[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
Below are the 50 most recent journal entries recorded in the "Dmitri Pavlov" journal:| May 15th, 2015 | |
|---|---|
| 07:20 pm [Link] |
Топос уравнений в частных производных Категория уравнений в частных производных над гладким многообразием образует топос: http://mathoverflow.net/questions/20640 Tags: математика |
| March 25th, 2013 | |
| 06:15 pm [Link] |
Дискуссия про венгерскую математику Интересная дискуссия про венгерскую математику с участием ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo-lj.gif) sowa@lj, Гауэрса, Тао, и других математиков:http://gowers.wordpress.com/2013/03/2 (С большим количеством ad hominem доводов от множества менее квалифицированных комментаторов.) И если кто ещё не видел, новый блог sowa@lj: http://owl-sowa.blogspot.com/.
Tags: математика |
| March 26th, 2012 | |
| 10:44 am [Link] |
Ударения Кто-нибудь знает, на какие слоги ставятся ударения в фамилиях Гельфанд и Наймарк? В идеале хотелось бы знать, как свои фамилии произносили сами Гельфанд и Наймарк. Русская Википедия, а вслед за ней и английская утверждают, что в фамилии Гельфанд ударение ставится на первый слог. «Математический энциклопедический словарь» утверждает, что на второй, что согласуется с моими воспоминаниями. Про Наймарка вообще ничего не удаётся найти. Tags: математика |
| January 5th, 2012 | |
| 12:00 am [Link] |
Революция в математике Фрэнк Квинн (один из двух крупнейших специалистов по 4-многообразиям) в январском выпуске Notices пишет про математическую революцию 1890–1930 годов, и про то, как её отвергли в «прикладной» математике и математическом образовании: The mathematical transition had such a low profile that no one understood its significance. Felix Klein was still denouncing the new methods in the 1920s, and because his views were not only unrefuted but almost unchallenged, outsiders accepted them as fact. Historians, educators, and philosophers went forward largely unaffected, propelled by the momentum of three thousand years and rebuffed instead of justifying them. В связи с этим интересно отметить книгу Кляйна Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Упоминаемые в названии «высшие точки зрения» на самом и являются методологией 19 века, которая устарела к моменту выхода книги в 1908 году, а ко времени её переиздания в середине 1920 годов так и вовсе являлась мракобесием. Уже после написания этого параграфа я обнаружил, что у Квинна есть целая книга по мотивам его статьи, в которой, в частности, разбирается книга Кляйна (глава 15): http://www.math.vt.edu/people/quinn/edu Чуть далее про это же (выделения мои): The final problem concerns the disconnect between school mathematics and higher education. School mathematics is still firmly located in the nineteenth century, so student success rates in modern courses have been very low. There is a great deal of pressure to improve this situation, but recent changes, such as use of calculators and emphasis on vague understanding over skills, have actually worsened the disconnect. Something has to change. Ideally, school mathematics could be brought into the twentieth century. Unfortunately the K12 education community is better organized, more coherent, and far more powerful politically. External funding agencies are committed to the K12 position. At the NSF this means funds have shifted from research to educational programs that are actually hostile to the research methodology. It seems possible that the K12/college articulation will be “improved” by forcing higher education to revert to nineteenth-century models. Нынешний анахроничный маразм, подающийся в школе как геометрия и не имеющий к ней никакого отношения — ярчайшее тому свидетельство, про что я уже рассказывал: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/102 Алгебра также испытывает проблемы по той же причине, но другого характера, про что я тоже писал: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/524 Университетское образование на младших курсах также следует методологии 19 века — достаточно вспомнить курс «матанализа», про что также говорится в последней ссылке. В статье Квинна также написано про «прикладную» математику (выделения мои): Yet another problem comes from changes in applied mathematics. Up through the late twentieth century, applied mathematicians were trained in mainstream graduate programs and had foundations in modern methods and values. Today many are several generations removed from these core mathematical foundations. Many are scientists rather than mathematicians in the modern sense, and some are actually hostile to core methodology. At the same time, demand from science and engineering and pressure for more highly visible research have caused many academic departments to shift toward applied areas. The result is culturally divided departments in which core mathematics is increasingly at a disadvantage. Всё тоже самое (а выделенные предложения так и вовсе слово в слово) можно сказать и про венгерскую математику (пресловутую «вторую культуру»). Интересно отметить, что Квинн также пользуется терминологией Атии (core mathematics), про которую я недавно писал здесь: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/134 Статья, кстати, довольно интенсивно обсуждается. Вот, например, дискуссия в списке рассылке FOM: http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/201 От себя могу добавить, что попытки исправления ситуации (для России — реформы Колмогорова, которым активно противостояли Понтрягин и, позднее, Арнольд) провалились по вполне понятной причине: такая реформа в первую очередь должна менять учителей, а именно этого ни одна из них и не пыталась сделать. Дополнительная проблема заключается в том, что в местах, где учатся будущие учителя, полностью доминирует подход 19 века, что приводит к тому, что каждое следующее поколение учителей воспроизводит предыдущее. Поэтому минимально необходимые действия для исправления ситуации представляются следующими: (1) Организовать новые педагогические факультеты/кафедры для будущих учителей математики, на которых студенты обучаются по современной программе (core mathematics) современными математиками. Важно не допускать до обучения «прикладных» и венгерских математиков. (2) Выпускники этих факультетов идут в школы, где имеют полную свободу в выборе материала и учебной литературы. При этом старые учителя продолжают учить по старой программе, ибо их уже невозможно переучить. Постепенно все старые учителя будут заменены новыми. Как следствие, появятся современные учебники, написанные новыми учителями. (На первых порах вполне можно обойтись без учебников, их важность обычно преувеличивают.) (3) ЕГЭ по математике необходимо либо полностью отменить, либо радикально изменить (этим тоже должны будут заниматься новые учителя). В своей нынешней форме он лишь усугубляет ситуацию. Tags: математика, образование |
| October 22nd, 2011 | |
| 06:45 pm [Link] |
Когомологии, категории и прочая алгебраическая муть А вот забавная иллюстрация к моему посту про образование: http://luch-sweta.livejournal.com/4 Автор, в математическом мировоззрении которого категории и когомологии являются частью алгебры (смотри цитату про «муть» ниже), глубоко возмущён моим высказыванием «Почти все выпускники потока не знакомы с категориями, пучками или когомологиями, что характеризует крайнюю степень математического невежества», из которого он цитирует «когомологии, категории и прочую алгебраическую муть» и требует предъявить ему применения оных в теории графов: «Теория графов ждет - не дождется, когда Вы, сильно крутой и великий, наконец объясните нам, убогим, за каким чертом все это величие духа нужно за пределами одной подобласти, так честно и называющейся - алгебраическая теория графов.» Разъяснения ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif) tiphareth понимания не находят.Следуя неведомой логике (которую сам автор в своём комментарии ниже разъясняет так: «Теория групп изучается на мат-мехе, причем всеми математическими потоками»), автор выводит также, что я «не считаю теорию групп сколь-нибудь современной математикой, достойной изучения студентами» (как автор умудряется сочетать это с предыдущим высказыванием про то, что категории и когомологии — часть алгебры, не очень понятно). В связи с очередной дискуссией (слово из четырёх букв, возможно, более уместно) на тему «второй культуры» хочу сделать несколько комментариев. Касательно терминологии: вместо «первой» и «второй» культур (что неявно влечёт за собой утверждение о существовании оных) гораздо лучше использовать терминологию Атии. Атия в своей статье How research is carried out говорит o the central core of mathematics. Терминология «(центральное) ядро-периферия», на мой взгляд, гораздо лучше отражает суть ситуации. Сказанное имеет смысл, если математикой называть всю естественнонаучную деятельность, в которой не требуются эмпирические данные. В принципе, термин Mathematical Sciences, подразумевающий, что кроме математики там есть что-то ещё, также представляется вполне разумным, и, возможно, даже более приемлемым. Там же nikaan@lj говорит, что «деление исключает появление фундамента в будущем»(имеется ввиду деление на центральное ядро и остальное). По этому поводу ещё Гельфанд говорил, что комбинаторика может стать математикой 21 века (буду признателен за точную ссылку). Но вряд ли общий фундамент может появиться, если попытки введения в программу категорий, пучков, и когомологий будут сопровождаться реакцией, подобной реакции вышецитированного персонажа (при условии, что таких персонажей будет достаточно много). Tags: математика, образование |
| October 19th, 2011 | |
| 10:09 am [Link] |
Исходный текст в arXive Обнаружил, что многие математики, не только из старшего поколения, но также и из младшего, не знают, что на arXive для любой статьи доступен исходный текст в TeXe. Если зайти на страницу любой статьи и перейти по ссылке Other formats, то последним пунктом в списке всегда будет исходный текст. Он полезен как минимум в двух случаях:
Tags: tex, математика |
| October 7th, 2011 | |
| 11:45 pm [Link] |
Куда поступать, что делать?nikaan@lj задал мне вопросы, а я на них ответил ниже. Чтение рекомендую всем, кто заканчивает школу. 1. Где Вы учились? Насколько давно это было? Опишите, как оно, и зачем Вы бы туда рекомендовали/не рекомендовали пойти. 239, 1999–2002. ИТМО, кафедра компьютерных технологий, 2002–2006 (бакалавриат), кафедра высшей математики, 2006–2007 (магистратура). 2007–2011 — аспирант University of California, Berkeley, получил степень Ph.D. в 2011 году. Впечатления об ИТМО: Очень много времени тратится зря, учебный план состоит из бессмысленных гуманитарных, программистских (бессмысленных также и для программистов), физических (бессмысленных также и для физиков) курсов. Содержательные курсы (не попадающие в указанные три категории) почти отсутствуют. Из преподавателей запомнились Додонов, Кохась (его лекции в ИТМО я не застал, но слушал курс в ПОМИ), Попов. Все три ведут анализ в разных вариациях, к сожалению предельно упрощённый и растянутый (хотя могли бы рассказать гораздо больше), в результате чего посещение их лекций малоосмысленно — гораздо легче и быстрее всё выучить самому. Елизаров ведёт единственный осмысленный курс по computer science (параллельное программирование). Это всё, больше ничего содержательного (по крайней мере, в 2011 году) в ИТМО нет. Как легко видеть, ИТМО находится в стадии глубокой деградации и вырождения. Тратить четыре года на такой учебный план — запредельный идиотизм. Впрочем, надо отметить, что в ИТМО есть возможность составить индивидуальный учебный план (про который почти никто не знает), чем я пользовался, включая туда курсы физматклуба ПОМИ. В магистратуре ИТМО я учился (и закончил её) только потому, что не успел поступить в аспирантуру годом раньше, хотя и собирался. Надо отметить, что в моё время состав студентов был довольно неплохим: с моего потока (40 человек) три студента (включая меня) поступили в американские аспирантуры по математике (Berkeley, Yale, Northwestern), что, как я понимаю, превосходит отделение математики матмеха. Не уверен, что такой же интеллектуальный климат сохранился в ИТМО в 2011 году. Ещё надо отметить, что в ИТМО более доброжелательное отношение со стороны руководства кафедры (то есть Парфёнова), нежели на матмехе. (Парфёнов не отчисляет за несданные гуманитарные предметы, например.) У матмеха (и московского мехмата) идентичные проблемы, различия в деталях: гуманитарной бессмыслицы немного больше, программистской и физической бессмыслицы немного меньше. Даже в пресловутом ПОМИ-потоке отделения математики матмеха математическая программа устарела на 90 лет (это ни в какой степени не является преувеличением: некоторые теоремы из курса функционального анализа матмеха получены как раз примерно 90 лет назад, около 1920 года, а более свежие результаты просто не входят в программу). Почти все выпускники потока не знакомы с категориями, пучками или когомологиями, что характеризует крайнюю степень математического невежества. Что касается аспирантуры в Berkeley, то там всё было абсолютно замечательно, чего и другим желаю. 2. Куда бы Вы порекомендовали пойти сейчас учиться человеку, который хочет заниматься математикой, или программированием, или лингвистикой, или сельхоз. генетикой, или игрой на контрабасе etc. Про что знаете — про то и пишите. Есть разница между «учиться» и «числиться». В Петербурге эта деятельность всегда протекает в разных местах: ПОМИ (физматклуб, CS-клуб, возможно АФТУ) — с одной стороны и матмех, ИТМО, другие места — с другой. В Москве, соответственно, НМУ и НОЦ МИАН против мехмата. Матфак ВШЭ, возможно, является единственным местом, где это можно совмещать. (В дальнейшем я буду писать про Петербург, хотя написанное верно для всей России. Я также ограничусь математикой, для cs и software engineering ситуация аналогичная.) Также есть большая разница между software engineering и computer science, программирование всегда является первым, хотя часто имеется ввиду второе. Для любого из этих видов деятельности наилучшим вариантом будет поступить в американский университет, получить там степень бакалавра, а затем поступить там же (в США, не обязательно в том же университете) в аспирантуру. Многие частные университеты (например, Harvard, MIT, Stanford, Princeton, Columbia) предоставляют стипендии с полной оплатой обучения. Я рекомендую подавать документы в десяток лучших университетов (некоторые из них перечислены выше), а также в десяток (или больше) средних, идущих за ними. Если лучшие не возьмут, то какие-то средние вероятно возьмут, а даже средний американский университет гораздо лучше всего, что можно найти в России, по крайней мере в математике и computer science. Готовиться к поступлению надо как минимум за год, сдавая тесты вроде TOEFL и SAT, готовля statement of purpose и другие документы. Если поступить в американский университет не удалось (или удалось, но без оплаты обучения), отчаиваться не стоит. Следует поступить в любое место (впрочем, СПбГУ и МГУ предпочтительны, поскольку про них могут знать приёмные комиссии американских аспирантур, в отличии от всех остальных российских университетов), после чего самостоятельно изучать математику (или cs) и готовиться к поступлению в американскую аспирантуру. 3. Нужно учиться самому или отдать себя в руки ВУЗа и там всему научат? Или пополам? Или вообще надо учиться самому, и идти в такой ВУЗ, чтобы там не нагружали? О том, чтобы чему-то научиться на матмехе, речи быть не может: все дисциплины матмеха либо просто бесполезны, либо откровенно вредны (последнее высказывание не является преувеличением, учитывая крайне устаревшее содержание многих курсов). Поэтому достаточно сдавать экзамены (номинально математические предметы должны сдаваться на пятёрки, ибо при приёме в американскую аспирантуру всё же смотрят на оценки), не ходя при этом на лекции. Всё, что может дать матмех студенту — минимальная легитимность его заявки в американскую аспирантуру (диплом и транскрипт). Если бы американские бюрократы не требовали эти два документа при поступлении, гораздо лучше было бы вообще на матмех не поступать, а ходить по выходным в физматклуб и общаться с единомышленниками. Лучше хотя бы потому, что не тратится время на (бессмысленные, иногда вредные) лекции и экзамены. (В Москве, наверное, можно ходить в НМУ — говорят, его диплом принимают в американских аспирантурах.) «Отдавать себя» в чьи-либо руки категорически нельзя. Даже если вы учитесь в Harvarde, необходимо прилагать существенные усилия по составлению учебного плана, то есть записываться не на курс калкулуса (который и в Harvarde — калкулус, пусть даже это Math 55), а на «аспирантские» курсы (graduate courses), на самом деле так называются просто все современные математические курсы (то есть не калкулус и подобные ему предметы, придуманные для отсева студентов в других специальностях). Если же поступить в нормальный университет не удалось (то есть вы остались в России), то тем более придётся учиться самому, ибо, как я уже говорил, все дисциплины в учебном плане будут либо пустой тратой времени, либо просто вредными. Посильную помощь в этом может оказать физматклуб (и cs-клуб) ПОМИ, однако он покрывает лишь небольшую часть необходимых знаний, всё остальное придётся изучать самому. Рекомендую найти единомышленников и общаться с ними на научные темы. Также полезно читать MathOverflow. Очень важно как можно раньше найти себе в ПОМИ научного руководителя и начать заниматься научной деятельностью, публикуя свои результаты. При поступлении в американскую аспирантуру публикации могут сыграть немаловажную (если не важнейшую) роль в увеличении шансов на поступление. 4. Просто порассказывайте каких-нибудь историй, характеризующих вузы. И самообразование. Надавайте советов по проф. ориентации. Когда-то я вёл семинар в ПОМИ на котором я и четыре других математика (один из них — сотрудник ПОМИ, остальные сейчас (2011 год) в американских аспирантурах). разбирали современные темы из алгебраической топологии. Это — пример того, как можно организовываться в отсутствии содержательной деятельности на матмехе. От семинара осталась страница, на которой есть материалы (и даже видеозаписи) многих лекций: http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/ 5. Напишите о себе (при желании советовать это чуть ли не самое главное). Эта анкета будет выложена в публичный доступ (поэтому можете подписаться анонимом, но это нивелирует доверие у читателей). Дмитрий Павлов, постдок в университете Мюнстера, Германия. Получил Ph.D. в UC Berkeley в 2011 году. Занимаюсь алгебраической топологией, в частности функториальной теорией поля. Домашняя страница: http://dmitripavlov.org/ Страница на MathOverflow: http://mathoverflow.net/users/402/dmitr Tags: математика, образование |
| January 24th, 2011 | |
| 10:17 am [Link] |
Обновление манифеста Прошло два года с момента публикации моего «манифеста» (терминология не моя) об изложении математики, и настало время для обновления, которое выложено в виде ответа на MathOverflow. Основные отличия:
Tags: математика |
| January 17th, 2011 | |
| 06:07 pm [Link] |
Алгебраическая топология управляет миром Победоносное шествие функториальной теории поля по математике продолжается. Только что слушал доказательство гипотезы Вейля о числах Тамагавы для случая функциональных полей в исполнении Лури (если кто не знает — самый великий математик за время после Гротендика). Tags: математика |
| April 29th, 2010 | |
| 10:50 pm [Link] |
TeX И снова я возвращаюсь к теме TeXa. Вот здесь: http://mathoverflow.net/questions/2 я просвещаю людей, как надо делать PDF из TeXa. Если вкратце, есть программа dvipdfm, которая является непосредственным аналогом dvips для PDF. Именно ей и надо пользоваться. Всё остально, что я знаю — pdftex/pdflatex, ps2pdf, и всякие экзотические методы вроде запуска Distillera, гораздо хуже. Если использовать PostScript в качестве промежуточного формата, то качество шрифтов в силу неизвестных мне особенностей конвертирующих программ падает до совершенно безобразного. Что касается pdftex/pdflatex, то их лучше вообще на запускать — они известны тем, что получающийся PDF файл не везде можно прочесть, а кроме того, они имеют ряд возможностей, несовместимых с обычным TeXом — что означает, что когда формат PDF выйдет из моды, все такие тексты внезапно окажутся некомпилируемыми. Вообще, как я пишу по ссылке, математические работы должны существовать больше, чем 10–15 лет (время жизни типичного формата). Кто знает, может, через 10–15 лет PDF отправят на помойку, а все математические тексты будут использовать в качестве промежуточного формата представления HTML вместе с CSS и SVG, тем более что современный CSS и HTML предоставляют возможность точного позиционирования текста на странице, а также позволяют подгружать шрифты — то есть ни чем не отличаются по возможностям от DVI/PostScript/PDF. (Не то чтобы я рад такой перспективе, но она не более отвратительна, чем нынешние PDF/PostScript.) Что в таком варианте делать с кучей текстов на TeX, заточенных под под возможности pdftex/PDF, вообще непонятно. Один чудак по ссылке вообще предлагает делать TeX-файлы некомпилирующимися нигде, кроме pdftex. Ну и что с такими делать? Это, кстати, ещё одна причина, по которой я категорически отвергаю LaTeX в пользу Plain TeX. Текст, набранный в Plain TeX в 1982 году, скомпилируется сегодня и будет выглядеть точно так же, как и в 1982 году. Текст набранный в LaTeX в 1995 году, сегодня может запросто не скомпилироваться (по причине того, что LaTeX и его многочисленные пакеты постоянно меняются и новые версии несовместимы со старыми), а может скомпилироваться и выглядеть по другому, нежели чем в 1995 году. Тем временем, после длительных колебаний я сделал поддержку математических символов Plain TeX в кодировке UTF-8. Я не поклонник Unicode и UTF-8, но, кажется, это единственный распространённый способ набирать математические символы в тексте. Текущий экспериментальный макропакет можно наблюдать на моей странице Plain TeX: http://dmitripavlov.org/tex/ Теперь можно писать в формулах $a≤B∩C∪D⊗D≠E$, и математические символы Unicode в кодировке UTF-8 правильно отобразятся в макросы Plain TeX. Tags: tex |
| March 8th, 2010 | |
| 08:00 pm [Link] |
Образование как карго-культ Вдогонку к предыдущей записи, мой бывший одногруппник из ЛИТМО, а ныне аспирант и преподаватель математики там же, написал, что реально происходит на занятиях по математике в этом университете. Студенты мехмата тоже озабочены той же самой проблемой. В связи с этим Миша Вербицкий делает очень актуальное наблюдение: «Сравнивать мехмат с аналогичными западными учреждениями нельзя: во-первых, там нет "факультетов" как таковых, то есть студенты могут выбрать себе специализацию и вообще ходить на другой факультет; по факту, МГУ это не "университет" в традиционном смысле, а конгломерат мало связанных специальных вузов. Во-вторых, мехмат вдесятеро больше математического департмента Гарварда или математического института в Оксфорде -- и по количеству профессоров, и по количеству студентов. Подобных размеров математических факультетов в Европе, кажется, нет.» Количественные оценки в цитате верные. Я произвёл автоматический подсчёт: на мехмате обнаружилось 193 профессора и 190 доцентов. Всего получается 383 человека на должностях, условно аналогичных американским tenure и tenure-track должностям. В моём математическом департаменте, одном из самых больших в США, насчитывается 67 человек на tenure и tenure-track позициях, что почти в 6 раз меньше. Создаётся впечатление, что суммарное качество обратно пропорционально количеству. Преподавание математики в российских университетах является в настоящее время изощрённым карго-культом: Cargo cult activity in the Pacific region increased significantly during and immediately after World War II, when large amounts of manpower and materials were brought in by the Japanese and American combatants, and this was observed by the residents of these regions. When the war ended, the military bases were closed and the flow of goods and materials ceased. In an attempt to attract further deliveries of goods, followers of the cults engaged in ritualistic practices such as building crude imitation landing strips, aircraft and radio equipment, and mimicking the behaviour that they had observed of the military personnel operating them. Практический пример карго-культа: «Спрашиваю: "Кто из вас, четверокурсников, планирует в дальнейшем работать по специальности, соответствующей диплому?" Улыбаются, но никто не говорит: "Я". Спрашиваю: "Так зачем вам эта шестилетняя лихорадка?" (как-то иначе спросил, конечно, корректно). Девушка: "У нас в фирме, если нет высшего образования, то ты первый кандидат на вылет при сокращении штатов". "А что за фирма, если не секрет, чем занимается?" "Торговлей".» Обновление: А вот ещё одно мнение бывшего студента ЛИТМО. Tags: математика, образование |
| March 6th, 2010 | |
| 02:00 am [Link] |
Реальная стоимость моего институтского образования отрицательна Хочу обратить внимание читателей на интересное обсуждение одного из институтов (теперь — «университета») Санкт-Петербурга. Я три года назад окончил этот институт и знаю, что дискуссия описывает реальную ситуацию. Смотрите мои комментарии про местного «гуру» программирования и про то, что за образование надо платить, если уехал. Однако всё познаётся в сравнении. Например, остальные «программистские» кафедры ЛИТМО просто нашпигованы профессорами Эль-Наши местного значения. Если бы в 2002 году я обладал той же информацией, что обладаю сейчас, то постарался бы получить стипендию и поступить в американский университет, где брал бы аспирантские курсы по математике. А если бы не получилось, то пошёл бы в тоже самое место — просто потому, что остальные (например, матмех ЛГУ) ещё хуже, ибо требуют тратить впустую ещё больше времени, чем обсуждаемое место в ЛИТМО. Надо сказать, что на четвёртом и пятом курсе в ЛИТМО я, пользуясь помощью В. Парфёнова и И. Попова, сделал себе индивидуальный план (если кто не знал, в российских вузах это возможно, хотя и не афишируется), благодаря чему удалось выкинуть почти весь мусор из программы и заменить его на курсы Физматклуба. В ретроспективе, конечно, я бы сделал индивидуальный план начиная с первого курса — хотя тогда ещё и не было Физматклуба и заменять бы пришлось на что-нибудь другое. Обновление: Теперь там же можно прочитать ещё более отрезвляющий комментарий от нынешнего студента. Обновление: А вот ещё независимый взгляд на гуру «автоматного программирования». Tags: квазинаука, преподавание |
| February 8th, 2010 | |
| 11:26 pm [Link] |
Страх перед нулём и единицей. Наша жизнь полна предрассудков и необоснованных страхов. Однако не все знают, что предрассудки и страхи во множестве присутствуют в математике. Сегодня я расскажу всего лишь про один такой предрассудок — страх перед нулём и единицей. Древнегреческие математики не считали единицу числом, а понятия нуля у них вовсе не существовало. По этой причине утверждения о целых числах содержали в себе несколько аналогичных формулировок для случаев, когда рассматриваемые числа равны или не равны единице, что можно видеть у Эвклида, когда он излагает свой алгоритм нахождения наибольшего общего делителя («Начала», книга 7, предложения 1 и 2) — он вынужден формулировать два предложения вместо одного (предложение 1 излагает случай, когда наибольший общий делитель равен 1, а предложение 2 — когда не равен). За прошедшие две тысячи лет люди освоили понятия нуля и единицы, но страх перед ними остался. Далее я привожу список разнообразных верных утверждений, вызывающих отторжение под влиянием этого страха. У пустого множества есть ровно один эндоморфизм — пустая функция. Вообще, из пустого множество в произвольное есть ровно одна функция — функция с пустой областью определения. (А из произвольного непустого множества в пустое функций нет.) Натуральные числа — это те, которые используются при счёте. Это определение я услышал в пятом классе. Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств. Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное. Классическое проявление страха перед нулём — нумерация всего и вся с единицы, хотя зачастую более естественно нумерация последовательными натуральными числами, начиная с минимального — нуля, а часто наиболее естественным вариантом является отказ от нумерации. Некоторые Особенно популярно это мнение в среде жёстких аналитиков. (И вообще, жёсткий анализ (в противоположность мягкому) — это один из основных источников мракобесия в математике, как отметил один из моих знакомых.) Обосновывают они его следующим аргументом: функция (x,y) → x^y не является непрерывной в точке (0,0). Однако запись многочленов и рядов в форме ∑_k a_k x^k возможна только и исключительно при условии, что 0^0 = 1. Формула бинома (x+y)^n = ∑_k {n\choose k} x^k y^{n-k} верна для всех n≥0 и произвольных x и y также только при условии, что 0^0 = 1 (иначе надо потребовать, что x≠0, y≠0 и если n=0, то x+y≠0). Количество отображений из n-элементного множества в m-элементное равно m^n — смотри замечание выше про эндоморфизмы пустого множества. Отсюда тоже получаем, что 0^0 = 1. Список можно продолжать до бесконечности. Сумма пустого множества чисел есть 0. Произведение пустого множества чисел есть 1. Упражнение: вычислите значение башни степеней x^{y^{z^…}} для пустого семейства чисел. Нулевое векторное пространство имеет пустой базис и обладает ровно одним эндоморфизмом — нулевым. Определитель эндоморфизма нулевого векторного пространства равен 1, а его матрицей будет пустая матрица (матрица с пустым множеством строк и столбцов). Морфизмы из нулевого или в нулевое векторное пространство будут иметь пустое множество столбцов или строк. Произведение пустого семейства объектов (или предел пустой диаграммы) есть терминальный объект, копроизведение пустого семейства объектов (или копредел пустой диаграммы) есть начальный объект. Тензорное произведение (в моноидальной структуре) пустого семейства объектов есть моноидальная единица. В частности, тензорное произведение пустого семейства векторных пространств есть основное поле. Норму гомоморфизма нормированных пространств f: X→Y часто определяют как sup_{x∈X: x≠0} ‖f(x)‖/‖x‖ или как sup_{x∈X: ‖x‖=1} ‖f(x)‖. Эти определения не работают в случае X=0, а также, если допускаются полунормы, в случае если полунорма нулевая. Правильное определение, работающее во всех случаях, в том числе и для полунорм: ‖f‖=sup_{x∈X: ‖x‖≤1} ‖f(x)‖. Конъюнкция пустого семейства утверждений истинна, дизъюнкция пустого семейства утверждений ложна. Объединение пустого семейства множеств есть пустое множество. Пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств (или универсум, или другой аналогичный объект — зависит от используемых теоретико-множественных оснований). Например, топология на множестве X — это семейство его подмножеств, замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений внутри X. Забывающий функтор из категории пунктированных множеств в категорию морфизмов множеств, интерпретирующий пунктированное множество A как морфизм из одноэлементного множества в A, имеет левый сопряжённый функтор. Значение этого функтора на объекте A→B обозначается B/A и называется фактормножеством множества B по множеству A. (Здесь имеет место очевидная волность речи.) В случае A=∅ имеем B/∅=B⊔*, объединение B и одноэлементного множества, тем самым фактормножество иногда может быть больше исходного множества, а факторотображение может не быть сюръективным. Весьма показательна ошибка, которую сделал Hartshorne в своём учебнике алгебраической геометрии в определении предпучка — он определяет предпучок абелевых групп как предпучок абелевых групп в обычном смысле, удовлетворяющий дополнительному условию F(∅)=0. Это вызывает проблемы уже на элементарном уровне (нельзя определить постоянный предпучок обычным образом, непонятно как определить предпучок со значениями в произвольной категории), а куча утверждений про предпучки (например, про универсальные копополнения) становятся просто неверными. На самом деле это условие является следствием аксиом пучка. Действительно, для произвольной категории C предпучок со значениями в C — это контравариантный функтор из противоположной категории открытых множеств данного топологического пространства в C, а пучок — это предпучок, удовлетворяющий свойству спуска: конус спуска произвольного покрытия произвольного открытого множества является предельным конусом. Если взять пустое покрытие пустого множества, получаем, что значение пучка на пустом множестве является терминальным объектом. Желаю всем читателям избавиться от своего страха перед нулём и единицей, если он у них есть, и пользоваться этими понятиями свободно, без дополнительных оговорок. Поводом к написанию записи послужило одно замечание одного математика, в котором он использовал пучки абелевых групп, обладающие свойством F(∅)=0, и весьма обрадовался, когда я объяснил ему, что это свойство является тривиальным следствием определения пучка. Tags: математика, преподавание |
| February 3rd, 2010 | |
| 10:55 pm [Link] |
Стоимость человеческой жизни Придумал такую квазинаучную конструкцию: Предположим существование вещественнозначной функции стоимости жизни человека в зависимости от его возраста. Чтобы не вдаваться в вопрос стоимости жизни новорожденного младенца, отсчёт будем вести с нечеловеческой стадии развития организма — зиготы. Ценность жизни в начале интервала (момент слияния гамет) равна нулю, ценность жизни в конце интервала (момент смерти) также равна нулю. Если к этому добавить ещё условие непрерывности функции стоимости жизни (или хотя бы полунепрерывности сверху; впрочем, мне хочется ещё потребовать, что функция сначала возрастает, а затем убывает — но это необязательно), то тогда функция стоимости жизни имеет максимум. В каком возрасте достигается максимум? (Ответ предполагает также наличие внятного опеределения функции стоимости человеческой жизни.) Tags: квазинаука |
| December 28th, 2009 | |
| 08:45 pm [Link] |
Семинар по струнной топологии Приехав на зимние каникулы, организовал очередной топологический семинар, на этот раз будем изучать струнную топологию (Chas, Sullivan, Cohen, Jones, Воронов и другие). Первый доклад во вторник, 29 декабря 2009 года в 19 часов в ПОМИ. Приглашаются все желающие, если таковые имеются. Домашняя страница семинаров: http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/ Надеюсь записывать лекции на камеру и выкладывать их. Не уверен, правда, что это кому-то нужно. Посещаемость семинаров неуклонно падает — старые участники понемногу уезжают в аспирантуру (и не приезжают на каникулы), новых топологов не видно. Из моего потока в ЛИТМО (Институт точной механики и оптики, 2002 год поступления, на потоке изначально училось 42 человека, некоторых потом отчислили) три человека поступили в математические аспирантуры различных западных университетов (Berkeley, Yale, Northwestern). Сложно представить себе, чтобы такое могло произойти сейчас, видимо даже если рассматривать поток отделения математики матмеха, да и весь матмех. Или это не так? Будет интересно, если кто-нибудь с матмеха расскажет, сколько выпускников в среднем продолжают заниматься математикой и где. Тем временем, библиотека Эйлера выложила очередные два сборника «Математика». Кроме того, в ней по-прежнему лежат все журналы от Springera (и ещё несколько других), а скоро снова будет доступна колхозная коллекция (все выпуски вплоть до последнего 28-го, а возможно и до 32-го — когда выпустят очередное обновление). Коррекция: по пожеланиям участников семинар перенесён на 19 часов. Tags: математика, преподавание |
| August 6th, 2009 | |
| 08:05 pm [Link] |
Книги по физике Мне недавно подарили библиотеку, а в ней — много книг по физике, которые я вряд ли буду читать. Отдам в хорошие руки бесплатно. Распространение списка среди заинтересованных людей приветствуется. Книги находятся в Петербурге. А вот список книг: Волошин, Тер-Мартиросян, Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц, 1984. Окунь, Лептоны и кварки, 1990. Барбашов, Нестеренко, Модель релятивистской струны в физике адронов, 1987. Трейман, Джеки, Гросс, Лекции по алгебре токов, 1977. Исаев, Квантовая электродинамика в области высоких энергий, 1984. Элементарные частицы и компенсирующие поля, 1964. Окунь, Слабое взаиомодействие элементарных частиц, 1963. Бернстейн, Элементарные частицы и их токи, 1970. Браун, Джексон, Нуклон-нуклонные взаимодействия, 1979. Ли, Ву, Слабые взаимодействия, 1968. Биррелл, Девис, Квантовые поля в искривлённом пространстве-времени, 1984. Ициксон, Зюбер, Квантовая теория поля, том 1 и 2, 1984. Хуанг, Кварки, лептоны и калибровочные поля, 1984. Коллинз, Перенормировка, 1988. Швебер, Бете, Гофман, Мезоны и поля, 1957. Балдин, Гольданский, Максименко, Розенталь, Кинематика ядерных реакций, 1968. Бьёркен, Дрелл, Релятивисткая квантовая теория, том 1 и 2, 1978. Уэст, Введение в суперсимметрию и супергравитацию, 1989. Бринк, Энно, Принципы теории струн, 1991. Кройц, Кварки, глюоны и решётки, 1987. Неупругие взаимодействия адронов и ядер при высоких энергиях, выпуск 1 и 2, 1984. Эдер, Фаулер, Странные частицы, 1966. Вильдермут, Тан, Единая теория ядра, 1980. Хелзен, Мартин, Кварки и лептоны, 1987. Кириллов-Угрюмов, Никитин, Сергеев, Атомы и мезоны, 1980. Дрелл, Захариазен, Электромагнитная структура нуклонов, 1962. Окунь, Слабое взаимодействие при высоких энергиях, 1978. Теория групп и элементарные частицы, 1967. Гольданский, Никитин, Розенталь, Кинематические методы в физике высоких энергий, 1987. Нелипа, Физика элементарных частиц. Калибровочные поля, 1985. Боум, Фогель, Физика массивных нейтрино, 1990. Новый метод в теории сильных взаимодействий. Двойные дисперсионные представления, 1960. Друкарев, Теория столкновений электронов с атомами, 1963. Мурзин, Сарычева, Физика адронных процессов, 1986. Мурзин, Сарычева, Множественные процессы при высоких энергиях, 1974. Никитин, Розенталь, Теория множественных процессов, 1976. Завьялов, Перенормированные диаграммы Фейнмана, 1979. Далиц, Странные частицы и сильные взаимодействия, 1964. Нгуен Ван Хьеу, Лекции по теории унитарной симметрии элементарных частиц, 1967. Байер, Катков, Фадин, Излучение релятивистских электроновы, 1973. Маляров, Основы теории атомного ядра, 1959. Комминс, Буксбаум, Слабые взаимодействия лептонов и кварков, 1987. Славнов, Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 1978. Коккеде, Теория кварков, 1971. Фейнман, Взаимодействие фотонов с адронами, 1975. Фейнман, Квантовая электродинамика, 1964. Весс, Беггер, Суперсимметрия и супергравитация, 1986. Тейлор, Калибровочные теория слабых взаимодействий, 1978. Индурайн, Квантовая хромодинамика, 1986. Квантовая теория калибровочных полей, 1977. Коллинз, Сквайрс, Полюса Редже в физике частиц, 1971. Электромагнитные взаимодействия и структура элементарных частиц, 1969. Клоуз, Кварки и партоны, 1982. Мигдал, Фермионы и бозоны в сильных полях, 1978. Бюклинг, Каянти, Кинематика элементарных частиц, 1975. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, 1978. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, 1983. Васильев, Квантовополевая ренормировка в теории критического поведения в стохастической динамике, 1998. Бете, Моррисон, Элементарная теория ядра, 1958. Хриплович, Несохранение чётности в атомных явлениях, 1988. Боголюбов, Ширков, Квантовые поля, 1993. Введение в супергравитацию, 1985. Райдер, Квантовая теория поля, 1987. Коноплёва, Попов, Калибровочные поля, 1972. Гриб, Мамаев, Мостепаненко, Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях, 1988. Френкель, Принципы теориия атомных ядер, 1950. Грин, Шварц, Виттен, Теория суперструн, 1990. Новожилов, Введение в теорию элементарных частиц, 1972. Сакураи, Токи и мезоны, 1972. Теория сильных взаимодействий при больших энергиях, 1963. Иоффе, Липатов, Хозе, Глубоконеупругие процессы, 1983. Адлер, Дашен, Алгебры токов и их применения к физике элементарных частиц, 1970. Соколов, Введение в квантовую электродинамику, 1958. Деформация атомных ядер, 1958. Монастырский, Топология калибровочных полей и конденсированных сред, 1995. Менский, Группа путей: измерения, поля, частицы, 1983. ДеВитт, Динамическая теория групп и полей, 1987. Боголюбов, Ширков, Введение в теорию квантованных полей, 1976. ДеФльфаро, Фубини, Фурлан, Росетти, Токи в физике адронов, 1976. Ширков, Серебряков, Мещерков, Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях, 1967. Левинджер, Фотоядерные реакции, 1962. Абрикосов, Горьков, Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, 1962. Камал, Задачи по физике элементарных частиц, 1968. Никитин, Протасов, Топоркова, Фесено, Котов, Сборник задач по физике элементарных частиц, 1992. Тамм, Основы теории электричества, 1956. Фейнман, Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, 1968. Давыдов, Квантовая механика, 1963. Блохинцев, Основые квантовой механики, 1983. Биденхарн, Лаук, Угловой момент в квантовой физике, 1984. Соколов, Лоскутов, Тернов, Квантовая механика, 1965. Паули, Общие принципы волновой механики, 1947. Мак-Витти, Общая теория относительности и космология, 1961. Варшалович, Москалёв, Херсонский, Квантовая теория углового момента, 1975. Базь, Зельдович, Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, 1966. Мигдал, Крайнов, Приближённые методы квантовой механики, 1966. Кюри, Радиоактивность, 1960. Гайтлер, Квантовая теория излучения, 1956. Бете, Солпитер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, 1960. Грин, Матричная квантовая механика, 1968. Бабиков, Метод фазовых функций в квантовой механике, 1988. Фок, Начала квантовой механики, 1976. Шифф, Квантовая механика, 1959. Топтыгин, Космические лучи в межпланетных магнитных полях, 1982. Гальцов, Частицы и поля в окрестностях чёрных дыр, 1986. Новиков, Фролов, Физика чёрных дыр, 1986. Уилер, Гравитация, нейтрино и вселенная, 1962. Бёрке, Пространство-время, геометрия, космология, 1985. Паули, Теория относительности, 1983. Кузнецов, Щеглов, Методы диагностики высокотемпературной плазмы, 1980. Михайловский, Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках, 1978. Вопросы теории плазмы, 1987. Чен, Введение в физику плазмы, 1987. Бом, Общая теория коллективных переменных, 1964. Смирнов, Проблема шаровой молнии, 1988. Заславский, Сагдеев, Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса, 1988. Каулинг, Магнитная гидродинамика, 1959. Ландау, Собрание трудов, том 2, 1969. |
| July 15th, 2009 | |
| 11:02 pm [Link] |
Манифест Dieudonné («Все мы учились в одном гадюшнике…») Время от времени я начинаю разъяснять, почему геометрия, в том виде, как она сейчас преподаётся в школе, малоосмысленна, и почему ситуацию с этим необходимо менять. Вот, например, несколько недавних дискуссий, есть и другие: 1, 2, 3. Недавно я прочитал предисловие к книге Dieudonné 1964 года Algèbre linéaire et géométrie élémentaire и обнаружил, что в этом предисловии ясно и понятно изложены все те мысли, которые я уже давно пытаюсь разъяснять в различных дискуссиях. По этой причине я решил воспроизвести русский перевод этого предисловия ниже. Что (не)удивительно, с 1964 года прошло уже 45 лет, а воз и ныне там — за это время ничего не изменилось. Из различных маразмов, описанных Dieudonné, единственное, чего мне удалось избежать — шары Данделена. Зато очень много времени было потрачено впустую на окружность девяти точек, построения циркулем и линейкой, решения задач на треугольники, разучивание псалтыря тригонометрических формул и прочие бессмыслицы. В свете параграфа про высоты треугольника и сопротивление материалов донельзя забавным представляется комментарий в одной из недавних дискуссий. Система аксиом, которой мы пользовались на геометрии, была неполной, по причине чего теоремы часто «доказывались» неявным использованием интуитивно очевидного утверждения. И это — в двух лучших математических школах Петербурга — 30-ой и 239-ой. Что творится в обычных школах, страшно даже подумать. От себя могу добавить, что при первоначальном изучении геометрии, по-видимому, можно определить точку как пару рациональных чисел. После можно ввести операции векторного пространства, подробно изучить их геометрический смысл. Затем можно определить прямую параметрическим образом, научиться пересекать прямые (и доказать, что точка пересечения единственная), проводить прямую через две точки (с доказательством единственности), и так далее. Через некоторое время станет ясной необходимость введения вещественных чисел (а на алгебре будет параллельно доказана иррациональность квадратного корня из 2). Вещественные числа, по-видимому, проще всего ввести как сечения. Что самое забавное, аргументация Dieudonné точно также применима к студенческой программе по математике. Вот список некоторых вещей, которые я или люди на курс младше меня в своё время должны были изучать или делать:
Каждый может легко продолжать этот список до бесконечности. Было бы неплохо изъять из учебного плана принудительную галиматью вроде «математического анализа», «аналитической геометрии», «теории функций комплексного переменного», «дифференциальных уравнений», «теории вероятностей», «математической физики», «дискретной математики», «математической статистики», «численных методов» и им подобных и заменить их на такие: «общая топология», «линейная алгебра», «гладкие многообразия», «комплексная геометрия», «теория меры», «гармонический анализ», «микролокальный анализ», «алгебраический анализ и D-модули», «геометрический анализ» и так далее. С современным содержанием и в современном изложении. [Наличие в любом плане научно-технической специальности кучи принудительной гуманитарной ахинеи я и вовсе оставляю за скобками.] К сожалению, всё это абсолютно нереалистично в нынешних условиях… А жаль. Извините, что так резко — мне просто жаль кучи бессмысленно потраченного времени в студенческие годы. Просьба воспринимать всё это как призыв к конструктивной деятельности, а не деструктивной. [Впрочем, банальное изъятие из плана кучи гуманитарного мусора, отнимающего ценное время, можно, наверное, рассматривать как конструктивное действие.] А теперь — собственно предисловие к книге Dieudonné. Ввиду ограничения на длину записи в LJR выкладываю его отдельно здесь. Tags: математика, преподавание |
| June 26th, 2009 | |
| 10:01 pm [Link] |
Гомотопическая теория графов Удивительное рядом. Bisson и Tsemo опубликовали статью, в которой они вводят нетривиальную модельную структуру на топосе ориентированных графов. Категория ориентированных графов определяется как категория предпучков множеств на категории, состоящей из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними. В частности, эта категория образует топос. Более удивительно, что на этом топосе можно ввести нетривиальную кофибрантно порождённую модельную структуру. Расслоениями в этой структуре будут морфизмы графов, индуцирующие для каждой вершины и её образа сюръекцию на множестве выходящих из них рёбер. Корасслоениями будут вложения, получающиеся путём приклеивания к графу путём толчка нескольких деревьев, растущих от корня. Наконец, слабыми эквивалентностями будут морфизмы, индуцирующие биекцию на множестве циклов. В этой модельной структуре граф будет фибрантным, если у него нет тупиков — вершин, из которых не выходят рёбра. Кофибрантный граф — это в точности копроизведение произвольного набора конечных циклов, к которым приклеены путём толчка несколько деревьев, растущих от корня. Кофибрантной заменой будет копроизведение всех циклов в графе с очевидным морфизмом в этот граф. У категории графов есть важная цепочка подкатегорий: полная подкатегория графов, у которых из каждой вершины выходит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория графов, у которых в каждую вершину входит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория дискретных графов: у каждой вершины есть петля. Между этими категориями есть несколько пар сопряжённых функторов, которые не являются гомотопическими, но являются функторами Квиллена, и у них есть тотальные производные функторы, вычисляющие нетривиальную информацию. А вот забавная теорема: два конечных графа гомотопически эквивалентны в том и только в том случае, если они почти изоспектральны, что равносильно совпадению дзета-функций этих графов. Tags: математика |
| June 22nd, 2009 | |
| 07:07 pm [Link] |
Русская терминология При проведении семинаров на русском языке (чем я занимаюсь каждый год в зимние и летние каникулы) постоянно возникает необходимость в переводе английских терминов. В четверг участниками семинара был составлен следующий словарик: pullback — оттяг; pushforward — толчок; cup product — чашечное произведение; cap product — кепочное производение (в просторечии — шапочное произведение). Если у кого есть собственные переводы этих или других терминов — оставьте комментарий. Tags: математика |
| January 24th, 2009 | |
| 05:00 pm [Link] |
Изложение математики Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно концептуализировать и упростить а ля Гротендик изложение некоторых хорошо известных разделов математики. Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр. Частное: Lp-пространства должны формулироваться и излагаться на языке модулярных алгебр Ямагами. Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии, позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры, а также алгебр Клиффорда и Вейля. Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов. Возможно также использование языка пучков, хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий. Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии, в частности должно даваться концептуальное изложение дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек, вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия группы диффеоморфизмов суперточки. Тоже самое для комплексных многообразий — только здесь уже надо использовать пучки. (Надо сказать, что теории схем сказочно повезло — для схем координаты невозможно использовать в принципе.) Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, одновременно для топологических пространств и симплициальных множеств. Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, без упоминания резольвент, кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены. Операды должны формулироваться и излагаться на языке свёртки Дея и подстановочного произведения. Где бы теперь взять книги, излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?… Добавление: То, что некоторые области должны излагаться по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то подумали именно это. Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям, многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики. Это не так, я не предлагаю никаких программ. Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики. Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники, использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их существовании и давали ссылки на литературу. Tags: математика |
| 04:40 pm [Link] |
Гипотеза о кобордизмах Jacob Lurie недавно опубликовал статью с доказательством гипотезы о кобордизмах Баеза-Долана, которая, грубо говоря, утверждает, что n-категория кобордизмов является свободной n-категорией на одном объекте (в соответствующем смысле — подробности в статье). У него же, если кто не знает, лежит замечательный обзор по топологическим модулярным формам. Tags: математика |
| October 26th, 2008 | |
| 05:01 pm [Link] |
Русский Plain TeX Вот уже более восьми лет я использую исключительно TeX для набора чего-то более сложного, чем текстовый файл. Поскольку LaTeX мне освоить не удалось ввиду его колоссальной сложности, пришлось остановиться на Plain TeX. А поскольку приличной русификации в то время не было и нет до сих пор, мне пришлось сделать свою, которую и использую уже много лет. Сегодня я решил выложить её на всеобщее обозрение: http://dmitripavlov.org/tex/ Замечания, вопросы и комментарии приветствуются. Tags: tex |
| October 23rd, 2008 | |
| 09:28 pm [Link] |
Рентгеновские снимки при помощи скотча В журнале Nature опубликована статья, в которой рассказывается, что обыкновенный скотч служит источником рентгеновского излучения, и притом достаточно сильным для того, чтобы сфотографировать скотч в обычном спектре без дополнительной подсветки (всё освещение — от сцинтиллятора) и делать рентгеновские снимки пальца. Смотри также описание статьи на русском языке в блоге Игоря Иванова. Tags: наука |
| August 7th, 2008 | |
| 12:25 am [Link] |
Grothendieck Я, как всегда, узнаю всё последним, но если кто-то ещё не видел отчёт о поездке к Гротендику в июне 1988 года, который написал Roy Lisker, то его можно найти здесь: http://fermentmagazine.org/Quest88.h И вообще, интересная страница с материалами про Гротендика: http://fermentmagazine.org/home5.ht Tags: математика |
| April 11th, 2008 | |
| 09:04 pm [Link] |
Community service Если кому-нибудь нужны книги по математике (а также по физике и программированию), то я могу купить их здесь и привезти в Петербург. Я могу покупать книги в трёх местных магазинах, а также в сетевых. (Конечно, сетевыми магазинами можно пользоваться и в России, однако доставка в Россию очень дорогая, идёт очень долго (2 месяца), могут возникнуть проблемы с таможней, и кроме того, не у всех есть подходящие платёжные средства.) По этим ссылкам можно проверить, есть ли какая-нибудь книга в местных магазинах: http://nedsbooks.com/ucb/ http://www.moesbooks.com/moes/search.ht http://ucberkeley.bkstr.com/ Для сетевых магазинов есть неплохая поисковая система: http://www.bookfinder.com/ Tags: книги |
| April 3rd, 2008 | |
| 06:55 pm [Link] |
Больше всего в математике я ненавижу… По мотивам известной страницы. В обозначениях Δx и δx d/dx и ∂/∂x когда используют выражение «функция f(x)», имея ввиду «функция f» когда путают расслоение и его тотальное пространство вертикальную нотацию для дробей нотацию для возведения в степень нотации для интеграла и суммы обозначение производной штрихом нотацию f(x) когда композицию морфизмов пишут справа налево (особо ненавижу) смешанную нотацию для дробей вида a b/c, обозначающую a+b/c В терминологии неопределяемые понятия утверждения, принимаемые без доказательства аксиомы В теории множеств аксиоматику Цермело-Френкеля В линейной алгебре координаты матрицы когда рассказывают внешнюю алгебру без геометрического смысла отдельной строкой я ненавижу аксиоматику Эвклида-Гильберта В топологии язык ε-δ В мере меру Жордана и интеграл Римана изложение меры по Каратеодори В многообразиях координаты (лютой ненавистью) карты и атласы производную как число или набор чисел дивергенцию, градиент и ротор В образовании школьную математику олимпиадную математику (против самих олимпиад ничего не имею) вступительную математику высшую математику прикладную математику (то, что сейчас понимают под этим термином) В изложении когда проводят длинное рассуждение и не говорят заранее, что при этом доказывается Список неполный, постоянно пополняется. Tags: математика |
| January 23rd, 2008 | |
| 09:58 am [Link] |
Филдсовская медаль Арнольда Из статьи В. А. Успенского в журнале «Новый мир» за декабрь 2007 года: Проблемы и даже скандалы, сопровождавшие процедуры присуждения и вручения филдсовских медалей, возникали и раньше. Так, по причине Мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений в промежутке между 1936 и 1950 годами (в 1936 году в Осло прошёл последний предвоенный Международный конгресс математиков, а в 1950 году в Кембридже, что в Массачусетсе, — первый послевоенный). Все последующие причины были порождены советскими властями. Например, конгресс в Варшаве, намеченный на 1982 год, был перенесён на август 1983 года из-за объявленного в Польше военного положения. В 1966 году французский математик Александр Гротендик, один из крупнейших математиков XX века, в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов; вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов и всех чохом пригласил на сцену для получения медалей; кто есть ху, понять из зала было невозможно. В 1970 и в 1978 годах конгрессы состоялись, соответственно, в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить свои медали два математика из СССР: в Ницце — Сергей Петрович Новиков (родился в 1938 году; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки — Григорий Александрович Маргулис (родился в 1946 году). Их поездки были признаны, по советской бюрократической терминологии, «нецелесообразными», а сами они не были выпущены за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (едва ли не единственном издании, откликнувшемся на присуждение ему высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «и… [даже] докторская диссертация на подходе». Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 году. Далее — изложение рассказа самого Арнольда; надеюсь, что помню его правильно. Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Окончательное решение должен был принять высший орган Международного математического союза — его исполнительный комитет. В 1971–1974 годах вице-президентом Исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне своей поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и на беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждение тому филдсовской медали. В случае, если исполком с этим не согласится и всё же присудит Арнольду медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации в Ванкувер на очередной Международный конгресс математиков, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал ему о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые ему Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним — интересна, а обед — хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только филдсовскую медаль Арнольд тогда не получил — и было выдано две медали вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 году Арнольд исчерпал возрастной лимит. В 1995 году Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 году на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда. Осталось выяснить, кто отдал Понтрягину приказ не давать Арнольду медаль. Вообще, очень странно, что филдсовский комитет не присуждает медали единолично. Зачем нужна эта бюрократическая процедура утверждения? Tags: математика |
| January 14th, 2008 | |
| 04:28 am [Link] |
Мир в ореховой скорлупке Я недавно писал про модулярное пространство стабильных карт в Википедии. А теперь обнаружился не менее интересный случай перевода, но уже в бумажной книге: название книги «The Universe in a Nutshell» (автор — Stephen Hawking) перевели как «Мир в ореховой скорлупке». По ссылке от kobak@lj.Он утверждает, что издательство «Амфора», выпустившее эту книгу, вроде бы является солидным. Модулярного пространства стабильных карт в Википедии уже нет, а эта книга так и останется свидетельством квалификации переводчиков этого издательства. Добавление: из разговора с переводчиком выяснилось, что такой перевод названия вызван содержанием третей главы, в которой этот фразеологизм используется в буквальном смысле. Как указал burcha@lj, наиболее адекватным переводом было бы «Вселенная?.. Это очень просто!»,содержащее отсылку к советской научно-популярной серии. |
| December 13th, 2007 | |
| 06:09 pm [Link] |
Community service Сегодня я ходил по книжным магазинам и смотрел книги по математике. Возможно, кому-то в Петербурге хочется купить какую-нибудь книгу по математике на английском языке. Я могу купить её здесь и привезти в Петербург. Для облегчения задачи я привожу список увиденных мною книг, которые могут оказаться кому-то интересными. Помните, что из-за налога все цены в списке умножаются на 1.0875. Если книги нет в списке, это не значит, что её нет в магазине. Достаточно просто сказать мне её название и предельную цену в долларах, которую вы согласны за неё заплатить. Если я увижу её, то куплю и привезу в Петербург. Сначала — книга, полезная для программистов: $25: Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L. Introduction to algorithms. The MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. MIT Press, Cambridge, MA; McGraw-Hill Book Co., New York, 1990. xx+1028 pp. И вообще, если кому-то нужны программистские книги, заказывайте, тут они наверняка есть. А теперь остальные книги: $50: Eisenbud, David Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. $40: Serre, Jean-Pierre Linear representations of finite groups. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. x+170 pp. $42: Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983. ix+272 pp. $52/70: Hartshorne, Robin Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. xvi+496 pp. $25/34: Hatcher, Allen Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. $50/65: Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. $55: Ramanan, S. Global calculus. Graduate Studies in Mathematics, 65. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. xii+316 pp. $85: Frenkel, Edward Langlands correspondence for loop groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 103. Cambridge University Press, Cambridge, 2007. xvi+379 pp. $50: Dodson, C. T. J.; Poston, T. Tensor geometry. The geometric viewpoint and its uses. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 130. Springer-Verlag, Berlin, 1991. xiv+432 pp. $32: de Cataldo, Mark Andrea The Hodge theory of projective manifolds. Imperial College Press, London, 2007. xii+102 pp. $35: Halmos, Paul R. Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950. xi+304 pp. $46: Hirsch, Morris W. Differential topology. Graduate Texts in Mathematics, No. 33. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. x+221 pp. $29: Morrow, James; Kodaira, Kunihiko Complex manifolds. Reprint of the 1971 edition with errata. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006. x+194 pp. $26: Kobayashi, Shoshichi Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings. An introduction. Second edition. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2005. xii+148 pp. $20: Hörmander, Lars Linear partial differential operators. Springer Verlag, Berlin-New York, 1976. vii+285 pp. $40: Jacquet, H.; Langlands, R. P. Automorphic forms on ${\rm GL}(2)$. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970. vii+548 pp. $42: Majid, Shahn Foundations of quantum group theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. x+607 pp. $40: Aubin, Thierry Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 252. Springer-Verlag, New York, 1982. xii+204 pp. $48: Varadarajan, V. S. Lie groups, Lie algebras, and their representations. Prentice-Hall Series in Modern Analysis. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1974. xiii+430 pp. $50: van der Waerden, B. L. Algebra. Vol 1. Translated by Fred Blum and John R. Schulenberger Frederick Ungar Publishing Co., New York 1970 xiv+265 pp. Vol. 2. Translated by John R. Schulenberger Frederick Ungar Publishing Co., New York 1970 xii+284 pp. $30: Weil, André Basic number theory. Third edition. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 144. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. xviii+325 pp. $25: Zariski, Oscar; Samuel, Pierre Commutative algebra. Vol. 1. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975. xi+329 pp. $16: Jacobson, Nathan Lie algebras. Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ix+331 pp. $60: Jost, Jürgen Riemannian geometry and geometric analysis. Fourth edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xiv+566. $60: Petersen, Peter Riemannian geometry. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, New York, 2006. xvi+401 pp. $29: Mashaal, Maurice Bourbaki. A secret society of mathematicians. Translated from the 2002 French original by Anna Pierrehumbert. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. ii+168 pp. $70: Lazarsfeld, Robert Positivity in algebraic geometry. I. Classical setting: line bundles and linear series. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 48. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+387 pp. II. Positivity for vector bundles, and multiplier ideals. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 49. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+385 pp. $35: Stanley, Richard P. Enumerative combinatorics. Vol. 1. With a foreword by Gian-Carlo Rota. Corrected reprint of the 1986 original. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 49. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. xii+325 pp. $35: Ahlfors, Lars V. Lectures on quasiconformal mappings. Second edition. With supplemental chapters by C. J. Earle, I. Kra, M. Shishikura and J. H. Hubbard. University Lecture Series, 38. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. viii+162 pp. $29: Adams, Colin C. The knot book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Revised reprint of the 1994 original. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. xiv+307 pp. $40: Francis, George K. A topological picturebook. Reprint of the 1987 original. Springer, New York, 2007. xvi+194 pp. $30: Goldblatt, Robert Topoi. The categorial analysis of logic. Second edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 98. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984. xvi+551 pp. |
| December 4th, 2007 | |
| 01:20 am [Link] |
Теперь в двух местах Поскольку наблюдается большая миграция из LiveJournal в GreatestJournal, зарегистрировался также и там. Встречайте: http://dmitri-pavlov.greatestjournal.co Жалко только, что комментарии туда так просто не импортируешь — надо возиться с программой. Или есть другие способы? Кто-нибудь знает, кто контролирует GreatestJournal? Мне не удалось найти никакой информации об этом. |
| December 2nd, 2007 | |
| 09:58 pm [Link] |
Пора уходить Пророчество сбылось. Поскольку только lj.rossia.org обладает достаточно большим количеством интересных мне пользователей, ухожу туда. Поскольку их сервера скоро покинут Россию, это обоснованно. Встречайте: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/. После отправки этого поста буду импортировать свой журнал туда. Некоторое время (быть может, достаточно большое) буду сохранять своё присутствие в LiveJournal, до тех пор, пока он будет представлять для меня интерес. (Я полагаю, что скоро здесь будет очередной li.ru и интерес мой скоро исчезнет.) Комментарии можно будет оставлять как здесь, так и там. Периодически все новые комментарии здесь будут импортироваться туда. Через некоторое время все посты будут стёрты. Мне интересно узнать мнение своих друзей: собираетесь ли вы оставаться здесь, удаляться или переезжать, и если переезжать, то куда и когда? |
| November 24th, 2007 | |
| 05:29 am [Link] |
Википарламент Я совсем не хотел писать про политику, но ввиду того, что этот вопрос постоянно всплывает в дискуссиях, я формулирую свои мысли здесь. Программа-минимум. Все документы, имеющие какое-либо отношение к государственным структурам (написанные чиновниками, написанные по заказу чиновников, заявления, переданные чиновникам, и так далее) в обязательном порядке выкладываются в сеть на специальный сайт. Документы, не выложенные в сеть, автоматически признаются недействительными и не имеющими юридической силы. Действия, совершённые на основе таких документов, автоматически считаются незаконными. На каждом бумажном документе должен быть указан его сетевой адрес. Исключение делается для узкого круга документов, раскрытие которых крайне нежелательно (детали технологического процесса изготовления термоядерной боеголовки, например). Реализовать программу можно следующим образом. Подавляющее большинство нынешних чиновников пользуется компьютером как средством связи (почта и другие виды связи) и как средством подготовки документов. Соответственно, программой редактирования документов для чиновников должен стать всё тот же сайт, на котором установлена программа, похожая на Google Docs. Локальные программы редактирования документов на компьютеры чиновников ставить не следует. Все финансовые транзакции, имеющие какое-либо отношение к государственным структурам (проводимые чиновниками, проводимые по заказу чиновников, деньги, перечисляемые на счета государственных организаций, и так далее) в обязательном порядке отражаются в сети на том же сайте. Финансовые транзакции, не отражённые в сети, автоматически признаются недействительными и не имеющими юридической силы. Деньги, переведённые такими транзакциями, подлежат возврату. Исключение делается для узкого круга объектов, раскрытие деталей финансирования которых нежелательно (финансирование государственного завода, на котором производятся термоядерные боеголовки, например). Финансирование таких объектов осуществляется по принципу чёрного ящика: в сети отражено, сколько денег ушло в эти объекты, но не отражено как именно они там распределились. Реализация программы не представляет технической трудности, если учесть, что все транзакции и так являются электронными. Остаётся только внести небольшие изменения в программное обеспечение. Транзакции и юридические документы, их обосновывающие, должны иметь двусторонние ссылки друг на друга. Наконец, всё программное обеспечение, с этим связанное, должно быть свободно распространяемым и с открытыми исходными текстами. Программа-максимум. Президент, администрация президента, государственная дума, совет федерации, конституционный суд, правительство, все министерства, все федеральные агенства и федеральные службы, госкомитеты, законодательные собрания, а также другие органы исполнительной и законодательной власти упраздняются, а их полномочия передаются специальной структуре — википарламенту. Множество участников википарламента по определению совпадает с множеством граждан страны. Википарламент имеет специальный сайт, на котором происходят дискуссии, создаются документы и происходят голосования по всем выработанным документам. В процессе расформирования органов исполнительной и законодательной власти останется некоторое множество людей, не занятых бумажной работой, а совершающих физические действия (например, пожарники). Все эти люди переподчиняются википарламенту. Армия, МВД, ФСБ и другие силовые структуры прекращают своё существование как единое целое, отдельные структурные единицы переподчиняются википарламенту. Уже в такой форме википарламент будет значительно эффективнее традиционной представительской демократии. Что-то похожее имеется в Швейцарии, где любой значимый вопрос решается населением на референдуме, моё предложение отличается более широким использованием технических средств. Следующий параграф является спорным. Хочу подчеркнуть, что на его выполнении я не настаиваю. Есть опасность, что такой википарламент будет склонен к популизму. Можно присвоить голосу каждого гражданина вес, который тем выше, чем большую способность к самостоятельному анализу и логическому мышлению демонстрирует гражданин. В качестве объективного средства измерения таких способностей можно взять экзамены по естественным наукам. Чем большие знания и умения в математике, физике, биологии и других естественных науках демонстрирует гражданин, тем больший вес имеет его голос. Естественно, процедура экзаменов полностью прозрачная и контролируется википарламентом. Впрочем, на точном исполнении директив последнего параграфа я не настаиваю, этот вопрос обсуждаем. |
| November 15th, 2007 | |
| 08:40 am [Link] |
Из русской Википедии Концевич дал математически строгую формулировку интегралов Фейнмана для топологической теории струн через введённое им понятие модулярного пространства стабильных карт. |
| August 26th, 2007 | |
| 05:58 pm [Link] |
Генералиссимус математических армий Интересная статья про Bourbaki. Для тех, кто не имеет доступа — копия статьи в формате PDF. |
| August 7th, 2007 | |
| 10:59 pm [Link] |
Синтаксическая математика Школьный курс математики содержит в себе множество синтаксических процедур. На самом деле, при внимательном рассмотрении получается, что он только из них и состоит. Достаточно приглядеться к содержанию материала различных годов обучения. В первом классе изучаются натуральные числа и четыре арифметических действия над ними. При этом все четыре алгоритма изучаются в чисто синтаксическом варианте, без всяких пояснений и доказательств. По-видимому, большинство выпускников школы в состоянии строго изложить алгоритмы сложения, вычитания и умножения. Но многие ли из них смогут доказать, что в результате получается именно то, что надо? Могу лишь предположить, что таких меньше половины. Что касается деления, то его, по-видимому, не смогут внятно изложить почти все выпускники. Основная идея, конечно тривиальна: определять ответ по цифрам. Но при этом возникает такая подзадача: найти целую часть частного (n+1)-значного числа и n-значного числа, в предположении, что ответ меньше основания системы счисления. И с описанием того, как искать эту цифру, возникают проблемы. Challenge: А кто-нибудь из вас может с ходу дать строгое изложение алгоритма решения этой подзадачи, не допускающее неоднозначных толкований, и при этом адекватное практике, пусть даже и без доказательства? Не пользуясь при этом литературой, конечно. Если кто и сможет, то уж школьники почти наверняка не смогут. Тем более они не смогут доказать правильность алгоритма. Получается, что действительно, мы имеем чисто синтаксическую процедуру, выполняемую без всякого понимания. Много ли толку от таких процедур, в особенности теперь, когда у нас есть калькулятор? В следующих классах изучаются так называемые текстовые задачи. Здесь можно подумать, что разнообразие таких задач должно разрушить моё предположение. Однако беглый анализ показывает, что на самом деле изучается строго ограниченное количество типов задач, почти все из которых укладываются в несколько шаблонов. (Помнится, как-то при решении одной из таких задач я написал 4×5, а учительница, которая это проверяла, исправила это на 5×4. Тогда я был в большом недоумении. А теперь пониманию, что от меня подразумевалось следование некоему шаблону. И это — в знаменитой тридцатке!) Было бы интересно, если кто-то просмотрит учебники 2–3 класса и прояснит этот вопрос. Перейдём к 5–7 классам, которые я вспоминаю с не меньшей тоской, чем 1–3 классы. (Особенно смешно было, когда в 1 классе нас учили рисовать цифры, а я к тому времени понимал логарифмы.) Наша учительница (уже другая, но всё в той же тридцатке) заставляла нас разучивать наизусть «сигналы» — специальным образом расположенные наборы предложений и формул (расположение тоже надо было наизусть учить). Разучивать предлагалось всё те же синтаксические правила — как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, как перемножать отрицательные числа, и так далее. В 8 классе у нас снова сменилась учительница. В алгебре дела стали обстоять чуть получше, а вот геометрия по-прежнему оставалась набором синтаксических процедур. Помнится, в первой четверти я получил двойку по геометрии (единственная моя двойка по всем естественным наукам и математике), за то, что не смог доказать, что средняя линия в треугольнике составляет половину от стороны. Мне это утверждение казалось совершенно тривиальным, но его надо было выводить из большого списка (около 20) аксиом, которых я никогда не мог запомнить. (Изучив линейную алгебру, я понял, что был совершенно прав.) Последние три года я провёл в 239 школе, и они были не сильно лучше. Конечно, некий разумный элемент присутствовал, но синтаксическая часть была доминирующей. Все эти бесконечные уравнения и неравенства с квадратными корнями, логарифмами и тригонометрическими функциями, которые решались с применением ограниченного набора действий. Тригонометрические преобразования были особенно тоскливыми. Вместо всей тригонометрии следовало сообщить два определения синуса и косинуса через экспоненту и перейти к изучению оной. Позднее — производные и интегралы, и опять таки, упор делался на вычислительный аспект, сводившийся к стандартному набору правил. (Надо отдать должное, в 9 классе этот же учитель читал спецкурс по теории чисел а ля книжка Виноградова, вполне содержательно, никаких синтаксических процедур. По-видимому, основные уроки он так читал под давлением обстоятельств.) Всё познаётся в сравнении. Наши уроки физики в 239, которые вёл Виктор Максимович Терехов, резко контрастировали с такой синтаксической практикой, в них не было и намёка на такие вещи. Русский язык у нас, похоже, целиком преподают на синтаксическом уровне. Что интересно, я никогда не учил никаких правил. С ужасом вспоминаю «жи-ши», «брить-стелить» и сложносочинённые предложения. По-видимому, более-менее грамотно писать я мог из-за того, что когда-то прочитал большое количество художественных книг, что позволило мне приобрести минимальную грамотность, не заучивая правила. Вообще, мне было неинтересно на синтаксических предметах (русский язык, литература (чтение), информатика (я на неё не ходил, так у нас называлось изучение программ Microsoft, а также разных языков программирования, в том числе и для дивных компьютеров «Ямаха» с зелёными мониторами), обществоведение (это у нас философия так называлась), ОБЖ (то есть начальная военная подготовка), физкультура и танцы), и интересно на остальных. Некоторые предметы имели как синтаксических преподавателей, так и содержательных. Особенно ярко это было выражано с историей и химией. Мне интересно услышать мнение других людей по поводу их предметов в школе. Вступительные экзамены с их неповторимым классом задач про всё те же уравнения, неравенства и тождества, к счастью, обошли меня стороной. Я даже не буду говорить про студенческие лекции по анализу, аналитической геометрии, диффурам, теории вероятностей и прочей вычислительной ерунде, которые я благополучно игнорировал, и появлялся на них только на экзамене. До меня доходили страшные слухи: на матанализе требовали вычислить 50 (!) интегралов и производных. Ужас какой-то. Я бы столько поленился даже в компьютер вбивать (именно так я бы делал такие задания). Самое главное, непонятно, зачем всё это. Всевозможные инженеры и научные работники либо воспользуются программой символьных вычислений (а для элементарных функций есть общий универсальный алгоритм интегрирования, который является следствием развития дифференциальной алгебры), либо (что скорее) будут интегрировать численно. Венцом всего этого стало событие, произошедшее больше года назад. По просьбе своей кафедры я участвовал в олимпиаде Санкт-Петербурга по математике для технических вузов. Задачи на той олимпиаде были довольно техническими (простите за каламбур), судя по всему, ориентированными на те же синтаксические преобразования. В одной из задач требовалось решить диффур. Я никогда не умел решать диффуры, кроме как методом подстановки-проверки. Подставил две или три простейших функции, вижу — получил ответ, так и пишу в решении: проверим что данная функция удовлетворяет уравнению, проверим, что выполнены условия теоремы существования и единственности. Вполне строгое решение, даже самому строгому проверяющему не к чему придраться. На апелляции вижу, что за эту задачу у меня стоит далеко не полный балл. Беру свою работу, но в ней по этому поводу ничего не отмечено. Вдруг какой-то человек (позднее оказалось, что это был заведующий кафедрой математики ВИТУ) спрашивает меня: что я собираюсь апеллировать? Я отвечаю. Он начинает со мной спорить, что то, что я написал — это не решение, а решением должен быть некий набор действий, показывающий, как это решение получилось (полученный, очевидно, при помощи синтаксической процедуры). В конце концов, ему предложили пример: есть поле, на котором закопан клад, который надо найти. Один человек перекопал всё поле и нашёл клад, а другой просто угадал, где надо копать, и сразу выкопал клад. Кто из них решил задачу (нашёл клад)? Заведующий кафедрой математики сказал, что только тот, кто перекопал всё поле. Но это, конечно, было не самым интересным. Через некоторое время у меня началась собственно апелляция, которую проводил председатель жюри (он же отбирал задачи) профессор матмеха Н. А. Широков. После некоторого спора он в конце концов выдал мне следующую фразу (воспроизвожу не дословно, но близко к оригиналу и без потери смысла): «Возьмите любой учебник дифференциальных уравнений, там есть набор стандартных подстановок, их-то и надо использовать при решении таких задач. При решении диффуров вы должны продемонстрировать ваше владение этим набором стандартных подстановок, а не умение решать задачи.». Это был для меня сильнейший деморализующий удар, я так и не нашёлся, что можно на это возразить, так и ушёл с неполным баллом (хотя выиграл олимпиаду). А вот другой человек получил полный балл, применив пару подстановок, даже не соизволив пояснить, почему его решение единственно (что было сделано у меня). Математика делится на содержательную и синтаксическую. Представителями синтаксической математики являются подавляющее большинство учителей школ, всевозможные репетиторы, заведующий кафедрой математики ВИТУ, а также профессор матмеха Н. А. Широков (он, кстати, там заведует кафедрой матанализа). Содержательную математику пока ещё можно изучать в физматклубе и на тех спецкурсах матмеха, которые проходят в ПОМИ (почему-то именно они оказываются наиболее содержательными (простите за каламбур) из всех спецкурсов). Не путайте содержательную математику с синтаксической! На этом позвольте мне завершить мой немного затянувшийся пост. Кстати, вы не забыли про challenge? Обновление: В качестве ответа на один из комментариев формулирую своё мнение относительно преподавания математики в начальной щколе. Я думаю, что в начальной школе не надо учить действиям в столбик, а даже если и надо, то далеко не сразу. Сначала надо разъяснить концепцию натурального числа (можно иллюстрировать её на примере набора яблок). После этого объяснить смысл таких операций, как сложение и умножение (например, два ряда яблок выстроили вместе — это сложение, выстроили прямоугольник из яблок — это умножение). При этом должны объясняться, и, в некотором смысле, доказываться простейшие свойства этих действий (сложение коммутативно — переставили два ряда яблок, умножение ассоциативно — вертим параллелепипед из яблок, и так далее). Дальше можно изучать либо целые числа, либо более сложные действия над натуральными, вроде деления с остатком. Опять же, в наглядной интерпретации — целые числа как кредит и долг, деление с остатком как расположение яблок в ряды, и так далее. Всем свойствам, которые используются, обязательно должны даваться наглядные доказательства. Ученики тоже должны решать несложные задачи теоретического плана вместе с доказательствами такого рода. И, несомненно, весь этот материал можно иллюстрировать на числовых примерах, вроде 2+5=7, 3*3=9, 8/3=2+2/3. Дальше можно изучать свойства остатка от деления, опять же, с наглядными доказательствами. После чего можно рассказать о позиционной системе счисления, вместе с доказательствами, при этом следует попытаться сделать так, чтобы ученики сами придумали алгоритм сложения в столбик и доказали его правильность. Дроби опять же можно иллюстрировать на яблоках (отрицательные доли — как яблоки которые берут в кредит и дают в долг). При этом разумно сделать так, чтобы школьники сами вывели правило сложения дробей. Так можно изучать натуральные, целые и рациональные числа, что и составляет сегодня курс начальной школы по математике. При этом буквенные обозначения, на мой взгляд, следует вводить в самом начале. Обосновать это очень легко: при записи задач у нас часто повторяются словосочетания, обозначающие количество яблок у разных людей. Мы начинаем сокращать эти словосочетания и в конце концов сокращаем их до одной буквы. Вот и всё. |
| July 22nd, 2007 | |
| 05:09 pm [Link] |
Математические блоги А вот два новых небезынтересных математических блога: Secret Blogging Seminar и The Everything Seminar. И ещё один: Vivatsgasse 7. И ещё два неплохих: The Unapologetic Mathematician и Abstract Nonsense. kapahel@lj засиндикатил: sbseminar@lj, cornellmath@lj, vivatsgasse7@lj, unapologetic_m@lj, abstractnonsens@lj.
|
| July 19th, 2007 | |
| 04:06 pm [Link] |
Книги по математике Я решил откликнуться на просьбу библиотеки Эйлера и просмотрел весь список книг в разделе «Математика» каталога издательства «Мир» за 1946–1970 год. Я честно определил для каждой книги, отсканирована ли она. Все отсканированные книги я выкинул из списка, а то что осталось, предлагаю вашему вниманию. Просьба просмотреть список и сообщить мне о тех книгах, которые, на ваш взгляд, следует отканировать. (Если таких нет, то все равно сообщите мне об этом.) Собственно, сам список: ( Read more... ) |
| June 3rd, 2007 | |
| 07:37 pm [Link] |
Библиотека имени Эйлера В ознаменование 300-летия Леонарда Эйлера в Петербурге открылась библиотека имени Эйлера. Цитирую с сайта библиотеки: «Библиотека имени Эйлера — это библиотека, откликающаяся на запросы профессиональных математиков. В отличии от библиотеки Колхоза мы сканируем только действительно важные для математической деятельности книги. Однако мы не противопоставляем себя Колхозу, и довольно быстро все книги из нашей библиотеки попадают в Колхоз. Каждый может внести свой вклад в развитие библиотеки, сообщив библиотекарю о книгах, которые с его точки зрения имеет смысл отсканировать.». У библиотеки есть новости в формате Atom, они же В настоящее время библиотеке есть книги и сборник «Математика».
В частности, рекомендуется взглянуть на недавно появившиеся там выпуски 1959 года.
В ближайшее время в библиотеке появятся такие журналы, как Acta Mathematica, Inventiones Mathematicae,
Mathematische Annalen, Manuscripta Mathematica, Mathematische Zeitschrift и многие другие.
Некоторые части библиотеки, в частности журналы, будут находиться в закрытом
доступе. Для получения доступа следует обратиться ко мне в этом посте в том случае,
если я знаю вас как пользователя, и по адресу, указанному на странице библиотеки, в противном случае.
Библиотека выражает свою благодарность следующим людям:
Наверняка кого-то забыл, пишите — исправим.
Как можно помочь библиотеке?
|
| May 23rd, 2007 | |
| 01:42 am [Link] |
Тороидальные чёрные дыры http://borcherds.wordpress.com/2007/0 The complement of a toroidal black hole is not simply connected, so by taking its universal cover one gets a chain of universes which one can travel between by going though the hole in the torus. Я знал, я знал! http://dmitri-pavlov.livejournal.com/10 Когда я узнал, что такое универсальное накрытие, то первым делом придумал такой пример: если пустую комнату со столбом посередине заменить на её универсальное накрытие, то обходя вокруг столба мы попадём в другое место. |
| May 16th, 2007 | |
| 02:18 pm [Link] |
Borcherds' blog Наличие блога у Тао всем известно. А вот здесь можно увидеть только что открывшийся блог Ричарда Борчердса. kapahel@lj засиндикатил: borcherds@lj.
|
| May 14th, 2007 | |
| 03:38 am [Link] |
Итоги науки и техники Так называлась замечательная серия обзорных статей, которая издавалась ВИНИТИ с 1962 года. На самом деле, она до сих пор издаётся, правда в ничтожно малых количествах. Недавно я обнаружил на их сайте следующее заявление: В 2006 году все выпуски издания, начиная с 1962 года, были оцифрованы и переведены в формат PDF. Электронные версии можно заказать на DVD-дисках, где на одном диске собраны все выпуски одной серии. Если ткнуть в любой раздел, то обнаруживается следующее: Предоставление копий Все тома серии доступны в электронной форме (на DVD в формате PDF). Заказать диски, а также копии томов можно в Отделе маркетинга ВИНИТИ: тел./факс (495)1525492 (e-mail: market@viniti.ru) Кто-нибудь что-нибудь про это слышал? Буду рад любым комментариям. Добавление: По результатам разговора с отделом маркетинга выяснилось следующее. К отделу маркетинга никто из отдела математики по поводу распространения дисков не обращался. Поэтому в настоящее время всё находится только в стадии проекта. Добавление: На своё письмо в отдел маркетинга я получил такой ответ: «Цены на эти издания пока не утверждены.» |
| May 13th, 2007 | |
| 12:05 am [Link] |
Знатокопедия Про Википедию часто говорят, что она ненадёжна как источник информации, так как статьи пишет кто попало и они никем не реферируются. И вот результат: Знатокопедия (это я так неудачно перевёл Scholarpedia). Каждая статья имеет автора, который должен быть известен в своей области, нескольких анонимных референтов, и куратора, который одобряет (или не одобряет) все дальнейшие изменения в статье. Следит за всем этим делом редактор. В общем, всё как в обычной академической среде. Пока у них только динамические системы, но товарищи хотят в будущем охватить всю математику. |
| May 9th, 2007 | |
| 02:20 am [Link] |
Видеоконференция А. С. Лосеву требуется человек, который будет делать следующие действия за разумную и достойную плату:
Если кто-то готов этим заняться, просьба связаться со мной побыстрее. Просьба распространить эту информацию заинтересованным лицам. |
| May 8th, 2007 | |
| 01:40 am [Link] |
Математика Улучшены некоторые сканы. Во все файлы добавлены гипертекстовые ссылки в содержании. Скачать сборники можно здесь. 1958 год Выпуск 1 К. Шевалле. О некоторых простых группах. (Перевод Ю. И. Манина) У. К. Хейман. Асимптотические свойства р-листных функций. (Перевод В. В. Заруцкой) Л. Гординг. Прямое решение задачи Коши для гиперболических уравнений. (Перевод А. А. Дезина) Н. Ароншайн и К. Т. Смит. Инвариантные подпространства вполне непрерывных операторов. (Перевод Е. К. Мельниченко и Л. А. Сахновича) Р. Камерон. Обобщенное уравнение теплопроводности и соответствующая формула Пуассона. (Перевод Ю. И. Гросберга) А. Глейзал. Алгоритм для решения проблемы транспортировки. (Перевод О. И. Куклевой и М. В. Милюковой) Р. Соломонов. Машина для выводов по индукции. (Перевод И. В. Соловьева) Выпуск 2 Э. Х. Браун. Финитная вычислимость комплексов Постникова. (Перевод Б. С. Виленской) И. М. Джеймс. Надстроечные триады сфер. (Перевод Б. С. Виленской) Ф. П. Петерсон. Функциональные когомологические операции. (Перевод Б. С. Виленской) Л. Флэтто и Н. Левинсон. Периодические решения сингулярно возмущенных систем. (Перевод Д. В. Аносова) Дж. А. Шац. Представления банаховых алгебр с инволюцией. (Перевод Х. М. Когана) Ж. Дьёдонне и Л. Шварц. Двойственность в пространствах (F) и (LF). (Перевод Д. А. Райкова) Н. Бурбаки. О некоторых топологических векторных пространствах. (Перевод Д. А. Райкова) В. Феллер. Одномерные диффузионные процессы. (Перевод В. М. Алексеева) Выпуск 3 Х. Тода. Приведенные соединения и произведения Уайтхеда. (Перевод Б. С. Виленской) Х. Тода. Несуществование отображений сферы S^31 в сферу S^16 с инвариантом Хопфа, равным единице. (Перевод Б. С. Виленской) Р. К. Ганинг. Строение факторов автоморфности. (Перевод Л. А. Гутника) С. Мандельбройт. Роль арифметических свойств показателей в ряде Дирихле. (Перевод В. В. Заруцкой) Г. Бремерман. Голоморфные функционалы и комплексная выпуклость в банаховых пространствах. (Перевод Х. М. Когана) А. Гротендик. О пространствах (F) и (DF). (Перевод Д. А. Райкова) В. Гофдинг. Класс статистик с асимптотически нормальным распределением. (Перевод Н. А. Бодина) Б. Тюринг. Автоматическое программирование для электронных вычислительных машин. (Перевод И. В. Соловьева) Выпуск 4 К. Холли. О представлении целого числа в виде суммы простого и двух квадратов. (Перевод А. И. Виноградова) С. Д. Папакирьякопулос. О лемме Дена и асферичности узлов. (Перевод А. И. Савина) А. Вейль. Теория чисел и алгебраическая геометрия. (Перевод Ю. И. Манина) А. Вейль. Абстрактная алгебраическая геометрия в сравнении с классической. (Перевод Ю. И. Манина) С. Е. Варшавский. Конформное отображение бесконечных полос. (Перевод Заруцкой В. В.) Т. Като. Интегрирование эволюционного уравнения в банаховом пространстве. (Перевод Э. М. Вайсборда) Гай-Лай Шун. Исследования по теории цепей Маркова. (Перевод А. А. Темпельмана) Б. Харрис. Алгоритм для определения минимальных представлений логической функции. (Перевод И. В. Соловьева) Выпуск 5 И. М. Джеймс. О надстроечной последовательности. (Перевод Б. С. Виленской) А. Шапиро. Препятствия к вложению полиэдра в эвклидово пространство. (Перевод Б. С. Виленской) А. Гротендик. Теория Фредгольма. (Перевод С. П. Крачковского) У. Гренандер и М. Розенблатт. Некоторые задачи об оценке спектра временных рядов. (Перевод И. М. Яглома) У. Гренандер и М. Розенблатт. Статистический спектральный анализ временных рядов, возникающих из стационарных случайных процессов. (Перевод М. И. Фортус) Р. Л. Козгриф. Решение статистических задач методами теории автоматического регулирования. (Перевод И. В. Соловьева) Выпуск 6 Д. А. Берджесс. Распределение квадратичных вычетов и невычетов. (Перевод А. И. Виноградова) Н. Е. Стинрод. Когомологические операции и препятствия к продолжению непрерывных функций. (Перевод Б. С. Виленской) Дж. Серрин. О неравенстве Гарнака для линейных эллиптических уравнений. (Перевод И. В. Гирсанова) Д. Гилбарг и Дж. Серрин. Изолированные особенности решений эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка. (Перевод Л. Р. Волевича) Г. А. Хант. Случайные преобразования Фурье. (Перевод Я. Г. Синая и М. А. Федорюка) К. Кодаира и Д. К. Спенсер. Цикл статей по некоторым вопросам современной алгебраической геометрии. (Перевод А. Л. Онищика) С. П. Франкел. Логическая схема простой универсальной вычислительной машины. (Перевод И. В. Соловьева) |
| 01:40 am [Link] |
Математика Просьба сообщать мне о любых опечатках в содержании и высказывать свои пожелания по поводу сканов. Скачать сборники можно здесь. 1957 год Выпуск 1 К. Ф. Рот. Рациональные приближения алгебраических чисел. (Перевод Н. И. Фельдмана) П. Дж. Хилтон. О гомотопических группах объединений сфер. (Перевод Б. С. Виленской) К. Л. 3игель. Мероморфные функции на компактных аналитических многообразиях. (Перевод И. И. Пятецкого-Шапиро) П. Д. Лэкс. О задаче Коши для гиперболических уравнении и о дифференцируемости решений эллиптических уравнений. (Перевод А. А. Дезина) Ж. Себаштьян-и-Силва. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях. (Перевод Д. А. Райкова) К. Ито. О стохастических дифференциальных уравнениях. (Перевод Я. Г. Синая и А. Н. Ширяева) Г. Фрейденталь. Октавы, особые группы и октавная геометрия. (Перевод Б. А. Розенфельда) Выпуск 2 Дж. Нэш. С^1-изометричные вложения. (Перевод Э. Г. Позняка) Н. Кейпер. О С^1-изометричных вложениях. (Перевод Э. Г. Позняка) Х. Л. Территтин. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр. (Перевод И. С. Градштейна) Е. К. Титчмарш. Разложение по собственным функциям дифференциального уравнения с частными производными. (Перевод В. Б. Лидскоео) К. О. Фридрихс. Асимптотические явления в математической физике. (Перевод А. А. Дезина) М. Кац. О некоторых связях между теорией вероятностей и дифференциальными и интегральными уравнениями. (Перевод Е. Б. Вул и А. Н. Ширяева) Г. Маpуяма. Непрерывные марковские процессы и стохастические уравнения. (Перевод И. В. Гирсанова) Выпуск 3 И. М. Джеймс. Приведенные степени пространств. (Перевод Б. С. Виленской) Дж. Милнор. О многообразиях, гомеоморфных семимерной сфере. (Перевод А. С. Шварца) Г. О. Торин. Теоремы выпуклости. (Перевод Ю. Т. Медведева) Л. Америо. Аналитическое замкнутое многообразие, преобразуемое в себя системой дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями. (Перевод И. В. Глатёнок) Л. Гординг. Разложения по собственным функциям, связанные с эллиптическими дифференциальными операторами. (Перевод В. Э. Лянце) Л. Гординг. Об асимптотических свойствах спектральной функции самосопряженного полуограниченного расширения эллиптического дифференциального оператора. (Перевод В. Э. Лянце) Т. Ганелиус. Об остаточном члене в одной тауберовой теореме. (Перевод В. Э. Лянце) К. Ито. Стационарные случайные обобщенные процессы. (Перевод И. М. Яглома) Выпуск 4 А. 3ельберг. Гармонический анализ и дискретные группы в слабосимметрических римановых пространствах; приложения к теории рядов Дирихле. (Перевод И. И. Пятецкого-Шапиро) И. М. Джеймс. О надстроечной триаде. (Перевод Б. С. Виленской) Х. Л. Массера. К теории устойчивости. (Перевод Г. А. Каменского) В. Феллер. Параболические дифференциальные уравнения и соответствующие им полугруппы преобразований. (Перевод В. М. Алексеева) |
| May 3rd, 2007 | |
| 12:28 am [Link] |
Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей Так назывались замечательные сборники, выходившие в течении 18 лет с 1957 по 1974 год. В 1957 год вышло 4 сборника, а в каждый из оставшихся годов по 6 сборников. Часто в качестве причины закрытия сборника называют принятие СССР конвенции об охране авторских прав, однако поговаривают, что истинные причины другие. Благодаря sowa@lj, который предложил сканировать сборники,uglychamaeleon@ljу, который берёт их в библиотеке ПОМИи firun@ljу, который их сканирует,мы теперь можем наслаждаться этими сборниками в электронном виде. Скачать сборники можно здесь. Пока отсканирован второй выпуск сборников за 1958 год. Все новые сборники будут выкладываться на сайте. kapahel@lj высказал пожелание о том, чтобы я сообщал про каждое новое сканированиеотдельным постом. Но не слишком ли это будет захламлять ленту? Когда сборники будут отсканированы, мы вернёмся к книгам. А пока принимаются заказы. Между прочим, мой старый пост с книгами всё ещё обновляется. Пока планируется сканировать такие книги:
Вообще, это кому-нибудь интересно, кроме меня и sowa@lj?Пусть каждый, кто скачивает сборники, оставит комментарий. |
| April 17th, 2007 | |
| 03:32 pm [Link] |
Геометрия Аракелова и обобщённые кольца А тем временем Н. Дуров, чей замечательный, кристально ясный доклад я имел удовольствие слушать в январе, уже написал и опубликовал 568-страничную книгу на эту же тему. Если совсем вкратце резюмировать содержание доклада, то одной из целей является построение геометрии Аракелова чисто алгебраическими методами. При попытке это сделать возникают обобщённые кольца и схемы, которые вбирают в себя не только компактификацию спектра кольца целых чисел (которая состоит не только из ультраметрических, но ещё и из архимедова нормирования), но также и много других структур, вроде тропических чисел и поля из одного элемента. На обобщённые кольца переносится значительная часть алгебраической геометрии. Обобщённые кольца позволяют определить кольцо нормирования для архимедова нормирования (то есть аналог целых p-адических чисел для случая обычного абсолютного значения на рациональных числах), и много чего другого. Что интересно, в процессе построения теории возникают банаховы метрики (линейные гомоморфизмы, не увеличивающие метрику, образуют максимальный компактный подмоноид в моноиде гомоморфизмов). Книжка, как я вижу из содержания, посвящена этому и многому другому. Во время доклада С. В. Дужин сказал, что мы наблюдаем революцию в математике. Очень даже может быть, что и так. Остаётся ждать, когда из этой теории посыплются, как из рога изобилия, замечательные результаты. |
| February 6th, 2007 | |
| 01:45 am [Link] |
Книги По предложению
Звёздочкой помечены книги, полученные из других источников. Двумя звёздочками помечены книги, сканы которых получены из других источников. Все книги можно скачать здесь. Там же можно найти регулярно обновляемый список книг. Если нужна какая-нибудь книга по математике, пишите — вдруг она у меня есть, а если её у меня нет, то, возможно, она есть в библиотеке ПОМИ. Альтернативный хостинг для книг. (Из-за русских букв следует пользоваться клиентом, поддерживающим новый стандарт FTP, описанный в RFC 2640 1999 года.) |
| January 18th, 2007 | |
| 06:45 pm [Link] |
Теория письма Сразу скажу, что излагаемое мною ниже кажется мне настолько простым, что я уверен, что нечто подобное уже было придумано кем-нибудь раньше. Было бы замечательно, если кто-то сможет дать ссылку. В начале сентября я задумался над тем, почему мы пишем так, а не иначе. Я имею ввиду наш алфавит и способ его написания. Например, русская буква «А» взята из греческого, в котором она называлась «альфа». Финикийцы, у которых греки позаимствовали эту букву, рисовали её повёрнутой на прямой угол против часовой стрелки относительно её нынешнего положения и называли её алеф, что переводится как бык. Само написание буквы напоминало голову быка. Точно такая же ситуация имеет место для многих других букв — например, буква «Д» в финикийском называлась далет, что переводится как палатка, а написание буквы напоминало треугольный вход в палатку. Этим начертания существуют более трёх тысяч лет, и на их основе были созаданы алфавиты греческого и арабского языков, иврита, а также другие алфавиты на их основе, использовавшиеся в столь отдалённых областях, как Монголия. Финикийский язык уже мёртв полторы тысячи лет, а буквы его остались с нами по историческим причинам. (Я не специалист по древним письменностям, поэтому в вышеприведённом очерке наверняка есть ошибки.) Мне стало интересно, а каким мог бы быть алфавит, если бы нам пришлось создавать его с нуля, не опираясь на ранее созданные алфавиты. Я решил исходить из того, что алфавит должен быть удобным при рукописном написании. Будем считать, что мы рисуем линии на ровной твёрдой поверхности пером нулевой толщины, не отрывая его от бумаги. Какие вообще линии мы можем нарисовать? Видимо, следует принять, что положение пера должно быть непрерывно дифференцируемой функцией из [0, 1] в плоскость, что следует хотя бы из существования ускорения. Что ещё? Ясно, что человек — не робот, и не может провести линию точно через заданную точку. Поэтому мы должны исключить тройные самопересечения, равно как и совпадение начальной или конечной точки с какой-то другой точкой. Далее, человек не робот и не в состоянии держать свою руку неподвижно — наши мышцы всегда дрожат, хотя бы чуть-чуть. Поэтому скорость пера всегда должна быть отлична от нуля. (Если кто-то несогласен с этим предположением, то он может прочесть ниже возможный вариант разрешения этой трудности.) Суммируя сказанное, можно сказать, что человек умеет рисовать только иммерсии общего положения отрезка в плоскость. Такие отображения мы будем называть линиями. Заметим, что если к линии прибавить достаточно малую (в равномерной норме по функции и её производной) непрерывно дифференцируемую функцию, то мы снова получим линию. Вряд ли мы хотим считать различными линии, которые можно получить друг из друга непрерывной деформацией. Поэтому назовём две линии эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую непрерывно дифференцируемой гомотопией в классе линий. (Здесь, кстати, надо отметить, что линии ориентированные, и это правильно, как мы увидим ниже.) Я утверждаю, что человек в состоянии нарисовать представителя любого класса эквивалентности по указанному выше отношению. Действительно, для этого не надо совершать никаких «тонких» действий, а надо лишь «грубо» начертить линию. В дальнейшем я не различаю линию и её класс эквивалентности. Как это применить к письменности? Мы хотим писать слова, не отрывая перо от бумаги. Слова состоят из букв. Мы должны иметь возможность составить слово из произвольной последовательности букв, приписывая их рядом. Определим операцию соединения линий также, как композицию классов петель в фундаментальной группе: новое отображение отрезка в плоскость будет совпадать с первым отображением на своей первой половине и со вторым — на второй половине. При этом надо выбрать представителей классов эквивалентности так, чтобы результирующее отображение было линией, и при этом не возникло бы новых точек пересечения. При этих условиях операция соединения определяется однозначно. Легко видеть, что мы получили некоммутативный моноид. Роль нейтрального элемента играет вложение отрезка в плоскость. Это вложение мы будем называть тривиальной линией. Заметим, что если мы хотим соединять буквы привычным нам образом, то начало и конец линии буквы должны находиться в некомпактной компоненте связности — иначе нам придётся вписывать одну букву внутрь другой. Будем называть такие линии внешними. Не важдый набор внешних линий можно использовать в качестве алфавита. Необходимо избежать неоднозначности при разборе линий на составные части. Заметим, что любая внешняя линия однозначно представляется в виде соединения нетривиальных линий, каждую из которых нельзя разложить в соединения двух нетривильных линий. Такие линии будем называть простыми. Простых линий счётное число. Теперь легко понять, что моноид линий — это свободный моноид с однозначно определённым набором образующих, которыми являются простые линии. Поэтому естественно в качестве алфавита взять простые линии. Мы получаем неограниченный запас букв на все случаи жизни. Буквы естественным образом классифицируются по количеству точек самопересечения. Заметим, что зеркальная симметрия буквы даёт другую букву с тем же число точек самопересечения. На рисунке представлены буквы с 1, 2 и 3 точками самопересечения, при этом зеркально-симметричные буквы опущены. Левая концевая точка начальная, правая — конечная. Отметим, что в списке есть буквы, отличающиеся только ориентацией.  Ясно, что теорию можно обобщать, допуская, например изломы. На этом пути, по-видимому, можно получить решение указанной выше проблемы нулевой скорости. Немаловажное практическое замечание: как легко видеть на рисунке, наиболее частым элементом является простая петля. На практике такие петли можно было бы заменить изломами (с разными касательными прямыми слева и справа и требованием оставаться в этом классе при гомотопии). Если кому-нибудь это интересно, можно попробовать составить алфавит для русского языка и записать на нём что-нибудь. |
| January 1st, 2007 | |
| 06:36 pm [Link] |
Жизнь-вне-Питера-и-Москвы Прекрасный отчёт о поездке из Питера во Владивосток. Особенно интересно описание жизни-вне-Питера-и-Москвы. Таких фактов никогда не увидишь по 5 каналу, якобы нацеленному на регионы. |