> С тем же успехом математик, любимым объектом которого
> является Х, может сказать, что математика — это
> наука об Х, каковой вполне материален сам по себе.

Вы хотите сказать, что сомневаетесь в реальности существования вычислительной техники? :-)

> имеет смысл только понятие натурального числа меньше 10^(10^100).

И почему же, интересно, не существует то число, которое Вы только что сами же и написали (или оно меньше самого себя)? :-) Кстати, вот Вы столько распинаетесь про физиков, а мышление-то у Вас (судя по Вашим пассажам) совершенно не физическое: физики редко смущаются тем обстоятельством, что им актуально не даны все электроны, отвечающие всевозможным решениям уравнения Дирака для свободной частицы. Они не смущаются даже тем, что оное уравнение вообще никакой электрон не описывает абсолютно точно (т.к. совершенно свободных частиц в природе не бывает). Попробуйте применить такой же естественнонаучный подход к математике — получите в точности конструктивную установку.

> Раньше физики не знали, что такое многообразие, векторнное
> расслоение и гильбертово пространство, а теперь знают.

Вашими бы устами, да мёд пить (т.е. некоторые-то заведомо знают, но вот в массе своей...).

> Так что пройдёт ещё немного времени, и физику
> выучат разницу между симметрическим и самосопряжённым
> оператором, и узнают, как определять экспоненту в неограниченном
> случае. Никуда они не денутся.

Не денутся, если наработанные алгорифмы решения типовых физических задач перестанут давать согласующиеся с экспериментом результаты. В противном случае им эти определения на фиг не сдались.

> А то, что в физике такой факт не имеет место быть.
> Невозможно путём непрерывной деформации ретрагировать
> круг на граничную окружность.

Угу, конечно. Вы, простите, что предпочитаете: в физике вводить окружность как множество решений уравнения \(x^2+y^2=1\), или в математике определять оную как согнутую проволоку?

Давайте не путать тёплое с мягким. Нету в физике вещественных чисел. То есть вообще. Потому что какой бы физический параметр мы ни взяли (расстояние, температуру или ещё что), при попытке неограниченного увеличения точности измерения этого параметра мы в один прекрасный момент просто сделаем его бессмысленным (как измерить расстояние точнее, чем размеры булыжников, расстояние между которыми меряется? что такое температура одной молекулы? и т.д.). В физике любой параметр, по сути, оценивается интервально — это такие прописные истины, что их даже как-то неловко лишний раз вспоминать (первая глава первого тома Гильберта-Бернайса, ага? методологические статьи А.Д.Александрова, угу?). Вещественное число, соответственно — это чисто математическое понятие. И свойства у него, простите, такие, какие они есть, а не такие, какие нам хотелось бы видеть. Иногда расходятся с физической интуицией? Простите, но отсюда не следует ничего, кроме дополнительного напоминания, что физика и математика суть разные науки, а потому при математизации физических задач (а равно применении полученных математических результатов обратно к физике) нужно хоть иногда головой пользоваться. На предмет выяснения корректности таких междисциплинарных переходов.

Кстати, "классическая" аксиома непрерывности уж точно абсолютно нефизична (см. выше про неограниченное уточнение параметра). Но у Вас это почему-то нареканий не вызывает.

> А сами науки полезны в жизни.

Это все так говорят. А где польза от той же теории струн (и будет ли она вообще, это ещё бабушка надвое сказала)?

Те же аргументы можно применить к католической средневековой схоластике: от неё великий прок, ибо полезна для католицизма в целом, а последний душу спасает. Лично для меня, во всяком случае, это не аргумент. Или теория описывает реальность (и тогда она наука), или не описывает (а тогда она к науке отношения не имеет, вне зависимости от степени своей душеспасительности).

> Как видите, не разберутся, раз используют
> спектральную последовательность Атии-Хирцебруха.

Что, прямо-таки для циклотронов? :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Позволю себе вмешаться. По выражению Манина (не могу найти точную цитату),
математика строит мифы, которые используются в других науках. Таким образом, к
реальности она имеет лишь опосредованное отношение.

Вещественные числа -- очень хороший миф, который позволяет физикам рассуждать о реальности. Конструктивная математика не позволяет рассуждать о реальности менее эффективно (и, на наш вкус, менее красиво).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Демонология тоже позволяет (демон Максвелла? духи Фаддеева-Попова?), и что теперь? Вводить соответствующий курс в обязательную программу для естественнонаучных специальностей?

ИМХО, мифы должны иметь статус мифов, а не науки. Тогда к ним и претензий не будет.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Демонология тоже позволяет (демон Максвелла? духи Фаддеева-Попова?), и что теперь?

Извините, но вы же прекрасно понимаете, что
это всего лишь термионология.
Речь идёт о содержательном понятии вещественного числа.

Слово «миф», очевидно, используется в переносном смысле.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Речь идёт о содержательном понятии вещественного числа.

И каково же это содержание, если у соответствующей аксиоматики нет модели?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>И каково же это содержание, если у соответствующей аксиоматики нет модели?

У аксиоматики вещественных чисел есть явная модель:
это пополнение рациональных чисел по архимедовому нормированию.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Угу, тогда и у шестоднева есть столь же явная модель. Где можно посмотреть на конкретный материальный объект, про который можно было бы сказать, что он является результатом пополнения множества рациональных чисел по архимедовому нормированию?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Простите, а где можно посмотреть на конкретный материальный
объект, про который можно сказать, что он является
реализацией конструктивных вещественных чисел?
Очень хочется увидеть.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Желаете, чтобы я настрочил Вам нормальный алгорифм над алфавитом {|,/,-}, перерабатывающий натуральное число (заданное в виде цепочки чёрточек) в соответствующую частичную сумму ряда \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}1/n!\)? Если Вы будете ОЧЕНЬ настаивать, оно можно :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Пока что это не конкретный материальный объект,
а его описание. Хочется увидеть собственно объект,
который реализует эту конструкцию.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если Вы так настаиваете, я ж напишу (только не за две минуты).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Конструктивная математика не позволяет рассуждать о реальности менее эффективно (и, на наш вкус, менее красиво).

Тут, наверное, надо какие-то поправки внести.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тут, наверное, надо какие-то поправки внести.

Спасибо, переформулирую и дополню :

Конструктивная математика и, в особенности конструктивные вещественные числа, не позволяет физикам рассуждать о реальности столь же эффективно, как "классическая".
И, на мой вкус, конструктивная математика менее красива и менее
интересна.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Конструктивная математика и, в особенности конструктивные вещественные числа,
> не позволяет физикам рассуждать о реальности столь же эффективно, как "классическая".

Откуда дровишки?

> И, на мой вкус, конструктивная математика менее красива и менее интересна.

А на мой вкус, ровно наоборот. Как определить, чей вкус вкуснее?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Откуда дровишки?

Я привёл пример с теоремой Лефшеца.

(Reply to this) (Parent)

>Вы хотите сказать, что сомневаетесь в реальности существования вычислительной техники? :-)

Я сомневаюсь в том, что конструктивная математика исчерпывает
всю содержательную математику. Точнее, я нисколько не
сомневаюсь в обратном утверждении.

>И почему же, интересно, не существует то число, которое Вы только что сами же и написали (или оно меньше самого себя)? :-)

Ну как же, его же в принципе не возможно представить в компьютере.
Поскольку существует только то, что вычислимо,
это число не существует.

>Кстати, вот Вы столько распинаетесь про физиков, а мышление-то у Вас (судя по Вашим пассажам) совершенно не физическое: физики редко смущаются тем обстоятельством, что им актуально не даны все электроны, отвечающие всевозможным решениям уравнения Дирака для свободной частицы. Они не смущаются даже тем, что оное уравнение вообще никакой электрон не описывает абсолютно точно (т.к. совершенно свободных частиц в природе не бывает).

Так и я этим нисколько не смущаюсь.
Более того, я не смущаюсь тем, что мне актуально не даны
все вещественные числа, а лишь их счётное подмножество.
Это не мешает мне работать со всеми вещественными числами.

>Попробуйте применить такой же естественнонаучный подход к математике — получите в точности конструктивную установку.

Я уже применил и получил классическую математику.
Смотрите выше.

>Вашими бы устами, да мёд пить (т.е. некоторые-то заведомо знают, но вот в массе своей...).

Что происходит в массе, никого не волнует.
Математики в массе своей не знают, что такое векторное расслоение.

>Не денутся, если наработанные алгорифмы решения типовых физических задач перестанут давать согласующиеся с экспериментом результаты. В противном случае им эти определения на фиг не сдались.

Как я уже указал, очень даже сдались.
Математическая образованность физиков непрерывно
повышается. В первой половине 20 века какой-то
физик активно возражал против преподавания теории групп
студентам, говоря, что уж эта область им точно не понадобится.
Ничего, сейчас физики изучают теорию групп.
И симметрические операторы будут изучать, и экспоненту
неограниченного оператора тоже будут изучать. Никуда они
не денутся.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я сомневаюсь в том, что конструктивная математика исчерпывает
> всю содержательную математику. Точнее, я нисколько не
> сомневаюсь в обратном утверждении.

Да ради бога. А я не вижу у классической математики реального (т.е. существующего в том же смысле, что кирпич) предмета исследования. Разница во взглядах-с. Бывает-с.

> Ну как же, его же в принципе не возможно представить в компьютере.

Т.е. тот пост, в котором Вы это число приводили, был написан посредством Духа Святаго? Спасибо за разъяснение, сам бы я ни за что не догадался.

> Так и я этим нисколько не смущаюсь.
> Более того, я не смущаюсь тем, что мне актуально не даны
> все вещественные числа, а лишь их счётное подмножество.

Актуально может быть дано только конечное подмножество. А аксиома непрерывности требует наличия именно бесконечных (в физике, заметьте, нет утверждений про актуально бесконечные совокупности электронов!).

> Это не мешает мне работать со всеми вещественными числами.

Работать языком, следовало бы добавить. Угу. Для этого даже ластики не нужны.

> Я уже применил и получил классическую математику.
> Смотрите выше.

Плохо применяли: в физике нет утверждений про актуально бесконечные совокупности объектов. Смотрите выше.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>реального (т.е. существующего в том же смысле, что кирпич)
Проблема заключается в том, что число 2 столь же
реально, как и какое-нибудь невычислимое число.
Оба можно записать на бумаге и положить на стол.

>Т.е. тот пост, в котором Вы это число приводили, был написан посредством Духа Святаго?

Он был написан посредством классической математики.

Вот более качественный пример.
Возьмём все числа, которые можно записать
программами, длина которых не превосходит 10^(10^100).
Таких чисел конечное число.
Возьмём минимальное число, которое нельзя представить
таким способом. Это вполне конкретное, чётко
определёное натуральное число. Вы никогда не сможете
положить его на стол.

>Актуально может быть дано только конечное подмножество. А аксиома непрерывности требует наличия именно бесконечных (в физике, заметьте, нет утверждений про актуально бесконечные совокупности электронов!).

Боюсь, что теперь следует определить, что такое
актуально конечная/бесконечная совокупность.

>Работать языком, следовало бы добавить. Угу. Для этого даже ластики не нужны.

Работать мозгом. И получать содержательные утверждения.

(Reply to this) (Parent)

>Угу, конечно. Вы, простите, что предпочитаете: в физике вводить окружность как множество решений уравнения \(x^2+y^2=1\), или в математике определять оную как согнутую проволоку?

Естественно, я не имел ввиду наивное представление.
Из существования такой теоремы вытекает, что теорема
Лефшеца о неподвижных точках неверна.
Сходу нашёл статью по физике, в которой используется
теорема Лефшеца:
http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVN-42P64GT-C&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=90dc7cb8b67743f883f8fdde00f55fc7

Кстати, Vafa — очень известный физик.
Что прикажете им делать с конструктивной установкой?

>Вещественное число, соответственно — это чисто математическое понятие.

>как измерить расстояние точнее, чем размеры булыжников, расстояние между которыми меряется? что такое температура одной молекулы?

Что мешает неограниченно уменьшать размеры булыжников?

Температура прекрасно определяется для любого количества
молекул как средняя кинетическая энергия одной молекулы.
В классическом (неквантовом) случае температура
одной молекулы равна нулю.

>Вещественное число, соответственно — это чисто математическое понятие.

А вот это, простите, никак не следует из предыдущих рассуждений.
Каким образом вы можете гарантировать существование
вещественного числа, которое невозможно получить путём
последовательных физических измерений с возрастающей точностью?
Возьмём любое неконструктивное (более того, неопределимое
в теории множеств с кучей добавленных аксиом по выбору),
и предположим, что в результате некоторого физического
измерения мы со всё большей и большей точностью получаем
это неопределимое число. Что тогда?
Можете ли вы гарантировать, что такого никогда не случится?

>Иногда расходятся с физической интуицией?
Вещественные числа с физической интуицией не расходятся.
Как и в физике, любое вещественное число в математике
можно неограниченно точно приближать, скажем, десятичными
дробями.

>Простите, но отсюда не следует ничего, кроме дополнительного напоминания, что физика и математика суть разные науки, а потому при математизации физических задач (а равно применении полученных математических результатов обратно к физике) нужно хоть иногда головой пользоваться. На предмет выяснения корректности таких междисциплинарных переходов.

Это конечно. Только из этого никак не следует, что
обычные вещественные числа непригодны для физики.
Кстати, я уже написал, почему конструктивные
числа непригодны для физики: для них неверна теорема
Лефшеца.

>Кстати, "классическая" аксиома непрерывности уж точно абсолютно нефизична (см. выше про неограниченное уточнение параметра). Но у Вас это почему-то нареканий не вызывает.

Простите, как неограниченное уточнение параметра
связано с аксиомой непрерывности (в форме Дедекинда, например)?
По-моему, это может использоваться разве что в качестве
подтверждения её правильности.

>Это все так говорят. А где польза от той же теории струн (и будет ли она вообще, это ещё бабушка надвое сказала)?

Я точно знаю, что тоже самое говорили про теорию
электромагнитного поля Максвелла. Кажется, тоже
самое говорили про теорию относительности.
И ничего, нашли применения. Если бы скептики вроде
вас победили бы тогда, эта дискуссия не состоялась
бы по причине технической невозможности.
И для теории струн будут применения.

>Или теория описывает реальность (и тогда она наука), или не описывает (а тогда она к науке отношения не имеет, вне зависимости от степени своей душеспасительности).

Теория струн описывает реальность.

>Что, прямо-таки для циклотронов? :-)

Пример с теоремой Лефшеца я привёл.
Если вы воспользуетесь Google, то найдёте пример для Атии-Хирцебруха.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Сходу нашёл статью по физике,
> в которой используется теорема Лефшеца

Уже из аннотации ясно, что статья эта относится не к физике, а к философии (каков у т.н. "струнной физики" экспериментальный статус, а?). А для философов действительно любая чушь сойдёт, им даже ластики не нужны.

> Что мешает неограниченно уменьшать размеры булыжников?

В теории — ровно ничего. А на практике — покажите, как это сделать. Гладко было на бумаге...

> Температура прекрасно определяется для любого количества
> молекул как средняя кинетическая энергия одной молекулы.

Это опять же теория. Вы покажите, как на практике, "в железе", измерить эту самую температуру одной молекулы.

> А вот это, простите, никак не следует из предыдущих рассуждений.
> Каким образом вы можете гарантировать существование
> вещественного числа, которое невозможно получить путём
> последовательных физических измерений с возрастающей точностью?

[пожимая плечами] Зачем "гарантировать" существование объекта, который можно предъявить в явном виде? Если Вам на голову упадёт кирпич, каких Вы будете требовать дополнительных гарантий, что этот кирпич действительно существует?

> Возьмём любое неконструктивное (более того, неопределимое
> в теории множеств с кучей добавленных аксиом по выбору),

Да я двумя руками "за". Давайте возьмём. Куда обратиться?

> и предположим, что в результате некоторого физического
> измерения мы со всё большей и большей точностью получаем
> это неопределимое число.

Да зачем же "предположим"? Вы покажите конкретный физический объект, который будет измеряться, соорудите конкретный прибор, которым оное измерение будет производиться. "Предположить"-то много чего можно: если бы да кабы, то во рту росли б грибы.

> Можете ли вы гарантировать, что такого никогда не случится?

Не могу, разумеется. Я вообще, если Вы заметили, говорю только про то, что могу гарантировать. Надеюсь, Вы поступаете так же. А потому, пожалуйста, предъявите мне объект, удовлетворяющий "классическим" аксиомам вещественной прямой. Мне такие объекты неизвестны (именно поэтому я и сомневаюсь в правомочности претензии учения о свойствах таких объектов считаться наукой: науки изучают реальность, а не аксиоматизированные фантазии).

> Как и в физике, любое вещественное число в математике
> можно неограниченно точно приближать, скажем, десятичными
> дробями.

Вы сначала продемонстрируйте, как температуру измерять с неограниченной точностью, вот тогда и поговорим про вещественные числа в физике. А пока эти Ваши рассуждения — беспредметная философия.

> Простите, как неограниченное уточнение параметра
> связано с аксиомой непрерывности (в форме Дедекинда, например)?

А как можно утверждать, что любое рациональное число попадёт в один из классов сечения, не умея измерять параметр с неограниченной точностью? Если точность ограничена, то для некоторых чисел ответ будет не "правый" или "левый", а "не знаю" (и на практике так оно и есть).

> И для теории струн будут применения.

Вот когда будут, тогда и поговорим (если действительно будут). Вообще-то у струн есть некоторое отличие от уравнений Максвелла и теории относительности: уравнения Максвелла опирались на давно известные экспериментальные данные (единственной гипотезой там было появление электромагнитных волн, что тоже моментально подтвердилось), теория относительности такоже. А на каких экспериментальных данных основаны струны? Где у нас пресловутое двадцать шестое измерение (и сколько их вообще на текущий момент, а то я что-то за ростом их числа следить перестал)?

> Теория струн описывает реальность.

А уж лешие так по лесу и шастают. Стра-а-ашно, аж жуть! :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Уже из аннотации ясно, что статья эта относится не к физике, а к философии (каков у т.н. "струнной физики" экспериментальный статус, а?). А для философов действительно любая чушь сойдёт, им даже ластики не нужны.

А вы, стало быть, ещё и специалист в области физики?
Теория струн — одна из областей физики,
не вижу в ней ничего экстраординарного.
Попытки объявить её философией представляются
бессодержательными до тех пор, пока не предъявлены
осмысленные аргументы.
Что касается экспериментального статуса,
то в настоящее время в Швейцарии строят LHC.
(Хоть это вам известно?)
Ситаация такая же, как с ОТО: сначала Эйнштейн придумал
теорию, а уже потом стали измерять отклонение света звёздами и проводить другие эксперименты.
К тому же, теория струн ещё не закончена.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Попытки объявить её философией представляются
> бессодержательными до тех пор, пока не предъявлены
> осмысленные аргументы.

Это как раз попытки объявить её физикой представляются бессодержательными до этих самых пор.

> Что касается экспериментального статуса,
> то в настоящее время в Швейцарии строят LHC.
> (Хоть это вам известно?)

Известно, разумеется. Однако оный пока, вроде, до конца не построен. И что в итоге намеряет, ещё бабушка надвое сказала.

> Ситаация такая же, как с ОТО: сначала Эйнштейн придумал теорию,
> а уже потом стали измерять отклонение света звёздами
> и проводить другие эксперименты.

Да, да, всё так и было.

> К тому же, теория струн ещё не закончена.

А практика даже и не начата. Так что пока это заведомо не физика.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Это как раз попытки объявить её физикой представляются бессодержательными до этих самых пор.

Так никто и не объявляет, они и так является физикой.

>Да, да, всё так и было.

At its introduction in 1915, the general theory of relativity did not have a solid empirical foundation. It was known that it correctly accounted for the "anomalous"precession of the perihelion of Mercury and on philosophical grounds it was considered satisfying that it was able to unify Newton's law of universal gravitation with special relativity. That light appeared to bend in gravitational fields in line with the predictions of general relativity was found in 1919 but it was not until a program of precision tests was started in 1959 that the various predictions of general relativity were tested to any further degree of accuracy in the weak gravitational field limit, severely limiting possible deviations from the theory.

Между прочим, Эйнштейн не пытался создавать теорию,
объясняющую аномалию Меркурия. Он просто
создавал теорию, соединяющую в себе классическую
гравитацию и СТО. А потом подметил, что теория объясняет
аномалию Меркурия. Остальные тесты были выполнены гораздо позже.

>А практика даже и не начата. Так что пока это заведомо не физика.

Как я уже отметил, следуя вашей логике, в момент
своего создания ОТО не являлась физикой.

Вот, например:
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_general_relativity
By 1912, Einstein was actively seeking a theory in which gravitation was explained as a geometric phenomenon.
…
The field equations he published in October of 1915 were …
This predicted the non-Newtonian perihelion precession of Mercury, and so had Einstein very excited.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> они и так является физикой.

Конечно-конечно. А уфология является частью астрономии.

> Он просто создавал теорию, соединяющую в себе
> классическую гравитацию и СТО.

Вот именно, что "соединяющую в себе" две старые теории с чётким экспериментальным статусом. Никаких высосанных из пальца "рреволюционных" гипотез (вроде суперсимметрии, миллиона доп.размерностей и т.д.) Эйнштейн при построении ОТО не привлекал. История с Меркурием также показывает, что экспериментальный статус ОТО приобрела, по сути, ещё до своего появления. Ничего подобного для струн мы не имеем: фактов за этой теорией пока, вроде, не числится (только реклама).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вот именно, что "соединяющую в себе" две старые теории с чётким экспериментальным статусом.

Теория струн тоже соединяет в себе две старые теории
(ОТО и стандартную модель) с чётким экспериментальным статусом.

>Никаких высосанных из пальца "рреволюционных" гипотез (вроде суперсимметрии, миллиона доп.размерностей и т.д.)

А вот многие учёные тех лет думали наоборот. Гипотеза
о кривизне пространства им казалось высосанной из пальца,
примерно как нынешняя гипотеза о дополнительных размерностях.

>Эйнштейн при построении ОТО не привлекал. История с Меркурием также показывает, что экспериментальный статус ОТО приобрела, по сути, ещё до своего появления.

Разработка ОТО началась в 1912 году, а применили её к Меркурию
в 1915 году. Теория струн сейчас находится где-то между
1912 и 1915 годом.

>Ничего подобного для струн мы не имеем: фактов за этой теорией пока, вроде, не числится (только реклама).

Это естественно, поскольку теория ещё не закончена.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Теория струн тоже соединяет в себе две старые теории
> (ОТО и стандартную модель) с чётким экспериментальным статусом.

Из которой из них взяты 26-мерные пространства?

> А вот многие учёные тех лет думали наоборот. Гипотеза
> о кривизне пространства им казалось высосанной из пальца,

Вообще-то "гипотеза о кривизне пространства" встречается только в плохих научно-популярных брошюрах. В ОТО (и Вы это не хуже меня знаете, полагаю), рассматривается кривизна пространства-времени, что далеко не то же самое. И никакая эта кривизна на деле не "гипотеза", а несложное следствие из принципа эквивалентности (известного задолго до Эйнштейна).

Следствием какого давно установленного экспериментального факта являются 26-мерные многообразия?

> Теория струн сейчас находится где-то между
> 1912 и 1915 годом.

Существенно позже она находится: где-то в 1930-х, когда Эйнштейн пытался высосать из пальца Единую Теорию Поля.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Из которой из них взяты 26-мерные пространства?
Из чего Эйнштейн взял кривизну пространства —
из ньютоновской гравитации или из СТО?

>Вообще-то "гипотеза о кривизне пространства" встречается только в плохих научно-популярных брошюрах
Очевидно, что пространство подразумевается здесь
в математическом смысле — как четрёхмерное лоренцево многообразие.
Пространство в физическом смысле в ОТО вообще
никакого смысле не имеет.

>И никакая эта кривизна на деле не "гипотеза", а несложное следствие из принципа эквивалентности (известного задолго до Эйнштейна).

Такое уж и несложное? В таком случае одиннадцатимерное
пространство (пространство-время, если вам угодно)
теории струн — это тоже несложно следствие
из принципов ОТО и стандартной модели.

>Существенно позже она находится: где-то в 1930-х, когда Эйнштейн пытался высосать из пальца Единую Теорию Поля.

Это уже ваши собственные спекуляции.
Как я уже указал, в настоящее время ведётся постройка LHC,
на котором смогут провести первые эксперименты.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Экспериментальных подтверждений ОТО нет до сих пор. Это так, для справки. В частности, до сих пор не могут достаточно точно измерить ни отклонение луча света в поле Солнца, ни прецессию орбиты Меркурия. А "подтверждение" в те времена было чистым жульничеством.

(Reply to this) (Parent)

Впрочем, теорема Лефшеца используется не только в теории
струн. Вот, например, статья по физике конденсированного состояния:
http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TJJ-4CF72RF-1&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=8529433f9e9be868e9eb4193c786d7a9

Интересно, а физику конденсированного состояния
вы тоже считаете философией?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Физики (и я это уже не по разу повторил) с лёгкостью берут расходящиеся интегралы и суммируют ряды с неограниченно растущими слагаемыми. Потому что у них критерий один: чтобы с экспериментом совпало. Если совпадает — они правы, независимо от степени математической корректности их действий. Если не совпадает — они не правы, даже если проводили вычисления абсолютно безукоризненно. К математике обе эти ситуации отношения не имеют. Ибо математика — не физика (и не механика, и не геометрия).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не понимаю, какое отношение это высказывание имеет
к моему примеру статьи по физике, использующей
теорему Лефшеца? Теорема Лефшеца —
это нетривиальный факт, даже по своей формулировке.
Это факт неверен в конструктивной математике.
Зато он верен в обычной математике. Итого мы имеем:
обычная математика предоставляет для физики
нетривиальный результат, который в конструктивной
математике неверен.

>Физики (и я это уже не по разу повторил) с лёгкостью берут расходящиеся интегралы и суммируют ряды с неограниченно растущими слагаемыми.

Но при этом они сами понимают сомнительность таких
действий. И делают так только потому, что пока
ещё не предложен выход из этой ситуации.

Ньютон, Лейбниц и Эйлер пользовались бесконечно
малыми, которые не имели никакого, даже
самого грубого обоснования. Вы хотите сказать,
что они физики?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я не понимаю, какое отношение это высказывание имеет
> к моему примеру статьи по физике, использующей
> теорему Лефшеца?

Такое, что на самом деле физику плевать, верна эта теорема или нет. Физику нужно математикообразное обоснование утверждения, которое он и без всяких теорем считает верным. Ссылка на теорему — это с его точки зрения дополнительный (а никак не решающий!) аргумент в пользу его утверждений; не попадись ему эта теорема под руку, он бы всё равно не огорчался, а сослался бы на "физическую очевидность". Когда физики хотят сделать что-то, противоречащее классической математике (разложить экспоненту неограниченного оператора в степенной ряд, например), они именно так и поступают. Недаром Березин (скажете, он конструктивист?) писал, что "физические" учебники квантовой механики вызывают у математика ощущение систематического надувательства.

> Но при этом они сами понимают сомнительность таких действий.
> И делают так только потому, что пока ещё не предложен выход
> из этой ситуации.

Это они сами так говорят, да?

> Ньютон, Лейбниц и Эйлер пользовались бесконечно малыми,
> которые не имели никакого, даже самого грубого обоснования.
> Вы хотите сказать, что они физики?

Ньютон пользовался не бесконечно малыми, а механическими представлениями о скорости, ускорении и т.д. Что и неудивительно, т.к. сам он был именно механиком. Пользовавшийся же бесконечно малыми Лейбниц был, вообще-то, философом. Что же до Эйлера, то он (поскольку дело касается бесконечно малых) был аналитиком — существовала в XVIII веке такая дисциплина на стыке механики, математики, и геометрии (после создания современного анализа в начале XIX века полностью вымершая).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Такое, что на самом деле физику плевать, верна эта теорема или нет. Физику нужно математикообразное обоснование утверждения, которое он и без всяких теорем считает верным. Ссылка на теорему — это с его точки зрения дополнительный (а никак не решающий!) аргумент в пользу его утверждений; не попадись ему эта теорема под руку, он бы всё равно не огорчался, а сослался бы на "физическую очевидность". Когда физики хотят сделать что-то, противоречащее классической математике (разложить экспоненту неограниченного оператора в степенной ряд, например), они именно так и поступают. Недаром Березин (скажете, он конструктивист?) писал, что "физические" учебники квантовой механики вызывают у математика ощущение систематического надувательства.

Извините, но всё это — ваши досужие домыслы,
не имеющие к физике никакого отношения.
С физическими учебниками квантовой механики тоже всё понятно:
как я уже говорил, физики довольно медленно в своей массе
усваивают новые математические методы, отсюда и имеем
огрехи в физических учебниках.

>Это они сами так говорят, да?
Да.

>Ньютон пользовался не бесконечно малыми, а механическими представлениями о скорости, ускорении и т.д. Что и неудивительно, т.к. сам он был именно механиком.

К вашему сведению, Ньютон был математиком.
Например он изобрёл многоугольник Ньютона.
Это, по-вашему, тоже механика?

>Пользовавшийся же бесконечно малыми Лейбниц был, вообще-то, философом. Что же до Эйлера, то он (поскольку дело касается бесконечно малых) был аналитиком — существовала в XVIII веке такая дисциплина на стыке механики, математики, и геометрии (после создания современного анализа в начале XIX века полностью вымершая).

Очень интересно. И когда же, по-вашему, появилась математика?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Извините, но всё это — ваши досужие домыслы,
> не имеющие к физике никакого отношения.

Разумеется. И блестящий пассаж


Если \(\Phi(t)\) и \(\Phi(t+\delta t)\) --- значения \(\Phi\) в два бесконечно близких момента времени, то в силу (72,5) они связаны друг с другом посредством \[\Phi(t+\delta)=[1-i\delta t\cdot\hat V(t)]\Phi(t)=\exp[-i\delta t\cdot\hat V(t)]\Phi(t)\]. Соответственно, значение \(\Phi\) в произвольный момент \(t_f\) может быть выражено через значение в некоторый начальный момент \(t_i\) (\(t_f>t_i\)) как $$\Phi(t_f)=\left\{\Prod_i^f\exp[-i\delta t_{\alpha}\cdot\hat V(t_{\alpha})]\right\}\Phi(t_i),\eqno(72,6)$$ где знак \(\Pi\) означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам \(\delta t_{\alpha}\) между \(t_i\) и \(t_f\). Если бы \(\hat V(t)\) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к \[\exp\left\{-i\int\limits_{t_i}^{t_f}V(t)\,dt\right\}.\] Но такое сведение основано на коммутативности множителей (взятых в разные моменты времени), подразумевающейся при переходе от произведения в (72,6) к суммированию в экспоненте. Для оператора \(\hat V(t)\) такой коммутативности нет, и сведение к обычному интегралу невозможно.\par Напишем (72,6) в символическом виде $$\Phi(t_f)=T\exp\left\{-i\int\limits_{t_i}^{t_f}\hat V(t)\,dt\right\}\Phi(t_i),\eqno(72,7)$$ где \(T\) --- символ \emph{хронологизации}, означающий определённую ("<хронологическую">) последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (72,6). В частности, положив \(t_i\to-\infty\), \(t_f\to+\infty\), получим $$\Phi(+\infty)=\hat S\Phi(-\infty),\eqno(72,8)$$ где $$\hat S=T\exp\left\{-i\int\limits_{t_i}^{t_f}\hat V(t)\,dt\right\}.\eqno(72,9)$$\par Смысл записи (72,7-9) формально точного решения волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням возмущения: $$\hat S=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-i)^k}{k!}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dt_1\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}dt_2\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty}dt_k\cdot T\{\hat V(t_1)\hat V(t_2)\ldots\hat V(t_k)\}.\eqno(72,10)$$


в котором буквально каждая фраза с точки зрения самой что ни на есть расклассической математики представляет собой БСК, я сейчас сам придумал, а вовсе не из четвёртого тома ландавшица переписал. Да, вот такой вот я забавный зверёк.

> Например он изобрёл многоугольник Ньютона.
> Это, по-вашему, тоже механика?

Казалось бы, при чём тут бесконечно малые?

> Очень интересно. И когда же, по-вашему, появилась математика?

Где-то в неолите. А вот анализ стал частью математики (а не самостоятельным разделом естествознания) в начале XIX века, с возникновением столь нелюбимых Вами эпсилон-дельт.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>в котором буквально каждая фраза с точки зрения самой что ни на есть расклассической математики представляет собой БСК, я сейчас сам придумал, а вовсе не из четвёртого тома ландавшица переписал. Да, вот такой вот я забавный зверёк.

Ландау известен своим неформальным отношением
к математике даже среди физиков.

>Казалось бы, при чём тут бесконечно малые?
А при том, что вы написали, что Ньютон не математик, а механик.

>А вот анализ стал частью математики (а не самостоятельным разделом естествознания) в начале XIX века, с возникновением столь нелюбимых Вами эпсилон-дельт.

При этом тот факт, что в это время ещё не было
и намёка на определение вещественного числа вас не смущает?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>>Это они сами так говорят, да?
> Да.

Вы уверены?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

При чём здесь это? У мнея дома есть книга «Математика без формул».
И что?

(Reply to this) (Parent)

>В теории — ровно ничего. А на практике — покажите, как это сделать. Гладко было на бумаге...

Зачем мне это делать? Измерять что-то путём приближений
предлагаете вы, а не я. Кстати, отметим, что
понятие конструктивного вещественного числа как
раз и предполагает возможность вычислить его с неограниченной
точностью. Так что тот же самый аргумент
применим в конструктивном случае.

Вообще, при такой точке зрение не нужно ничего, кроме
рацональных чисел, ибо последние плотны в вещественных,
следовательно достаточны для измерения чего угодно
с любой точностью.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Кстати, отметим, что понятие конструктивного вещественного числа
> как раз и предполагает возможность вычислить его
> с неограниченной точностью. Так что тот же самый аргумент
> применим в конструктивном случае.

Н-да... Говорил мне Нагорный, что у людей о конструктивизме бытуют самые дикие представления — а я, дурила, не верил :-((

Конструктивное вещественное число — это генерирующая "рациональные приближения" программа, которая всего лишь может применяться к различным натуральным числам, если для такого применения имеются действительная необходимость и достаточное количество вычислительных ресурсов. Не совокупность всевозможных результатов работы программы, а сама программа. Т.е. некий конечный текст.

> Вообще, при такой точке зрение не нужно ничего, кроме
> рацональных чисел, ибо последние плотны в вещественных,
> следовательно достаточны для измерения чего угодно
> с любой точностью.

Так а я что тут уже тридцать раз повторил? Разумеется, в физике можно прекрасно обходиться рациональными числами (на деле как раз и обходятся). Вещественные числа появляются только в чистой математике, и никакого отношения к "физической интуиции" не имеют и иметь не могут.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Н-да... Говорил мне Нагорный, что у людей о конструктивизме бытуют самые дикие представления — а я, дурила, не верил :-((

>Конструктивное вещественное число — это генерирующая "рациональные приближения" программа, которая всего лишь может применяться к различным натуральным числам, если для такого применения имеются действительная необходимость и достаточное количество вычислительных ресурсов. Не совокупность всевозможных результатов работы программы, а сама программа. Т.е. некий конечный текст.

Не следует пытаться выставить своего собеседника
идиотом, если он им не является. Всё, что вы написали,
мне и так прекрасно известно. Ваши просветительские
усилия пропали зря. Или что, вы думаете, я бы стал
говорить что-то про конструктивные вещественные
числа, не зная их определения?
Я вообще не понимаю, как глупость вроде
совокупности всевозможных результатов работы программы
могла прийти вам в голову.

>Так а я что тут уже тридцать раз повторил? Разумеется, в физике можно прекрасно обходиться рациональными числами (на деле как раз и обходятся). Вещественные числа появляются только в чистой математике, и никакого отношения к "физической интуиции" не имеют и иметь не могут.

Вы путаете физику и физические измерения (эксперимент).
При эксперименте действительно получаются
только рациональные числа. Однако есть ещё
теоретическая физика, которая занимается теоретическим
обоснованием эксперимента. И вот она-то
как раз активно использует вещественные числа.
И обойтись без них не может, хотя бы по причине
теоремы Лефшеца, а также по множеству
других причин.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Или что, вы думаете, я бы стал
> говорить что-то про конструктивные вещественные
> числа, не зная их определения?

Подозреваю, что так оно и есть. В противном случае Вы едва ли стали бы утверждать, что текст


abbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbaabaabbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbaabbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbaabbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbaabaabbbbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbaabaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbaabaabbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbaabbbbbbbbbbbbaabbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabaabbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbaabbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbbbaabbbbbbbbbbbbaabaabbbaabaabbbbaabbbbbbbbbbbbbba


является всего лишь "описанием" числа \(e\), в то время как на самом деле (исходя из определений) этот текст и есть указанное число. Повторяю ещё раз: если я запишу вышеприведённый текст ручкой на листе бумаги, то полученный материальный объект, состоящий из бумаги и чернил, будет числом \(e\). Не "описанием", а именно самим числом, понимаете?

> И обойтись без них не может, хотя бы по причине
> теоремы Лефшеца, а также по множеству
> других причин.

И без суммирования расходящихся рядов не может. И что? Отменить весь анализ, восстановить точку зрения XVIII века?

Вся Ваша аргументация исходит из посылки, что у математики нет самостоятельного (от приложений не зависящего) предмета исследования. Так вот он, предмет этот — есть. И у этого предмета есть объективные, от чьего бы то ни было желания не зависящие, свойства. Которые надо изучать, а не выдумывать по соображениям чьего-то "удобства".

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Подозреваю, что так оно и есть. В противном случае Вы едва ли стали бы утверждать, что текст
>является всего лишь "описанием" числа \(e\), в то время как на самом деле (исходя из определений) этот текст и есть указанное число. Повторяю ещё раз: если я запишу вышеприведённый текст ручкой на листе бумаги, то полученный материальный объект, состоящий из бумаги и чернил, будет числом \(e\). Не "описанием", а именно самим числом, понимаете?

Я уже говорил вам, что прекрасно знаю, что такое
конструктивное вещественное число. Не следует
считать своего собеседника идиотом. Ваши просветительские
усилия опять пропали даром.

Теперь касательно сути дела.
Цитирую ваш изначальный вопрос:

>Где можно посмотреть на конкретный материальный объект, про который можно было бы сказать, что он является результатом пополнения множества рациональных чисел по архимедовому нормированию?

Вы утверждаете, что запись алгоритма является конкретным
материальным объектом, про который можно сказать,
что он является конструктивным вещественным числом.

Что ж, в таком случае я утверждаю, что запись \sum_k A(k,k)
является конкретным материальным объектом,
про который можно сказать, что он является
неконструктивным вещественным числом.

>И без суммирования расходящихся рядов не может. И что? Отменить весь анализ, восстановить точку зрения XVIII века?

Пока не может, но в будущем сможет.
Когда-то механика и квантовая механика
тоже не были строго обоснованы. Сейчас эта ситуация
исправлена. Тоже самое произойдёт и с расходящимися рядами КТП.

>Вся Ваша аргументация исходит из посылки, что у математики нет самостоятельного (от приложений не зависящего) предмета исследования. Так вот он, предмет этот — есть. И у этого предмета есть объективные, от чьего бы то ни было желания не зависящие, свойства. Которые надо изучать, а не выдумывать по соображениям чьего-то "удобства".

Пожалуйста, дайте ссылку на место, где я высказываю
эту посылку.

>Так вот он, предмет этот — есть. И у этого предмета есть объективные, от чьего бы то ни было желания не зависящие, свойства. Которые надо изучать, а не выдумывать по соображениям чьего-то "удобства".

Именно этим и занимается обычная математика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Что ж, в таком случае я утверждаю, что запись \sum_k A(k,k)
> является конкретным материальным объектом,
> про который можно сказать, что он является
> неконструктивным вещественным числом.

Так я ни разу не против. Только давайте проверим, а? Применительно к моему примеру это не проблема: берётся определение КВЧ (запись алгорифма с такими-то свойствами), затем доказывается, что предъявленный мной алгорифм оными свойствами действительно обладает. Разумеется, это доказательство не абсолютное (реальной проверки правильности работы оного алгорифма для всех начальных данных мы провести действительно не в состоянии, указанием на что Вы тут пытались меня уесть), но такова уж судьба всех общих утверждений, в том числе и в физике (например, когда мы говорим, что масса кирпича равна двум килограммам, мы подразумеваем определённый характер реакции этого кирпича на любую приложенную к нему силу — а на практике мы все варианты приложения силы к этому кирпичу тоже никогда не переберём). А вот как она будет выглядеть в Вашем случае? Если ВЧ — это «элемент множества \(\mathbb R\), удовлетворяющего таким-то аксиомам», то Вам надо откуда-то раздобыть всё это множество "куском", а потом удостовериться, что Ваш объект в нём действительно содержится. Как это сделать? Не знаю; был бы рад, если бы Вы меня на этот счёт просветили. Или ВЧ — это фундаментальная последовательность рациональных чисел? Но где эта последовательность в Вашем случае — я у Вас тут только несколько буковок вижу. Аналогичный вопрос будет про дедекиндовы сечения.

Помогите моему неверию, а? Ну, пожалуйста? :-)

> Тоже самое произойдёт и с расходящимися рядами КТП.

Что это произойдёт, на то у меня нет ни малейших сомнений. Но:

1) Пока этого не произошло, физикам плевать на математическую некорректность своих выкладок. Т.е. действительное отношение физиков к математике таково: когда математики "разрешают" делать нечто желаемое физикам, то последние на соответствующие теоремы с удовольствием ссылаются; когда же математики желаемое, напротив, "запрещают", то физики попросту делают вид, что такого запрета не существует.

2) Точно так же можно сказать, что все осмысленные физические результаты, которые сегодня навешены на неверные математические теоремы (вроде тех же неподвижных точек), рано или поздно будут передоказаны конструктивно. И тогда Ваша аргументация обращается против Вас же.

> Пожалуйста, дайте ссылку на место, где я высказываю
> эту посылку.

Уже давал (про "единственный способ — приложение к физике").

> Именно этим и занимается обычная математика.

Тогда какая из конкурирующих аксиоматик теории множеств объективно верна? почему верна именно она? где можно посмотреть на её модель?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Или ВЧ — это фундаментальная последовательность рациональных чисел? Но где эта последовательность в Вашем случае — я у Вас тут только несколько буковок вижу.

Пожалуйста, берёте частичную сумму ряда, вот вам фундаментальная последовательность.

>Пока этого не произошло, физикам плевать на математическую некорректность своих выкладок. Т.е. действительное отношение физиков к математике таково: когда математики "разрешают" делать нечто желаемое физикам, то последние на соответствующие теоремы с удовольствием ссылаются; когда же математики желаемое, напротив, "запрещают", то физики попросту делают вид, что такого запрета не существует.

А если математики предлагают способ устранить неформальные
выкладки, то физики его используют.
Физики пользуются нестрогими рассуждениями не потому,
что им так хочется, а потому, что у них нет другого выхода.
Здесь такая же ситуация, как с анализом в 17 и 18 века,
и как с вещественными числами до конца 19 века
(когда у них ещё не было определения).

>Точно так же можно сказать, что все осмысленные физические результаты, которые сегодня навешены на неверные математические теоремы (вроде тех же неподвижных точек), рано или поздно будут передоказаны конструктивно. И тогда Ваша аргументация обращается против Вас же.

(1) В настоящее время физики активно используют классическую
математику (теорема Лефшеца, К-теория, спектральная последовательность Атии-Хирцебруха).
Ваши указания на нестрогость физики здесь не помогают —
путём наблюдений за историей установлено, что
все нестрогие результаты рано или поздно превращаются
в строгие.
(2) Классическая математика работает в физике.
То есть физики предсказывают с её помощью физические
явления, после чего ставят эксперимент и обнаруживают,
что его результаты совпадают с теоретическим предсказаниями.
При этом в физике используются теоремы, конструктивные
аналоги которых попросту неверны (теорема Лефшеца).
(3) Что касается конструктивной математики, то пока
никто не продемонстрировал, каким образом конструктивная
математика позволяет предсказывать физические
явления лучше, чем классические. Это и не удивительно,
если учесть, что всё, что доказуемо в конструктивной
математике, доказуемо и в классической, а вот некоторые
результаты классической, вроде теоремы Лефшеца, неверны
в конструктивной.
(4) Наука о программировании и связанных с ним
закономерностях — это не математика, а computer science,
которая далеко не исчерпывает математику.
Это общепринятое определение и не надо
пытаться подгонять определение математики под свои взгляды.

>Уже давал (про "единственный способ — приложение к физике").
Это про другое.

>Тогда какая из конкурирующих аксиоматик теории множеств объективно верна? почему верна именно она? где можно посмотреть на её модель?

В математике нет абсолютных утверждений.
Как я уже указывал, хотя может показаться обратное,
по сути все утверждения в математике имеют вид:
Если T — вполне отделимый элементарный топос с объектом натуральных чисел, то тогда верно X. (Это ZF.)
Если T — вполне отделимый элементарный топос с объектом натуральных чисел, в котором выполнена аксиома выбора, то тогда верно X. (Это ZFC.)
Если T — эффективный топос, то тогда верно X. (Это конструктивная математика.)
Такие утверждения объективны верны в любом разумном
смысле этого слова.

Вопрос о существовании таких топосов в данном случае не
обсуждается. В силу теоремы Гёделя о неполноте,
доказать существование невозможно ни для одного из трёх
упомянутых вариантов.

Зато когда мы применяем всё это в реальном мире (в физике),
то обнаруживаем, что можем предсказывать
результаты физических экспериментов, что может
служить косвенным аргументом в пользу
непротиворечивости утверждения о существовании такого топоса.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теперь касательно дискуссии о материальных объектах.

Я уже приводил пример натурального числа,
которое невозможно никаким образом записать на бумаге
в виде конструктивного объекта (потому что
его минимальная запись в виде программы требует
больше материи, чем есть во всей вселенной).
Однако это число легко записать на бумаге в виде
формулы ZFC.

Вернёмся к конструктивным и неконструктивным вещественным
числам. В качестве достоинства первых приводилась
возможность вычислять последние с неограниченной
точностью. Однако когда дело доходит до практической
реализации этой возможности, обнаруживается, что
точность эта ограничена количеством материи во вселенной.
Поэтому возможность, о которой вы говорите, лишь потенциальная.
Я легко приведу вам явный пример неконструктивного
вещественного числа, которое тоже можно будет
вычислить с любой точностью, которая доступна
для конструктивных вещественных чисел.
Да, не существует алгоритма, вычисляющего это
число с любой точностью. Однако чтобы это проверить
на практике, потребуется материи больше, чем во вселенной.
В то же время это число легко записать в виде формулы
ZFC на бумаге.

Поэтому материальность сводится к возможности записи
на бумаге. Что ж, вы пишете на бумаге программы
(которые для некоторых значений параметров невозможно
запустить по причине недостаточного количества материи),
я пишу на бумаге формулы ZFC. Какая разница?

>где можно посмотреть на её модель?
В свете вышесказанного, поясните пожалуйста, что
вы имеете в виду под моделью.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Да я двумя руками "за". Давайте возьмём. Куда обратиться?

Пожалуйста, вот явная конструкция:
возьмём сумму по всем натуральным k
чисел 2^(-k) A(k,k), где A(k,k) — результат
применения машины Тьюринга с номером k к числу k.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Пожалуйста, вот явная конструкция:
> возьмём сумму по всем натуральным k
> чисел 2^(-k) A(k,k), где A(k,k) — результат
> применения машины Тьюринга с номером k к числу k

Чё-то моя не понять: кто-то отменил неразрешимость (а тем самым и нетотальность) области определения Вашего A?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Чё-то моя не понять: кто-то отменил неразрешимость (а тем самым и нетотальность) области определения Вашего A?

Именно. У нас есть явно определённое число,
которое невычислимо.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хм. А я-то, идиот, всегда считал, что сумму может иметь только такой ряд, у которого все члены определены :-( Век живи, век учись...

Вы точно не подразумевали под \(A(k,k)\) что-то вроде «\(0\) если k-ая машина несамоприменима, 1 — если самоприменима»?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вы точно не подразумевали под \(A(k,k)\) что-то вроде «\(0\) если k-ая машина несамоприменима, 1 — если самоприменима»?

Именно это я и имел ввиду. Результат самоприменимости как раз и обозначет это число.
А какой ещё смысл можно придать этому выражению?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А какой ещё смысл можно придать этому выражению?

Тот, который Вы изначально и обрисовали: результат применения машины с k-ым номером к числу k. Если машина "виснет", то этот результат попросту не определён.

А в описанном мной случае мы получим давно и прекрасно известное шпекерово псевдочисло. Замечательная во всех отношениях штука, хотя и не КВЧ. Но вот почему это псевдочисло является вещественным числом в смысле "классического" определения, мне по-прежнему не очень понятно (см. параллельные ветки).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Тот, который Вы изначально и обрисовали: результат применения машины с k-ым номером к числу k. Если машина "виснет", то этот результат попросту не определён.

Очень интересно. Если, скажем, результатом работы алгоритма
является строка, то как, по-вашему, я умножаю её на 2^(-k)?
Поскольку недоразумение устранено, предлагаю оставить этот вопрос.

>А в описанном мной случае мы получим давно и прекрасно известное шпекерово псевдочисло. Замечательная во всех отношениях штука, хотя и не КВЧ. Но вот почему это псевдочисло является вещественным числом в смысле "классического" определения, мне по-прежнему не очень понятно (см. параллельные ветки).

В смысле? Я уже дал явную формулу: \sum_k 2^(-k) A(k,k).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Да зачем же "предположим"? Вы покажите конкретный физический объект, который будет измеряться, соорудите конкретный прибор, которым оное измерение будет производиться. "Предположить"-то много чего можно: если бы да кабы, то во рту росли б грибы.

Видите ли, при таком подходе вообще нельзя получить
ни одного числа — ибо как вы сами отметили,
точность наших измерений ограничена.
Поэтому мы не можем утверждать, что в результате
измерений получается число 2, а можем утверждать
что скорее всего получено 2 с очень маленькой
погрешностью. Которая может быть ненулевой.
Так что предложение о предъявлении физического
прибора является полной бессмыслицей.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Видите ли, при таком подходе вообще нельзя получить
> ни одного числа

В физике — разумеется, нельзя. Я ж только об этом с самого начала и талдычу.

> Поэтому мы не можем утверждать, что в результате
> измерений получается число 2

Именно. В результате измерения получается интервал (и я об этом прямо писал в одном из предыдущих постов!).

> Так что предложение о предъявлении физического
> прибора является полной бессмыслицей.

Это предложение иллюстрирует бессмысленность высказанного Вами тезиса, будто бы в физике встречаются вещественные числа. Они там, разумеется, не встречаются, и всем вменяемым людям это давно известно (первый том Гильберта-Бернайса, где это сказано открытым текстом — 1934 год, и явно они не сами это придумали).

Кстати, Вы действительно не замечаете, что своей попыткой свести математику к физике наступаете на давно исхоженные вдоль и поперёк грабли? Это ж уже было, и не по разу: в античности математику пытались свести к геометрии (как там у Евклида числа перемножались через площади прямоугольников?), в XVIII веке — к механике (у Ньютона производная — это что угодно, но только не предел конечных разностей). И каждый раз это заканчивалось одинаково: математика оставалась математикой. И то обстоятельство, что анализ имени Коши и Вейерштрасса противоречил механической интуиции XVIII века (где было "очевидно", что все функции — кусочно-гладкие), не сильно этому воспрепятствовало. Думаете, что современная физика чем-то более особенная, чем античная геометрия или ньютонова механика? Ну, думайте на здоровье. А мне, уж извините, сомнительно.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Это предложение иллюстрирует бессмысленность высказанного Вами тезиса, будто бы в физике встречаются вещественные числа.

При физических измерениях вещественные
числа не встречаются. В самой физике —
сколько угодно. И теорема Лефшеца встречается —
примеры я уже приводил.

>своей попыткой свести математику к физике
Хотелось бы увидеть ссылку на место,
где я свожу математику к физике.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Утверждать, что вопрос о верности того или иного математического суждения должен решаться не внутри самой математики, а из соображений "удобства" для физиков, географов или карточных шулеров — это и значит сводить математику к физике, географии и карточному шулерству.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Утверждать, что вопрос о верности того или иного математического суждения должен решаться не внутри самой математики, а из соображений "удобства" для физиков, географов или карточных шулеров — это и значит сводить математику к физике, географии и карточному шулерству.

Позвольте, а где я это утверждал?
Дайте, пожалуйста, ссылку.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А разве не Вы утверждали, что единственный способ проверки отношения математики к реальности, который пока изобрели — её применение в физике? Тогда простите великодушно, обознался.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я, кто же ещё. И какое это имеет отношение к проверки
правильности математического суждения?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Это опять же теория. Вы покажите, как на практике, "в железе", измерить эту самую температуру одной молекулы.

Её незачем измерять: в классическом приближении она равна нулю.

>теория относительности такоже
Как интересно. Может, приведёте пример экспериментальных
данных, на которых была основана общая теория
относительности?

>Вот когда будут, тогда и поговорим (если действительно будут).

Ну что ж, могу лишь указать, что в момент создания
ОТО у неё в близкой перспективе не было никаких
применений.
Следуя вашей логике, создание ОТО было бессмыслицей.

(Reply to this) (Parent)

>А на каких экспериментальных данных основаны струны?

Известно, на каких: на данных наблюдений элементарных частиц.
Задачей теории струн является устранение противоречий,
возникающих при соединении стандартной модели
и общей теории относительности. И то, и другое
подтверждено огромным количеством экспериментов.

Кстати, Эйнштейн создал ОТО в попытке соединить
теорию гравитации Ньютона и СТО. Точно такая же ситуация.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Известно, на каких: на данных наблюдений элементарных частиц.

Эти данные так радикально расходятся с выводами обычной КТП (я действительно не в курсе)?

> Задачей теории струн является устранение противоречий,
> возникающих при соединении стандартной модели
> и общей теории относительности.

И, разумеется, нет и не может быть ну никакого способа устранить эти противоречия, кроме высасывания из пальца десятков никем никогда не виданных размерностей.

> И то, и другое подтверждено огромным количеством экспериментов.

Проведённых внутри границ применимости этих теорий. Что происходит за этими границами, пока неизвестно. И не будет известно до тех пор, пока это тоже не будет исследовано экспериментальным путём. А гадания на кофейной гуще двадцатишестимерных многообразиях — это не имеющая отношения к делу лирика.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Эти данные так радикально расходятся с выводами обычной КТП (я действительно не в курсе)?

Я тоже не в курсе, потому что как и вы не являюсь физиком.
Однако в данном случае всё просто. Стандартная
модель и ОТО взаимно противоречивы. Целью теории
струн является устранение противоречий таким образом,
чтобы в пределах получались стандартная модель и ОТО.

Теперь касательно КТП. Квантовая теория поля —
это вообще не физическая теория.
Это framework для построения квантово-механических
моделей теорий поля.
В частности, струны построеы на основе КТП.

>И, разумеется, нет и не может быть ну никакого способа устранить эти противоречия, кроме высасывания из пальца десятков никем никогда не виданных размерностей.

Это вам кажется, что дополнительные размерности
высосаны из пальца. А у физиков противоположное мнение.
Точно так же, те, кто не понимали ОТО,
говорили, что кривизна пространства-времени
высосана из пальца. Потому что не понимали, как
она возникает.
Однако, не понимание чего-либо не является
основанием для объявления этого чего-либо
высосанным из пальца.

>Проведённых внутри границ применимости этих теорий. Что происходит за этими границами, пока неизвестно.

Именно. Точно такая же ситуация наблюдалась
с СТО и ньютоновской гравитацией.

>И не будет известно до тех пор, пока это тоже не будет исследовано экспериментальным путём.

Видители, как я уже указал, с 1912 по 1915 год
ОТО тоже никто не проверял экспериментальным путём.
Да и первый эксперимент был довольно шатким
— фактически сумели объяснить одно число.
Остальные эксперименты были проведены гораздо позже.
Теория струн сейчас как раз находится в состоянии
между 1912 и 1915 годом. Просто промежуток
в 3 года был очень коротким и разрабатывало
теорию очень мало людей, поэтому общественность
обратило на это внимание только после того, как всё
закончили. А здесь мы имеем гораздо более масштабный
(как следствие, более продолжительный и требующий
больших ресурсов) проект. Поэтому
общественность обратила на него внимание ещё до его
завершения. Отсюда имеем спекуляции на тему бессмысленности
теории струн. А ведь это ещё не законченная теория.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Стандартная модель и ОТО взаимно противоречивы. Целью теории
> струн является устранение противоречий таким образом,
> чтобы в пределах получались стандартная модель и ОТО.

Физика, начинающего рассуждать про "противоречия", надо в секунду выгонять из профессии. Да в физике полно противоречий: ньютоновская механика противоречит релятивистской, классическая — квантовой, и т.д. Главное в физике — не чтобы противоречий не было, а чтобы было понятно, при каких условиях та или иная из этих противоречащих друг другу теорий согласуется с экспериментом. У струн же экспериментальной базы покамест вообще нет — а потому и говорить не о чем!

> Однако, не понимание чего-либо не является
> основанием для объявления этого чего-либо
> высосанным из пальца.

Безусловно. Вот я и спрашиваю, откуда берутся эти 26 (в девичестве 11) размерностей.

> Поэтому общественность обратила на него внимание ещё до его
> завершения. Отсюда имеем спекуляции на тему бессмысленности
> теории струн.

Простите, это не "общественность" обратила внимание на струнщиков — это сами струнщики обратили внимание на себя, начав безудержно рекламировать свою недоделку на всех углах, до жёлтой прессы включительно. Эйнштейн до такого дешёвого гешефтмахерства не опускался.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Физика, начинающего рассуждать про "противоречия", надо в секунду выгонять из профессии. Да в физике полно противоречий: ньютоновская механика противоречит релятивистской, классическая — квантовой, и т.д. Главное в физике — не чтобы противоречий не было, а чтобы было понятно, при каких условиях та или иная из этих противоречащих друг другу теорий согласуется с экспериментом. У струн же экспериментальной базы покамест вообще нет — а потому и говорить не о чем!

Всё правильно, только это манипуляции словами.
У струн нет экспериментальной базы точно в таком же смысле,
как не было экспериментальной базы у ОТО во время
её создания (до 1915 года, как минимум).
Однако обе теории опирались на две другие,
экспериментально проверенные теории (струны —
на ОТО и стандартную модель, ОТО — на СТО и
ньютоновскую гравитацию).
Я уже устал подчёркивать, что струны — незаконченная
теория. Чтобы её закончить (выяснить, какая из
нескольких моделей согласуется с экспериментом),
надо этот самый эксперимент провести.

>Безусловно. Вот я и спрашиваю, откуда берутся эти 26 (в девичестве 11) размерностей.
Я уже объяснил в другом комментарии.

>Простите, это не "общественность" обратила внимание на струнщиков — это сами струнщики обратили внимание на себя, начав безудержно рекламировать свою недоделку на всех углах, до жёлтой прессы включительно. Эйнштейн до такого дешёвого гешефтмахерства не опускался.

Это опять ваши собственные спекуляции.
Пожалуйста, приводите конкретные примеры.
Я, например, привожу ссылки на конкретные научные статьи.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> У струн нет экспериментальной базы точно в таком же смысле,
> как не было экспериментальной базы у ОТО во время
> её создания (до 1915 года, как минимум).

Как уже было сказано, это Ваши личные фантазии. Даже если Вас не устраивает история лажи с Вулканом, то всё равно опыты Этвеша (экспериментальная проверка принципа эквивалентности) — это 1890 год.

> Чтобы её закончить (выяснить, какая из
> нескольких моделей согласуется с экспериментом),
> надо этот самый эксперимент провести.

А до тех пор молчать в тряпочку и работать, а не в телевизор лезть. Как это Эйнштейн делал.

> Я, например, привожу ссылки на конкретные научные статьи.

Вот это научная статья, да? И вот это тоже, да?

Сколько аналогичных "научных статей" про ОТО написал Эйнштейн до 1915 года, не подскажете?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Как уже было сказано, это Ваши личные фантазии. Даже если Вас не устраивает история лажи с Вулканом, то всё равно опыты Этвеша (экспериментальная проверка принципа эквивалентности) — это 1890 год.

В другом месте я уже задал вопрос, как из принципа эквивалентности
вытекает кривизна.

>Вот это научная статья, да? И вот это тоже, да?
>Сколько аналогичных "научных статей" про ОТО написал Эйнштейн до 1915 года, не подскажете?

Если вы не заметили, между двумя теориями есть
существенная разница: ОТО создана где-то за 3 года,
струны уже разрабатывают пару десятков лет.
Если бы ОТО разработывали столько же времение,
то и по ней появилась бы такая же литература.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

С большим интересом прочитал этот диспут (на который случайно наткнулся) и не удержался от небольшого комментария.

При обсуждении методологии физики, вообще говоря, следует учитывать, что физика крайне неоднородна. Современная теоретическая физика (к "ведению" которой относятся те же струнные теории) намного ближе к математике, чем обычная физика. Фактически типичный теоретик-"струнщик" является математиком, а не физиком, использующим при работе математическую, а не физическую методологию, и сравнивать его с физиками даже первой половины XX века просто некорректно.

В качестве дополнения могу заметить, что теоретики в физике составляют меньшинство, при этом далеко не все работают в настолько нефизичных областях. В подавляющем большинстве физики вполне соответствуют тому описанию, которое несколько раз давал __gastrit, и это большинство к струнам и т.п. вещам относится, мягко говоря, скептически.

К обсуждавшейся истории физики: до появления экспериментальных или наблюдательных подтверждений классической электродинамики и ОТО они были практически неизвестны. Ситуация резко изменилась только при появлении проверки теории (наиболее характерна в этом отношении электродинамика: всем известный Генрих Герц отметился в истории науки фактически только одной работой - экспериментальным доказательством существования электромагнитных волн). Для ОТО данные о движении Меркурия были очевидной проверочной базой, готовы они были за полвека до создания ОТО, поэтому ОТО сразу после появления была применена к этой задаче.

(Reply to this) (Parent)

>А уж лешие так по лесу и шастают. Стра-а-ашно, аж жуть! :-)

Потрясающая аргументация.

(Reply to this) (Parent)

Науки (естественно), вообще-то, изучают не реальность, а ее модели. Реальность изучают следователи. А курс физики начинается с изучения материальных точек, далее - абсолютно твердое тело и.т.д. Вы в природе много абсолютно твердых тел встречали?:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вот-вот. Последствия опошления курса философии в современном преподавании сказываются :-) Я как-то привык, что моделью (материального объекта A) называется материальный, опять же, объект B, тождественный объекту A по некоторым интересующим нас свойствам (что позволяет свести изучение объекта A к изучению объекта B, каковое может быть технически более простым). Всевозможные "уменьшенные модели" во всяких аэродинамических трубах именно таковы. Математические модели, кстати, тоже таковы: здесь свойства изучаемого объекта сводятся к свойствам некоторого вычислительного процесса, который сам по себе вполне материален (протекает в ЭВМ, например; а эту ЭВМ можно и взвесить, и силу тока внутри неё померить). А что Вы понимаете под словом "модель" в Вашей тираде? Уж не придуманное ли попами и астрологами обоснование своей претензии тоже считаться деятелями науки (мол, мы никаких реальных вещей, конечно, не изучаем — но и "обычная" де наука изучает только "модели", так что мы ничуть не хуже)? А кто с ними воевать завещал? :-)

Науки изучают реальность, и только её. Другое дело, что изучают они её в абстрактной форме. Вас материальные точки интересуют? Пожалуйста: неиллюзорный кирпич, летящий мне на голову — это материальная точка, коль скоро меня интересует лишь скорость, с каковой он пробьёт мне череп. Да, на самом деле он имеет ненулевые размеры, и звук в нём таки распространяется — но на скорости его все эти вещи сказываются не слишком значительно, а потому в рамках рассматриваемой конкретной задачи (о проламывании черепа) всеми этими вещами объективно можно пренебречь. Вот это пренебрежение несущественными деталями и называется "абстрагированием". Никаких мифических "моделей" при этом не возникает: кирпич, он и есть кирпич, даже если нам по ряду причин и неинтересно распределение температуры внутри него.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А если я скажу, что прямая - модель лыжни, Вам легче станет?:)

То, что Вы сказали, было бы правдой, если бы физики (и иже с ними) имели своей целью изучить реальность с головы до ног. Вы таких физиков много видели?:) Например, таких, какие изучают мировоззрение математиков - как элемент реальности?:) Как только человек становится ученым - он сразу ограничивает свои исследования жалкой тенью реальности (проекцией из стомерного пространства в трехмерное:)). Так что физикам материальные точки гораздо милее кирпичах (о кирпичах они в статьях редко пишут:)).

А про астрологов я уже сказал - конкуренты, вот и все.:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А если я скажу, что прямая - модель лыжни, Вам легче станет?:)

А с чего легчать-то? Это полностью охватывается моим рассуждением: прямая есть точно такой же материальный объект, как и лыжня. Или Вы видите в текстах вроде \(2x+4y-7=0\) что-то сверхъестественное? :-)

> Так что физикам материальные точки
> гораздо милее кирпичах (о кирпичах
> они в статьях редко пишут:)).

Это личные сложности физиков. Общество платит им ровно за то, что на деле их "материальные точки" представляют собой не более, чем общий термин для кирпичей, паровозов и планет. Они об этом забыли и занялись всякой фигнёй? Ну что ж, рано или поздно инерция деньгораспределяющей машины закончится, и платить им просто перестанут. Об чём и речь.

> А про астрологов я уже сказал - конкуренты, вот и все.:)

Да я понял, понял :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, то есть физики - тоже дармоеды?: Не знал!:) А их в свою веру обратить не пробовали?:)

Кстати, по поводу бомбы: неужто Курчатов без материальных точек обходился?:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А, то есть физики - тоже дармоеды?: Не знал!:)

Не все. Только струнные :-)

> Кстати, по поводу бомбы: неужто Курчатов
> без материальных точек обходился?:)

Не, не обходился. Без кирпичей нынче вообще далеко не уедешь :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)