Leonard Cohen
Songs of Leonard Cohen
жанр: Фолк нуар
год: 1967

Удивительно, но только сейчас я заметил, что этот альбом должен был значительно повлиять на готическую группу «The Sister of Mercy». Тут собственно есть такой трек «Sisters of Mercy», а в другом треке «Teachers» поется «Some Girls wander by mistake». И действительно, если сеттинг этого альбома не готичен, то он как минимум меланхоличен. И этот сеттинг — это все больничные палаты и лазареты.

Все песни тут отличные или около того. И как положено для фолка тут важнна лирика, поэтому будем ее разбирать: Suzanne — это конечно шлягер шлягером. Это как бы и романтическая песня, и про религиозное «Иисус тоже был мотросом, когда ходил по водам, И он долго смотрел из своей одинокой деревянной башни, пок он не был уверен, только те, кто тонут, могут его видет. И тогда сказал он: "Пусть все люди будут матроссами, пока море не освободит их"». Но он сам уже был сломан, задолго до того как небеса резверзлист, покинутый, почти человек. Он утанул в твоей мудрости как камень.»
Masters song — Это уже более мрачная песня. Одна из более интересных на этом альбоме. Официально считается, что это песня про секс,оргазмы и сору любовников. Но давайте разберем ее строка за строкой:

Я думаю, ты слышал как твой хозяин поет,
— пока не понятно, что это значит, но звучит очень интригующе
Но я лежал больной,
— опять пошла тема больничных палат и лазаретов
Я думаю, он тебе все рассказал,
Что я держал закрытым у себя в голове.
— Опять звучит интригуеще.
Твой хозяин брал тебя путешествовавть,
Ну так ты сама сказалa,
А теперь ты вернулась,
чтобы принести своему узнику хлеб и вино
— смешивается религиозное и тюремное, хлеб и вино нужны для причастия. Кажется, что лирический герой сам узник. Или кто тогда узник?

Ты встретила его в каком-то храме
— Хозяин может быть масонским градусом «мастер» а слово «храм» может быть указанием на масонскую или оккульную ложу
Где с тебя снимают одежду при входе
— Это может быть указание на конретную ложу нудистов, где практикуют дикую сексуальную магию
Он был бесчисленным мужчиной на стул,
Что недавно вернулся с войны,
— Это похоже на аллюзию на Рона Хаббарда. Что значит бесчисленный мужчина, я не знаю.
И ты обернула его усталое лицо в твои волосы,
И он дал тебе сердцевину яблока,
А потом он трогал твои губы, которые так внезапно чисты,
От всех наших недавних поцелуев
— то есть это все таки про секс.

И он дал тебе немецкую овчарку, чтобы ее водить
В ошейнике из кожи и гвоздей
— теперь это похоже на Церковь Процесс.
И он никогда не требовал говорить или объясняться,
Обо всех незначительных нюансах,
У кого было слово, и у кого был камень,
И с кем велась переписка,
Теперь твоя любовь — секрет всего района,
И она не кончается, даже когда твой хозяин не может.
— Непонятно, что секртет, а что нет. В последней строчке может иметься в виду импотенция. «У кого было слово, и у кого был камень,» — а это наверное отссылка к БДСМ-практам типа «cтоп-слоао», а камнем в старину называли анальную пробку.

И он взял тебя в свой аэроплна,
Который он пилотировал без рук,
И вы пролетали над лентами дождя,
Прогонявшими толпы со смотровых площядок.
— ясно, что тут речь идет о магии. Потом он убил свет в одинокой алее,
И человекоподобная обезьяна с гландами ангела
Стерла последнии клочья боли
Музыкой резинок
— поется о темной магии, возможно, инвокации демонов. Музыка резинок может быть музыкой презервативов. Но топологию раньше неформально называли «geometry of rubber bands». Поэтому тут может упоминаться тайная топологическая музыка. То есть призвание в себя демона с помощью тайной топологической музыки.

И теперь я слышу, твой хозяин поет,
Ты встаешь на колени, чтбы он пришел (кончил),
— cчитается, что это аллюзия на оральный секс. Его тело — золотая цепь,
С которой свисает твое тело.
Его тело — золотая цепь,
А мое тело онемело
— описание серьезной сексуальной магии. О, теперь ты слышишь как твой хозяин поет,
Твоя рубашка растегивается.
— это определенно про секс.

И ты встанешь на колени
Перед той кроватью, что мы полировали давно
— это про секс. Пока твой хозяин не решил
Сделать моей кроватью сугроб?
— речь о каком-то заговоре. Твои глаза дики и красны кулаки
И ты говоришь слишком низко
— описание серьезной сексуальной магии. Нет, я не могу разобрать, что сказал твой хозяин,
Прежде чем он заставил тебя уйти.

И ты встанешь на колени
Перед той кроватью, что мы полировали давно
— это про секс. Пока твой хозяин не решил
Сделать моей кроватью сугроб?
— речь о каком-то заговоре. Твои глаза дики и красны кулаки
И ты говоришь слишком низко
— описание серьезной сексуальной магии.
Нет, я не могу разобрать, что сказал твой хозяин,
Прежде чем он заставил тебя уйти.

И мы играем слишком жестко,
Для леди, что были на луне
— путешествие на Луну — важный оккультный ритуал. Я слишком долго лежал у этого окна,
Чтобы привыкнуть у пустой комнате,
И твоя любовь — это пыль на манжетах старика,
Который стучит ногой в такт мелодии
И твои бедра — руины, ты хочешь слишком много
— да руины от частого анального секса.
Предположим, ты бы пришла раньше

Я любил твоего хозяина абсолюто,
И я научил его всему, что он знал
— все оказывается не так просто!
Он изголодался по глубокой тайне
Как человек, который был уверен в своей истине.
— Мы видим эпистемологическую сторону конфликта
И я послал ему тебя с гарантией,
Что я научу ему чему-то новому
И я научил его, что ты будешь скучать по мне,
Чтобы он не говорил, чтобы ты не делала.
— То есть лирический герой сам все организовал, потому что он был хозяином хозяина.

Я любил твоего хозяина абсолюто,
И я научил его всему, что он знал
— все оказывается не так просто!
Он изголодался по глубокой тайне
Как человек, который был уверен в своей истине.
— Мы видим эпистемологическую сторону конфликта
И я послал ему тебя с гарантией,
Что я научу ему чему-то новому
И я научил его, что ты будешь скучать по мне,
Чтобы он не говорил, чтобы ты не делала.
— То есть лирический герой сам все организовал, потому что он был хозяином хозяина.

....

Winter Lady — еще одна мелонхоличная песня про ветренную девушку
The Stranger Song — еще одна меланхоличная печня про мужчину, который бросает женщину с наебышем, или нет?
Sisters of Mercy — cпокойная песня про больничную палату, возможно, продалжает предыдущую по смыслу
So Long, Marianne — еще одна меланхоличная песня, но эта не очень печальная и кажется более попсовая.
Hey, That's No Way to Say Goodbye — Это еще одна более простая мелонхоличная песня.
Stories of the Street — а это уже более драматичная песня. Звук гитары ближе к Фламенко. Скорее всего она о кубинской Революции:

Истории улицы мои, Испанские голоса смеются
Кадилаки ползут сквозь ночь и ядовитый газ
И я сижу на подоконнике в этом старом отеле, который я выбрал
Да, одна рука на моем суициде, другая на розе

Я знаю, ты слышал, что все кончено, война неминуемо гредет,
Города надломлены пополам, и все посередники ушли
— Леонард Коэн использует слова «middle men», которые можно прочитать и как «посредники?raquo;, и как «средние люди, середняки».
Ну позволь спросить тебя еще раз, о, сумерек дитя,
— Лирический герой разговаривает с демоном или с прституткой.
Все те охотники, кто визжат сейчас, о, они это о нас?

Куда ведут эти шоссе, когда мы теперь свободны?
Почему армии что шли ко мне домой марщируют на месте?
О, леди с такими изяшными ногами, о, незнакомец на колесе,
Ты замнкнут в своих страданиях и удовольствие твоя печать.

Эпоха страсти родила, и оба родителя просят Медсестру им сказку рассказать на обоих сторонах стекла — Опять медицинская тема
И теперь рабенка как змей воздушный волочат за трос Один его глаз весь в чертежах, другой заполняет ночь.

Пощли со мной, мой маленький, мы найдем ту ферму, И вырастим нам травы и яблок там и будем держать всех животных в тепле, И если вдруг я проснусь в ночи, и спрошу тебя, кто я, То ты меня на бойню отведи, я с агнецом там подожду

С одной рукой на гексограмме, с другой на девушке, — видите, это про оккультизм!
Я балансирую над колодцем желаний, который все люди зовут миром, Мы так малы для звезд, так велики для небес, И среди толп в Метро, я попробую поймать твой взгляд.

***

Teachers — еще одна песня в духе Фламенко. Тут простая лирика с элементами абсурда, превращающее все в какое-то горячечное видение. Наверное это моя любимая песня в альбоме: Я встретил женщину давно
Волосы чернее черного ее
Учитель сердца ль ты?
Мягко она ответила, что нет.

Я встретил заморскую красу
Волосы златее золота ее
Учитель сердца ль ты?
Да, но не твоего.

Я встретил того, кто разум потерял,
И где — забыл, а мне искать,
«Давай за мной» — cказал мудрец,
но он последовал за мной.
— оригинальная игра в нарушения логики.

И так в больницу я пришел,
где никто не болен, да никто и не здоров,
Когда ушел ночью медпероснал,
— В оригинале речь именно о медсестрах, что перекликается с другими песнями на этом альбоме. Опять больничная тема.
Не смог я сам стоять.
— Я понял это так, что это отссылка к тому, что лирический герой был младенцем в этом эпизоде. И я думаю что эта больница это роддом. А прошлые куплеты описывают опыт сушествования до рождения.

Настало утро а затем полдень,
Время обеда, и скалпель
Лежал рядом с серебрянной ложкой.

Некоторые девушки забредают ненароком
В беду, что делает скалпель.
Учитель сердца ль ты?
Мы учитым разбиваться старые сердца!
— Вот это то самое «Some girls wander by mistake». Cчитается, что эти строки про аборт. Но я думаю, что с точки зрения современного развития медецины — это может быть и не аборт, а плстическая хирургия, или просто кесарево сечение. Это может быть и отсылка к «потеряному раю» Мильтона. Потому что когда Мильтон описывает встречу Еву со змеем он тоже использует глагол «wander».

Однажды я один проснулся
Не больницы, не сестер.
Достаточно ли резали меня, Господь?
Дитя — ты кость!
— Я так понимаю, имеется в виду, что резали скалпелем. «Резанье» — это метафора совершенстования. «Дитя — ты кость!» означает, что человек — это потенциал для совершенствования. Но мне эта строчка звучала как «Child, you are born!», то есть «дитя ты рождено».

Я ел, и ел, и ел
Нет, тарелки я не пропускал, ну
— типичное поведение для младенца. Скольк стоят обеды си?
Заплатим ненавистью мы!
— подросток чувствует ресантимент по отношению к своему окружению.

Я ненавистью везде платил
на всех работах лицам всем.
Кто-то дал мне желание,
И я пожалал объятия.
— подросток начинает интересоваться сексом.

Несколько девушек обняли, тогда
Мужчины приняли меня.
— эти строки звучат очень гомо-эротично для меня.
Моя страсть превосходна?
Нет, тогда нужно повторить.

Я был красив, я был силен,
Я знал слова всех песен.
Тебе нравится мое пение?
Нет, слова что ты поешь не те.

К кому я обрашаюсь?
Кто запишет мою исповедь?
Вы учители сердца моего?
Мы учим старые сердца отдыхать.

О, учителя, выучины ль мои уроки?
Я не мог начать еше один
Они смеялись и смеялись и сказали, ну, дить
Выучил ли ты свои уроки?
Выучил ли ты свои уроки?
Выучил ли ты свои уроки?
— Мне кажется эта песня про то как душа реинкарнирует на земле и ищет некое кармическое искупление, но не находит.

***

One of Us Cannot Be Wrong — еще одна плаксивая песня про сору любовников. Правда эта с мроничным юмором

The Chocolate Watchband
The Inner Mystique<
жанр: психоделический рок
год: 1968

Это просто очень магический психодел. Начало альбома просто протрасающее. В конце есть немного раздражающие песни правда. У этой группы есть еще первый альбом, который я не слушал. Нужно не забыть послушать. Трэки

Voyage Of The Trieste — Альбом открывается совершено магической инструментальной секцией с духовым инструментом (может быть это саксафон или скорее прокаченная флейта)
In The Past — волшебная инструментальная секция как-бы продолжается, но теперь преобретает нобычную ритмическую фому похожую на бег кролика с прыжком. К ней добавляется никого не оскорбляющий вокал. Но лирику тут довольно незатейливая.
Inner Mystique — Главный трек альбома. Это задумчивая инструментальной мелодия сто странными звуками на фоне, типа эмбианта.
I'm Not Like Everybody Else — качевый трек, где рефреном повторяется «Я не хочу быть таким как все!» Он одновремено и контрастирует с прошлым треком. И благодаря нему максималистское послание получает како-то основание и перестает звучать совсем глуппым и подростковым. Ковер песни группы »Kinks».
Medication — милая романтическая песенка c захватываюшей разум мелодией.
Let's Go, Let's Go, Let's Go — Вот это та самая раздражающая песня. Рок-н-ролл с идиотским «cмешным» вокалом
Baby Blue — Трек открывается волшебной мелодией на духовых, которая потом возвращается рефреном во всем треке. Вокал и лирика сладкие, но не притарные. Кажется, это может быть такой закос под Дилана. Потому что это ковер на Боба Дилана.
I Ain't No Miracle Worker — норм рочок. Прикольный проигрыщь на гитаре.

Vanila Fudge
Renissance
жанр: Прогрессивный рок
год: 1968

Я добавил этот альбом из-за одного трека. Но остальные треки тут тоже отличные. Vanila Fudge — группа, которая прославилась тем, что делала прогрессивные ремейки популярных песен. Но в этом альбоме есть и оригинальные песни. Тем не менее я его отобрал имеено из-за ремейка Песни Донована «Season of the Witch». Тут эта песня стала по настоящему стращной. И это за долго (1 год) до Black Sabbath. Трэки:

The Sky Cried - When I Was A Boy — Трек с длинным инструментальным разгоном, тяжелой и быстрой рычащей гитарой, и эмоциональным вокалом с катарсическими брейк даунами cо звуками дождя, которые происходят каждый раз, когда вокалист произносит «and the sky cried ». В конце начинается, совсем другой пафосный вокал, который поет « When I Was A little boy, I cried for you!». И песня заканчивается практически плачем всех инструментов.</b> Thoughts — cложный драматичный прогрессивный трек с двумя вокальными партиями, как-бы ведущими ментальный диалог, и ангельским хором на фоне.
Paradise — трек открывается зловещим таинственным вступлением на электрооргане. Потом это всттупление постепенно переходит в распевающийся хор ангелов. После чего трек взрывается в нечто прогрессивное. А копелло брейкдаун. Более спокойный, благородный рок. Хоровое пение ангелов. Снова взрыв прогрессивного рока.
That's What Makes A Man — Трек начинается как более агрессивный маршевый прог, но это обман. Начинается пенье фальцетом. С этим, женственным вокалом, который пытается быть полностью гендерно нейтральным борется другой, мужественный, который поет, что нужно быть мужчиной. Эта борьба делает этот трек более джазовым.
. The Spell That Comes After — Этот трек открывается мимнималистичной партией и пением без слов. Потом звучит бласт бит. И начинается рок. И начинает звучать рок с драматичным вокалом, который поет балладу о заклятии. Часть этого трека звучит почти как соул. Это ковер на трек Эзры Мохавка
Faceless People — После тревожного вступления мы слышим очень инетересное соло на гитаре. Потом появляется грусный вокал, который жалуется, что его заебали безликие люди, которых он не может понять. Но они сидят в его комнатие и постоянно ходят за ним.
Season Of The Witch — Тот самый эпичный ковер на песню Донована. Действительно попытка записать страшный трек с причитаниями «help me» и «oh, no!», брейкдаунами с вставками из фильмов ужасов. Целых 9 минут таких причетаний под медленную напряженную музыку.
.

Ultimate Spinache
Behold & See
жанр: психоделический рок
год: 1968

Это прям очень хороший психоделический рок. Там тоже есть первый альбом. Надо не забыть его послушать дальше. В отличие от группы Chocolate Watchband, которая создавала необычный звук за счет того, что у нее была флейта на сцене, Ultimate Spinach cоздавал действительно сложные и интересные треки. Многие в этом альбоме по продолжительности подходят к 10 минутам. Вот эти трэки:

Gilded Lamp Of The Cosmos — Открывающий трек. Типичный психоделический трек. Присутсствует мужской вокал и женский вокал в стиле Джеферсонн Эирплэйн. Мужской вокал поет олну и ту же фразу: «Behold and See». Это прям как иди и смотри.
Visions Of Your Reality — этот трек открывается более меланхолично. И таким и остается c красивой поэтичной романтичной лирикой.
Jazz Thing — Подвижная «cool-джазовая» городская мелодия и кажется, что это лирика о ветрянной девушке, которой сдуло ветром мозг. Но потом оказывается, что это эпик о духовном восхождении и посике просветления.
Mind Flowers — Это просто архитепический психоделический эпик. Начинается со спокойной музыки. И голос вокалиста тянет «Mind Flowers» почти как будийские монахи тянут «Оооммм», и приглашает слушателя в ментальное путешествие. Но потом словно гром ударяет дистортнутая гитара и слышен крик о жертвопринощении. Начинается длинный инструментальный проигрыш, оставляющий слушателя на едине с его мыслями. Потом слушатель слышит инструкции для глубинной медитации. Он очищен. Конец трека повторяет его начало.
Where You're At — Более быстрый расторможенный трек с женским вокалом в стиле Джеферсон Аирплэйнс. Трек про осуждение какого-то Нарцисса или «Психопата».
Suite: Genesis Of Beauty (In Four Parts) Очень красивый «прогрессивный» трек, состояший из разных фрагментов. Есть даже фрагмент из по сути симуляции органной музыки! —
Fifth Horseman Of The Apocalypse — Интересно структурированное инструментальное произведение с ускоряющимся и замедляющимся темпом. Пятая шестая часть почему-то превращается в баррочную гармонию.
Fragmentary March Of Green — Юмористический абсурдистский в стиле Алисы в Стране Чудес. И все это под какой-то баррочный вальс. Тут можно привести всю лирику, такая она смешная:

Я в банке печенья
Играю на галечном рогу,
И жду конный трамвай.

У меня очень хорошая работа,
Я считаю всех летчих рыб,
И заставляю их платить за развлечения,
И отправляю их детей в школу.

Ты должен хорошо себя вести,
Ты должен преуспеть,
Ты должен хорошо себя вести,
Ты должен преуспеть,
Ты должен хорошо себя вести,
Ты должен преуспеть,
Потому что!
Потому что!

У него мазоль в мозгу,
От думанья как развеститьс с женой,
И отослать детей в лагерь.
Он должен пить много молока,
И принимать таблеток фунт .
Он хотел бы посмотреть эту ночь,
Но возможно его эго сошло с ума.

ррр Ты должен хорошо себя вести,
Ты должен преуспеть,
Ты должен хорошо себя вести,
Ты должен преуспеть,
Ты должен хорошо себя вести,
Ты должен преуспеть,
Потому что!
Потому что!

Ты новый императорский наряд,
И никто не знает, что ты полон дыр,
И он тоже, так как тебя оставил,
Нам лучше сдать его в бюро находок.

ррр Мне все равно, меня не поймают!
Мне все равно, меня не поймают!
Мне все равно, меня не поймают!
Позвольте мне быть!
Позвольте мне быть!

Я не играю с воздушными шарами,
Потому что они все время лопаются,
И жвачка застревает в волосах.

Его жена вешает его всегда,
И говорит своим друзьям по бриджу как он слаб,
Его дети все время бьют его по голени,
Это награда за то, что резал глотки,
Так он добился успеха,
И получил собственный рабочий стол.
Так он добился успеха,
И получил собственный рабочий стол.
Так он добился успеха,
И получил собственный рабочий стол.
Он был....
Он был...

Безумие!
Реальность!
Безумие!
Реальность!
Безумие!
Реальность!
Восклицания о безумии и реальности — отличное завершение для этого альбома.

The Soft Machine
Soft Machine
жанр: Джаз-рок
год: 1968

Это тоже альбом, который я раньше уже слушал. Но только теперь я оценил насколько он был иновационным для своего времени. Ни на что не похож из того времени.

Группа и альбом очевидно связаны с Берроузом. Про нее рассказывают такую байку. Однажды дэвид Алэн пришел к гости к Берроузу. А тот говорит ему, выбирай, либо я прямо сейчас тебя выебу, либо ты создашь крутую рок-группу. И тогда Дэвид Аллен создал группу Soft Machine.

MC5
Kick out the jams
жанр: Психоделический рок, панк
год: 1968

Очень необычная групп. В каких-то моментах психоделическая, а в каких-то моментах очень шумная, грязная и политически заряженная. По сути дела — это панк. Это концертник. И как я понял MC5 можно слушать в основном концертами.

Отметли ради трека «Starship». Звучит как что-то от группы Hawkwind. Но был записан заметно раньше.

Главная идея тут в том, что открытые множества — это полуразрешимые утверждения. Это значит, что если элемент лежит в открытом множестве, то это можно подтвердить за конечное число вычислений, но если он не принадлежит этому открытому множеству то необязательно это можно опровергнуть за конечное число вычислений. Например, возьмем открытый интервал (0, 1) и число с десятичной записью 0.(9). Тогда, прочтя только конечное число цифр нельзя сделать вывод о принадлежности этого числа интервала. С другой стороны, у любого числа в интервале (0,1) будет десятичная запись с нулевой целой частью, и хотя бы одно не-девяткой дальше. Открытозамкнутые множества — это соответственно разрешимые (вычислимые) утверждения. Важность пространств Стоуна проистекает из того, что их топологии полностью порождены открыто замкнутыми множествами, то есть любое полурарзрешимое утверждение приближается разрешимыми снизу.

Викерс замечает, что для торологии естественными являются не все логические операции, а только конечные конъюнкции и произвольные дизъюнкции. Он называют такую логику логикой конечных (эмперических) наблюдений. При этом можно выделить афирмативные и рефьютативные высказывания. Афирмативные высказывания это ровно те утверждения, которые можно подтвердить за конечное время тогда ил только тогда, когда они верны. То есть это открытые множества. А рефьютативные — это соответственно замкнутые. В этом месте Викерс ссылается на Карла Поппера, который утверждал, что любая теория, чтобы быть научной, должна быть рефьютативной. Вот так мы нашли мостик между функциональным программированием и философией науки Карла Поппера. А еще это мостик к теории топосов! Потому что эта логика называется пропозиционной геометрической логики, и это часть геометрической логики первого порядка, логики топосов!

Главный модельный пример в этой книге это логика потоков битов. Эта логика порождается утверждениями типа в потоке не менее «n битов и бит номер n имеет значение 0» или «n битов и бит номер n имеет значение 0». В итоге получается топология множества последовательностей нулей и единиц, возможно пустых, возможно счетно-бесконечных. Там есть естественный порядок типа «продолжает». Эта конструкция называется Системой Кана или пространством Кана.

Кстати, Викерс активно использует бессмысленную, бесточечную топологию. Но чтобы сбалансировать точечный и бесточечный взгляд, Викерс вводит новую структуру, которую называет топологической системой. Топологическая система состоит из множества точек, моделей или программ, фрейма (пропозиционной геометрической логики) формальных открытых элементов, наблюдений, измерений или теорий, и бинарного отношения между ними типа «возможно при наблюдении» или " моделирует теорию» с аксиомами похожими на аксиомы топологии. В случае обычных топологических пространств, это бинарное отношение соответствует принадлежности точки множеству. Но, например, для топологии Кана, вместо потомков битов в качестве обобщенных точек можно брать программы, которые их выводят. Тогда существуют различные программы, которые выводят одинаковые последовательности бит.

Для формальных точек топологической системы можно ввести предпорядок, который называется порядком специализации. Одна точка является специализацией другой точки, если эта точка возможна при любом наблюдении, при котором возможна первая точка. В системе Кана это ровным счетом и есть отношение «продолжает». Этот предпорядок будет частичным порядком если выполняется аксиома отделимости Т0. Но хаусдорффовых систем порядок специализации всегда тривиальный. Поэтому далее Викерс концентрируется на не-хаусдорфовых системах с отделимостью Т0. Для упорядоченного множества можно ввести топологию Скотта, состоящая из замкнутых вверх множеств, недостижимых для направленных объединений. Встает вопрос: в каких топологических системах топология скота отношения специализации соответствует исходной? Вначале Викерс определяет когерентные системы, как системы, топология в которых порождена компактными открытыми множествами. Это то же самое, что фреймы в алгебраической презентации которых нет бесконечных дизъюнкций. Или что топология устроена как множество идеалов дистрибьютивной решетки. Алгебраическими называются когерентные топологические системы, в которых любой компактный открытый представляется как конечное произведение ко-простых компактных открытых. Алгебраические топологические системы — это именно те системы, топология которых — топология Скотта порядка специализации их точек. То, есть для таких структур нет разницы думать о них как о топологических пространствах или как об упорядоченных пространствах. Мне не очень нравится термин «алгебраический», кажется, что лучше было бы называть такие системы атомарными или целостными. Понятно, что все бесконечные пространства геометрии и анализы не будут алгебраическими в этом смысле. Но алгебраической будет, например, система Кана.

Эти особые алгебраические системы являются предметом теории доменов. Теория доменов пытается найти методы формального анализа компьютерных программ, основанных на моделировании пространства компьютерных программ как топологического пространства. Основная идея в том, чтобы смоделировать это пространство как такое компактное топологическое пространство, что множество его автоморфизмов с открыто-замкнутой топологией вкладывается в него самого. На первый взгляд звучит весьма дико. Но, опять рассмотрим систему Кана. Ее автоморфизмы будут вычислимыми функциями, и можно представить, что каждая из них задается программой, которая в свою очередь записывается как конечная последовательность бит и так вкладывается в пространство Кана. И, наверное, это будет непрерывно. У этого есть несколько следствий. Во первых благодаря компактности у каждой программы будет неподвижная точка. Это ведет к идеи комбинаторов в функциональном программировании. То есть, если и не сама эта книга, то связанное с ней направление мысли повлияло на современные функциональные языки программирования типа Хаскелла и Раста. Во вторых значит, что программы могут принимать на вход другие программы и выдавать другие программы. В целом я не очень глубоко углублялся в эту тему. Викерс идет тут намного глубже и обсуждает домены множеств, что имеет определенное сродство с идеей пространства компактных подмножеств с метрикой Хаусдорффа в обычной топологии. Нужно сказать, что после выхода этой книги теория доменов активно развивалась. Появилась синтетическая теория доменов, которая активно использует теорию топосов.

В последней главе Викерс обсуждает связи с абстрактной алгеброй. Это не просто так, потому что спектральные пространства алгебраической геометрии обычно тоже когерентные и не Хаусдорфовы. Есть теорема Хохстера о том, что любое компактное когерентное пространство является спектром коммутативного кольца. И мы встречаем обычные определения спектров Зарисского и Пирса. Мы уже видели, что эти пространства будут когерентными и компактными. И любое когерентное компактное пространство будет спектром Зарисского какого-то коммутативного кольца. Интересно, когда спектр Зарисского будет алгебраическим в вышеприведенном смысле. Интересно, когда спектра Зарисского будет алгебраическим в приведенным выше смысле? Наверное, если кольцо является Артиновым. Но Викерс идет дальше, и рассказывает про матричный спектр Конна для некоммутативного кольца. Я так понял проблема с этим спектром в том, что он не функтореален. И там нельзя также легко перейти от некоммутативных колец к окольцованным пространствам. Но в целом я не очень понимаю зачем Викерса про это пишет после теории доменов?

Current Mood: sore