусь к ней именно так, как мне Нагорный советовал относиться к моде вообще: наплюю на неё :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

BRT - великое достижение логики, крупнейшее в 20 веке после Теоремы Гёделя и принципа Париса-Харрингтона. Если отбросить шелуху, то BRT занимается Пи_2 и Пи_3 арифметическими утверждениями и их пониманием. Если на BRT "наплевать", то можно отстать ... :)

Да, не весь функциональный анализ арифметизируется, а почти весь. Mногие теоремы, которые на поверхности кажутся неарифметизируемыми, на самом деле имеют арифметизируемые версии (как обычно, с помощю приближений).

Про Ваш комментарий про АТR_0: а какую логическую теорию знают? PRA? PA? IDelta_0? И какое отношение "популярность" объекта имеет к его важности?

Андрей

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> после Теоремы Гёделя

Вы на пять минут поторопились — Ваш пост идёт ещё не 1-ым апреля. Теорема Гёделя — типовое рефлексивное рассуждение, каковые прекрасно известны с XII-го века («может ли бог создать камень» и т.д. вплоть до антиномий Кантора и Рассела). Теорема Клини о неподвижной точке её запинает ногами — но! вот оно, главное-то: теореме Гёделя сделали широковещательную рекламу (в том числе среди дилетантов), а теореме Клини — нет! Так что Вы всё сильнее укрепляете меня в мнении, что в BRT ковыряться незачем — наверняка очередная разрекламированная пустышка :-(

> Пи_2 и Пи_3 арифметическими утверждениями
> и их пониманием. Если на BRT "наплевать",
> то можно отстать ... :)

Иначе говоря, в башне Маркова (которая охватывает всю арифметическую иерархию) есть дыры? Не откажете в любезности сообщить, в чём они состоят (я, честно говоря, не нашёл)?

> Mногие теоремы, которые на поверхности
> кажутся неарифметизируемыми, на самом деле
> имеют арифметизируемые версии

Спасибо за разъяснение. Но только у меня диссертация была по спектральной теории. Так что оценить сходство/различие между "обычным" функциональным анализом и конструктивным я могу и сам :-)

> какую логическую теорию знают? PRA? PA? IDelta_0?

Никакую не знают. Но что "без аксиоматики теория множеств не строится" (см. изначальное заявление ppkk) "слышали" многие. И кивают при этом чаще всего на ZF (как тот же ppkk).

> какое отношение "популярность" объекта имеет к его важности?

*удивлённо* Так я ж вроде сам постоянно и говорю, что большинство "модных" теорий — мыльные пузыри.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не говорил "доказательство теоремы Гёделя". Я говорил о недоказуемых утверждениях. Так что Ваш длинный комментарий - суета ... и не в тему. Все классические теоремы я знаю. И историю тоже немножко знаю.

То, что Вы различаете арифметизируемый ф.анализ и не арифметизируемый - очень хорошо. У меня проблемы с этим. Каждый раз, когда кажется, что "уж это-то никак не арифметизировать!!!" - оказывается что можно.

Не всякий арифметизируемый автоматически похож на свои конструктивные версии, но арифметизация - уже половина дела.

BRT - не модная теория (ее никто, кроме автора и еще двух-трех людей толком не знает). BRT - это большое открытие и достижение человечества. (И имеет значение для конструктивной математики, кстати.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я говорил о недоказуемых утверждениях

Тем хуже для Вас, ибо ни о какой "недоказуемости" теорема Гёделя вообще не говорит (она говорит про невыводимость в исчислениях, понятие же доказательства гора-а-а-аздо шире). Я ж сказал — реклама-матушка. Громкая. И лживая.

> И историю тоже немножко знаю.

Ну вот и рассказали бы, что такого есть в BRT, чего нет в "башне". Я бы спасибо сказал.

> Каждый раз, когда кажется, что "уж это-то никак не арифметизировать!!!" -
> оказывается что можно.

Я Вам привёл пример с изоморфизмом гильбертовых пространств (или с теоремой Кантора-Бернштейна, что по сути то же самое). Могу и ещё: теорема о существовании всюду определённого неограниченного функционала (ага, предлагается базис Гамеля арифметизировать). С интересом бы посмотрел, как оно будет.

> BRT - не модная теория (ее никто, кроме автора
> и еще двух-трех людей толком не знает).

Зато, похоже, все о ней говорят и восхищаются (Вы вот, в частности, усиленно рекламируете). Что ж, искренне желаю «автору с двумя-тремя людьми» получить свои очередные гранты. Да, вопрос выше (про BRT vs. Я₃) остаётся в силе.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я рекламой не интересуюсь. Это мой предмет, так что меня не обманут. :)))

Про BRT долго рассказывать и сложно на самом деле.

Пробовал выписать всё что хорошо бы знать, чтобы понять BRT. Накатал заметку.

http://www.maths.bris.ac.uk/~maaib/new.pdf

Теперь жалею (половину упустил и кое-чего нужного не сказал).

Можно о BRT погворить, но потом.

Башня Маркова есть у нас на картинке:

http://logic.pdmi.ras.ru/Markov/bashnya.jpg

Андрей

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не столь богато как Вы одарён вниманием Важного Андрея Бовыкина, которого привлёк сюда, так что придётся отвечать до получения разъяснений от него.

как тот же ppkk
1. ЦФ я привёл как пример аксиоматики. Бурбаки на основе ЦФ последовательно что-то построили. Если на основе других аксиоматик будут написаны подобные труды, можно будет кавать и на них.
2. Ваши слова о теории множеств к данному моменту ссылались по сути на какие-то "реальные множества", которые реальны для меня только как слова.

> какое отношение "популярность" объекта имеет к его важности?
*удивлённо* Так я ж вроде сам постоянно и говорю, что большинство "модных" теорий — мыльные пузыри.
"*удивлённо*"
Так чем же эти Ваши теории важнее подхода Бурбаков? Как я понимаю, логика достойных альтернатив не предложила, а важные математические результаты логиков чаще сводятся к иллюстрациям теоремы Гёделя по отношению к пресловутой аксиоматике ЦФ (к которой у меня нет какой-то имманентной привязанности).

"Множество" — слово. Его можно использовать как математический термин. Когда используют широко и без аксиоматики, могут быть проблемы (см. Кантор). Для аксиоматики нужна логическая теория и т.п.

Но чем лучше выбранная логическая теория и выбранная теория множеств, тем проще формулировать и доказывать интересующие математические утверждения, не вдаваясь в детали выбранной теории множеств и, тем более, выбранной логической теории.

Если логическая теория не может явно предложить интересные результаты, но её апологеты хотят, чтобы люди её "знали" — это паразитическая теория.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Как я понимаю, логика достойных альтернатив не предложила,
> а важные математические результаты логиков
> чаще сводятся к иллюстрациям теоремы Гёделя

Чувствуется влияние Бовыкина :-) Насколько я понял, "иллюстрации теоремы Гёделя" — это просто его специальность, и связанные с этим вещи кажутся ему "величайшими достижениями логики" по той единственной причине, что всяк кулик своё болото хвалит. Моя оценка роли теоремы Гёделя более чем сдержанная (я это в том посте, на который Вы отвечали, ясно написал): в логике есть вещи на порядок более важные (та же марковская семантика и основанная на ней конструктивная математика — но их Бовыкин, судя по его попыткам отшутиться картинками, попросту не знает).

> Когда используют широко и без аксиоматики

Не без аксиоматики, а без семантики. В физике (настоящей, разумеется; не струнной галиматье) исчерпывающей аксиоматики нет, и математические ошибки громоздятся одна на другую круче любого тетриса — однако это абсолютно никого не волнует, так как понятно, о чём именно идёт речь. В современной математике это понятно далеко не всегда (даже в этой ветке у нас с Вами добрые полсотни комментов ушли на выяснение того, что же такое "консистентная совокупность отчётливо различимых объектов"). На мой взгляд, проблема состоит именно в этой неясности предмета исследования — и попытка спрятаться за аксиоматическими сепульками есть не более, чем детская вера в то, что проблема исчезнет, если закрыть на неё глаза.

Впрочем, это уже моё личное profession de foi, к изначальному вопросу о характере преподавания и изучения теории множеств, данном нам в ощущениях, не относящееся :-)

> Но чем лучше выбранная логическая теория

Так вот в том и вопрос — откуда брать критерии качества.

> Если логическая теория не может явно предложить интересные результаты,
> но её апологеты хотят, чтобы люди её "знали" — это паразитическая теория.

Вот Вы это Бовыкину с его PH и расскажите :-) Впрочем, соотв. вопрос Вы и так уже задали.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

в логике есть вещи на порядок более важные (та же марковская семантика и основанная на ней конструктивная математика
…
> Но чем лучше выбранная логическая теория
Так вот в том и вопрос — откуда брать критерии качества.
Я понимаю, что слово "лучше" отличается от слова "важнее", но чем же важнее эта "марковская семантика и…"?

Не без аксиоматики, а без семантики
?
Математика не наука. Физика — наука. В физике, если математическую модель скрутили в бараний рог и она даёт научные результаты, всё в порядке.
В математике же аксиоматизация и формальный подход позволяют ошибки свести к техническим (хотя до того, чтобы статьи с доказательствами можно было проверять на компьютере, очень далеко, к сожалению) и ошибкам в аксиоматике или её выборе (аксиоматика оказалась противоречивой или в тщательно строящейся теории по недосмотру оказалось, что важные для её применимости результаты недоказуемы).
"О чём именно идёт речь" даже на уровне арифметике в младших классах ясно только если дети не задумываются и с учителем не спорят.

Бурбаки построили на формальном фундаменте (с выбранной логической теорией и ЦФ) важную часть математики. Этим и хороши (хотя, опять же, на компьютере их книжки не проверить, ибо давно писали, не подумали об этом: вот кто перепишет основы современной математики в код, проверяемый на компьютерах, да с возможностями для традиционного математического творчества [с инструментами для удобного написания статей, на компьютере проверяемых] — тот явно лучше Бурбаков окажется, хоть с ЦФ, хоть с какой логической теорией: лишь бы основные результаты и методы продолжали работать, да и новые можно было бы получать).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Продолжение глубоких веток:

> обсуждение Вашего простонародного
> доказательства противоречивости ЦФ

Вы полагаете, что Котофеич — один из моих псевдонимов?! O_o

> в математике проблемы Гильберта — это круто

...и ва-а-аще :-)) А полтораста лет назад было круто и ва-а-аще придумывать новые признаки сходимости рядов. И где теперь эти римляне?

Аргумент magister dixit — он в принципе один из самых убогих. Потому что если magister заслужил своё гордое наименование — то ровно потому, что понимал, зачем он это самое dixit. Человек же, бездумно повторяющий чужие формулировки, называется уже не magister; он называется "эпигон". А таковые редко интересны :-)

> тексты про натуральные числа в теории множеств
> со словом "standard" — пример некорректной пропаганды

Вам известен более распространённый способ задать средствами АТМ отдельные натуральные числа? Подчёркиваю: НЕ натуральный ряд "куском", а именно ОТДЕЛЬНЫЕ числа (чтобы можно было потом на языке АТМ записывать конкретные арифметические суждения вроде «2+2=4»)? Если известен — поделитесь ссылкой. Если нет — чем плохо слово "стандартное", раз в данном случае оно отражает объективную реальность, данную нам в ощущениях?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

...и ва-а-аще :-)) А полтораста лет назад было круто и ва-а-аще придумывать новые признаки сходимости рядов. И где теперь эти римляне?
Признаки сходимости рядов жили, живы и в обозримом будущем будут жить. Если кто-нибудь придумает существенно более удобный и общий метод проверки сходимости рядов, какую-нибудь Филдсовскую медаль, предполагаю, ему дадут легко.

Аргумент magister dixit — он в принципе один из самых убогих. Потому что если magister заслужил своё гордое наименование — то ровно потому, что понимал, зачем он это самое dixit. Человек же, бездумно повторяющий чужие формулировки, называется уже не magister; он называется "эпигон". А таковые редко интересны :-)
Естественно, аргумент из убогих. Но аргумент.

Подчёркиваю: НЕ натуральный ряд "куском", а именно ОТДЕЛЬНЫЕ числа (чтобы можно было потом на языке АТМ записывать конкретные арифметические суждения вроде «2+2=4»)? Если известен — поделитесь ссылкой.
Я писал, что у Бурбаков натуральные числа — конечные кардиналы. Давал ссылку. В формальном языке запись "2+2=4", конечно, всё равно у Бурбаков, конечно, не выходит: знаками логической теории у них являются загадочные буквы, а также  , τ, ∨ и ˥, а в теории множеств ещё и =, ∈ и ещё один символ, изображения которого я в Юникоде не нашёл, так что поставлю просто ⊙. В Бурбаках, "Теории множеств", "Мир", 1965, это стр. 187, также важно длинное замечание на стр. 188.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А чего крутого в теореме Париса-Харрингтона, кроме того, что ты о нём что-то написал? Что вообще значит это слово "принцип"?

Ну, проиллюстрировали теорему Гёделя: ура, типа.

Чем это круче Бурбаков, которые, хоть зарплату и не как логики получали, но на основе выбранной по обстоятельствам логической теории, выбрав по обстоятельствам теорию множеств, последовательно написали большой шмат современной им и достаточно важной ныне математики?

И чем хороша "BRT", кроме того, что ты в качестве ссылки на неё дал ссылку на свою статью про теорему Париса-Харрингтона? Я не понял сходу из неё, что такое BRT. Bus Rapid Transit? Boolean Relation Theory? Brain Research Trust? Black Russian Terrier? Binary Resolution Tree? Аббревиатуры в статье нет.

Кстати, можно писать ΙΔ₀ (хоть и некрасиво, но больше похоже), а не "IDelta_0". Книжка Фридмана, кстати, типографически тоже ужасна. И в ней я не нашёл раздела: "зачем нужна Boolean Relation Theory".

Всякая эта недоказуемость полезна, как я понимаю, в основном при наличии общепринятой логической теории/теории множеств. А иначе эти результаты неинтересны совсем. Или чего я не понял?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

До BRT было три математических (не синтаксических) примера недоказуемых утверждений: Парис-Харрингтон, теорема Крускала и теорема о минорах графов.

Гастрит конечно много знает, но ошибается, утверждая, что недоказуемых утверждений полно. Не найти их так просто, из-за того, что вся низшая математика арифметизируется и доказывается уже в примитивно рекурсивной арифметике. А интересных (=недоказуемых) утверждений только три штуки плюс BRT.

Да, математики занимаются нахождением "верных" утверждений (и их отрицаний). Меня истинные утверждения (и их отрицания) не очень интересуют. Я ищу утверждения, которые ни истинные ни ложные, и не про труляляшек, а про натуральные числа (осмысленные утверждения в конечной комбинаторике).

В начале мая кстати буду своих детей учить конструктивной математике (но в детской форме: что-то из книжки Мартин-Лёфа, а что-то из воспоминаний детства: последовательность Шпеккера, квадрат Оревкова).

ppkk: Про ZFC надо понять две вещи:

1. почему ZFC - это теория множеств, (а не правда)
2. почему ZFC - это не теория множеств (а труляляшки)

Друг другу даже на конечной арифметике противоречащие теории труляляшек ни к "правде" отношения не имеют ни "каноническими аксиоматизациями" теории множеств не являются.

Раз разные теории друг другу противоречат во всем - почему бурбаковская лучше остальных?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

не то я написал. Не в "лучше остальных" дело, а в "имеет отношение к правде".

Почему ты ее выбрал вместо одной из миллиона остальных, во всем противоречащих ей теорий труляляшек?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

С одной стороны — случайный пример, на основании личного знакомства.
Но если бы там был только первый том, то, наверное, ны выбрал бы: они же на этом построили дальнейшие труды, это у них сработало.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вообще-то принцип Парриса-Харрингтона доказывается, причём в одну строчку. Voilà:

Доказательство. Принцип Парриса-Харрингтона верен. Следовательно, принцип Парриса-Харрингтона верен.

Чем плохо? Тем, что не в PRA проведено? А кто Вам сказал, что выводы в PRA исчерпывают суть понятия «доказательство»? Или просто дело в том, что под "недоказуемость" гранты дают (т.к. слово звучит для неспециалиста заманчивой музыкой), а вот под "невыводимость в PRA" — уже нет (что-то узкоспециальное и неинтересное)? Где же, господа логики, ваша научная честность, без которой, Как Учил Нас Великий Фейнман, наука вырождается в карго-культ?

Стоп: а может, Вы как раз и есть служители карго-культа от логики? Так Вы ж признайтесь — мне можно, я Вашим грантодателям не расскажу. Честное пионерское :-)

> Не найти их так просто

Доказательство теоремы Гёделя состоит в предъявлении алгорифма, перерабатывающего любое $\Sigma_1$-полное семантически пригодное логическое исчисление в невыводимую вместе с отрицанием замкнутую $\Sigma_1$-формулу. Чего тут искать-то?

> Я ищу утверждения, которые ни истинные ни ложные

Опять "истинное" отождествлено с "выводимым в PRA"? Всё надеетесь, что самолёты с тушёнкой прилетят? :-)

> что-то из книжки Мартин-Лёфа

Да, великая книжка. Я о ней ещё ни одного положительного отзыва не слышал — в том числе от себя :-) Так что у Вас есть шанс стать тут Первым!

> что-то из воспоминаний детства: последовательность Шпеккера, квадрат Оревкова

...ленинградский принцип в качестве самостоятельной вещи (хотя он уж сорок почти лет как теорема)...

> в детской форме

В кои-то веки — честно :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не понял "доказательство". PH не является истинным утверждением.

Чем плоха последовательность Шпеккера - тоже не понял.

При чем здесь доказательство теоремы Гёделя? Я же писал, что не в нём дело. А замечание с алгоритмом я исключил, так как исключил синтаксические трюки (оставив лишь интересную содержательную математику).

Денег на мою науку никогда не давали. Я много лет был безработным, до недавнего времени. Не понимаю что за выпады!

Да, ленинградский принцип я не принимаю (недавно меня явным образом выявили): действительно я никогда не говорю про теорию "consistent".
Говорю только "not inconsistent".

Мне этот разговор надоел. Пожалуй, если содержательная часть закончилась, пойду обяснять детям как ZF+ (V=L) влечет существование деревьев Суслина.

Андрей

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(Mizar упорно не качается.)

http://kgs.logic.at/goedel-fellowship/index.php?winners — деньги дают под "Independence results in concrete mathematics", а не за "недоказуемость". Вы неправы.

Но, боюсь, независимость имеется в виду именно от презренной ЦФ…

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ppkk: Про ZFC надо понять две вещи:
1. почему ZFC - это теория множеств, (а не правда)
2. почему ZFC - это не теория множеств (а труляляшки)
Можно узнать, где я утверждал, что ЦФ — "правда"? И я что, мало раз утверждал, что не знаю никаких "реальных множеств", что ЦФ может оказаться неверной и т.п.? Прежде чем снисходительно предлагать мне что-то "понять", имеет смысл попытаться понять, что я утверждаю, а не писать мне обращения к какой-то убогой придуманной модели меня.

почему бурбаковская лучше остальных?
Потому что у них не только теория множеств. Потому что они не остановились на первом томе. Вот они в основном уже перестали книги печатать, пожалуйста: пишите с другой логической теорией/теорией множеств многотомник с основными достижениями современной математики. Только тогда у Бурбаков (если не будет принципиальных новых достоинств этих других теорий, сохраняющих выжные общепризнанные результаты и позволяющие получить новые) останется только старшинство.

А интересных (=недоказуемых) утверждений только три штуки плюс BRT.
То есть основные достижения логики — придумывать иллюстрации к теореме Гёделя о неполноте? А то, что Бурбаки на основе логической теории и теории множеств выписали немаловажную часть математики — разве не более серьёзное достижение в области логики?

> при наличии общепринятой логической теории/теории множеств.
Нет никакой "общепринятой логической теории". Многочисленные теории труляляшек и сепулек друг дружке противоречат (потенциально) даже на утверждениях о конечных множествах.
То есть до тебя наконец дошло, что для того, чтобы считать решением проблемы Уайтхеда результат Шелаха, нужно считать ЦФ общепринятой?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Петр,

я не говорил, что ты чего-то не понимаешь. Это просто был мой комментарий к последним трем месяцам ваших тут дискуссий. Все упрощается, если разделить ваш спор на два разных спора.

Я действительно утверждаю, что:

1. ZFC - это не теория множеств. Большинство математиков того времени отвергли ZFC (а принимали Канторовскую теорию множеств). И этому есть причина.
2. ZFC - это теория множеств (=труляляшек), в отличие от осмысленных утверждений.

Насчет твоего вопроса, просто ли я иллюстрирую теорему Гёделя. Да, но лишь в той же степени в которой обычные математики иллюстрируют 0=0.
Я думаю, что обычный математик удивится, если ты начнешь формулировать суть его занятий как "переформулирование 0=0". Суть не в этом.
Я интерестюсь ни истинными ни ложными утверждениями (или утверждениями "имеющими силу") в той же степени, в какой обычный математик интересуется истинными утверждениями.
(Главное - интересность и важность, новые математические явления. Понятно, само собой разумеется, что обычный математик должен доказать истинность своих теорем, но совсем не обязательно на этом концентрироваться...)

Нет, импликация Шелаха доказывается в примитивно рекурсивной арифметике. Его теорема говорит, что ZF+V=L верит в такй-то ответ на вопрос Уайтхеда...

Теперь про формализацию. Формализация математики началась с Фреге и закончилась книжкой Рассела и Уайтхеда. Нужны ли для этого труляляшки обсуждалось много десятилетий (с 1870х годов до 1920х годов). То, что после этого Бурбаки с малым числом ошибок по-дилетантски попробовали это повторить - хорошо. Но они сопроводили свои книги какими-то объяснениями, наивными и ошибочными. За это их и критикуют. А то что они из аксиом вывели какие-то теоремы (в большом количестве) - это никто не критикует. Это правда, и это и без Бурбаков было ясно.

(Но бурбаковские аксиомы не ответят мне на некоторые простейшие вопросы про натуральные числа.)

Важнейшим событием в основаниях математики в 20 веке была Арифметизация, проведенная Расселом-Уайтхедом, Гильбертом, Гёделем, Тюрингом, Марковым, Шаниным и некоторыми другими.

То, что Бурбакам на всё историю наплевать - еще одна причина не принимать их всерьез.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> при наличии общепринятой логической теории/теории множеств.

Нет никакой "общепринятой логической теории". Многочисленные теории труляляшек и сепулек друг дружке противоречат (потенциально) даже на утверждениях о конечных множествах.

Есть впрочем Z_2 и АTR_0: образец "классической" (в отличие от "конструктивистской") истинности, но, как я понял, в этом форуме Z_2 и АТR_0 не жалуют. :)))

(Reply to this) (Parent)