Все более (и даже менее) разумные утверждения
про измеримость доказываются без аксиомы выбора.
Поэтому ответ на вопрос положительный.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

сомнительное утверждение. мало ли где встретятся базисы Гамеля. впрочем к вопросу о преподавании широких интегралов в общем курсе скорее подходит.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Базисы Гамеля, равно как и неизмеримые множества
используются только для построения контрпримеров
(никому не нужных).

(Reply to this) (Parent)

В целом да, но той версии аксиомы выбора не хватает для теоремы Хана-Банаха - а то бы все так и пользовались этой моделью. Вообще говоря, теорема ХБ часто применяется к пространствам измеримых функций, так что это не вполне верно. Но по сути конечно неизмеримые множества еще ни разу никому не помогли, насколько мне известно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Счастливые вы всё-таки люди. Выбираете аксиоматики по соображениям удобства, а не соответствия реальности. Мне бы так :-((

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так присоединяйтесь :-))

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Богородица не велит :-((

(Reply to this) (Parent)

Что есть реальность в применении к математике?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В применении к той математике, которая наука — в том, что два паровоза, сложенные с двумя паровозами, суть четыре паровоза. В применении же к той математике, которая есть не наука, а весёлая игра в получение бессмысленных "теорем" средствами высосанных из пальца формальных теорий — тут да, никакой реальности действительно нет и быть не может. Но лично меня такая горе-математика не интересует (не меня одного, впрочем: в Ваших местах аналогичные случаи тоже описаны — Шанин, например).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если упоминается Шанин, то видимо, имеется ввиду
конструктивная математика.
Мне не понятно, почему конструктивная математика может
претендовать на большее отношение к реальности, чем
классическая. Кажется, единственный способ проверки
отношения математики к реальности, который
пока изобрели — её применение в физике (в остальных
науках применения крайне элементарные).
Физики успешно создали общую теорию относительности,
квантовую механику, и сейчас создают теорию струн
при помощи классической математики, притом в теории
струн используется крайне нетривиальные топологические
и геометрические методы, и, кажется, пока у физиков
с этим проблем не возникло.
То есть если в какой-то момент физики обнаружат,
что конструктивные объекты лучше описывают реальность,
чем классические, то появится смысл в детальном изучении
конструктивных объектов.
Пока что таких примеров не обнаружено, поэтому и оснований особых
нет.
Впрочем, я не особо осведомлён в этой области и если
у вас есть контрпримеры, мне было бы интересно их послушать.

Вот, кстати, насколько мне известно, существует конструктивный
гомеоморфизм квадрата на себя без неподвижной точки.
Тем самым есть ретракция круга на его граничную окружность,
что, очевидно, противоречит физической интуиции.
А ведь в обычной физико используется множество теорем
схожего характера, не удивлюсь, если многие из них
станут неверны в конструктивном случае.
И что тогда делать физикам?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Мне не понятно, почему конструктивная математика может
> претендовать на большее отношение к реальности, чем
> классическая. Кажется, единственный способ проверки
> отношения математики к реальности, который
> пока изобрели — её применение в физике

Ничего подобного. Математика — это наука о закономерностях вычислительных процессов, каковые вполне материальны сами по себе. Поэтому основной способ проверки отношения математики к реальности — писать программы и смотреть, так ли они работают, как утверждает теория.

> Физики успешно создали общую теорию относительности,
> квантовую механику, и сейчас создают теорию струн
> при помощи классической математики

Не "при" помощи, а "без" помощи. Много Вам известно физиков, которые отличают самосопряжённый оператор от симметрического общего вида (с точки зрения "математической прилизанности" квантовой механики не последняя вещь!)? И которые знают, как на самом деле определяется экспонента неограниченного оператора (а потому не берутся суммировать фигурирующие во всех физических учебниках степенные ряды)? Мне такие физики неизвестны вообще.

Физикам нужно не теории разводить, а всякие амплитуды рассеяния расчитывать. Пока их расчёты подтверждаются экспериментом, они будут пользоваться своими методами, сколь бы некорректны они ни были с точки зрения чистой математики (а они некорректны в 99 случаях из 100). А потому когда "классическая" математика записывает квантовую механику и ОТО себе в актив, она жульничает: люди, создававшие эти физические теории, имели о ней, "классической", весьма слабое представление. Они бы прекрасно могли наваять то же самое и при шанинском финитаризме.

> Вот, кстати, насколько мне известно, существует конструктивный
> гомеоморфизм квадрата на себя без неподвижной точки.
> Тем самым есть ретракция круга на его граничную окружность,
> что, очевидно, противоречит физической интуиции.

Однако программу для ЭВМ, которая осуществляет такое отображение, вполне можно написать и запустить. Так что не так?

> А ведь в обычной физико используется множество теорем

Как уже было сказано, не используются в физике "теоремы". В физике используется та самая "физическая интуиция" и основанные на ней (формально некорректные) матметоды, позволяющие в практически интересных случаях получать согласующиеся с экспериментом ответы. Для физика, например, плёвое дело приравнять нулю заведомо расходящийся интеграл, если подынтегральная функция осциллирует (ну, очевидно же, что колебания усреднятся!).

Кстати, могу вернуть Вам Ваш вопрос: если у математики нет самостоятельного, независимого от физических, биологических и прочих приложений, объекта исследования, то зачем она вообще нужна? Или физики такие дураки, что сами не разберутся, как им циклотроны строить?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Математика — это наука о закономерностях вычислительных процессов, каковые вполне материальны сами по себе.

С тем же успехом математик, любимым объектом которого
является Х, может сказать, что математика — это
наука об Х, каковой вполне материален сам по себе.

На самом деле реальны только вычислительные процессы
с весьма ограниченными характеристиками.
Можно смело утверждать, что объём памяти не превзойдёт
количества элементарных частиц во вселенной,
а число шагов, следовательно, экспоненты от этого количества.
То есть при таком подходе неприменима даже конструктивная
математика, которая, например, пользуется натуральными
числами, которые в данном случае смысла не имеют —
имеет смысл только понятие натурального числа меньше 10^(10^100).

>Много Вам известно физиков, которые отличают самосопряжённый оператор от симметрического общего вида (с точки зрения "математической прилизанности" квантовой механики не последняя вещь!)? И которые знают, как на самом деле определяется экспонента неограниченного оператора (а потому не берутся суммировать фигурирующие во всех физических учебниках степенные ряды)?

Физики постепенно осваивают математические понятие.
Трудно ожидать от них, что они сразу выучат всю современную
математику. Раньше физики не знали, что такое многообразие,
векторнное расслоение и гильбертово пространство, а теперь
знают. Так что пройдёт ещё немного времени, и физику
выучат разницу между симметрическим и самосопряжённым
оператором, и узнают, как определять экспоненту в неограниченном
случае. Никуда они не денутся.

>Не "при" помощи, а "без" помощи.
Современные фихики используют К-теорию, спектральную
последовательность Атии-Хирцебруха и эллиптические
когомологии. Все эти инструменты были созданы математиками,
а не физиками.

>Физикам нужно не теории разводить, а всякие амплитуды рассеяния расчитывать.
Теоретическим физикам нужны прежде всего теории, объясняющие
явления реального мира. Расчёты вторичны.
Почитайте Фейнмана, у него эта идеология явно выражена.

>Пока их расчёты подтверждаются экспериментом, они будут пользоваться своими методами, сколь бы некорректны они ни были с точки зрения чистой математики (а они некорректны в 99 случаях из 100).

Классическая механика по Ньютону тоже была некорректна вначале.
В 19 веке все дырки заполнили, а в 20 всё это было
сформулировано на языке симплектической геометрии, сильно
упростившим понимание этой области.
То же самое произошло с квантовой механикой: вначале
там имелись пробелы, но потом они были заполнены
с развитием теории геометрического квантования.
Общая теория относительности уже изначально не содержала
никаких серьёзных математических пробелов.
Кстати, Эйнштейн при её создании пользовался
результатами Леви и Чивиты.

>Однако программу для ЭВМ, которая осуществляет такое отображение, вполне можно написать и запустить. Так что не так?

А то, что в физике такой факт не имеет место быть.
Невозможно путём непрерывной деформации ретрагировать
круг на граничную окружность.

>Как уже было сказано, не используются в физике "теоремы".

Это утверждение было опровергнуто выше.

>Кстати, могу вернуть Вам Ваш вопрос: если у математики нет самостоятельного, независимого от физических, биологических и прочих приложений, объекта исследования, то зачем она вообще нужна?

Ясно зачем: потому что она полезна в этих науках.
А сами науки полезны в жизни.
Если бы у неё действительно не было бы приложений
в науках, то мы бы имели бесполезную игру в бисер, вроде шахмат.

>Или физики такие дураки, что сами не разберутся, как им циклотроны строить?
Как видите, не разберутся, раз используют спектральную
последовательность Атии-Хирцебруха.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> С тем же успехом математик, любимым объектом которого
> является Х, может сказать, что математика — это
> наука об Х, каковой вполне материален сам по себе.

Вы хотите сказать, что сомневаетесь в реальности существования вычислительной техники? :-)

> имеет смысл только понятие натурального числа меньше 10^(10^100).

И почему же, интересно, не существует то число, которое Вы только что сами же и написали (или оно меньше самого себя)? :-) Кстати, вот Вы столько распинаетесь про физиков, а мышление-то у Вас (судя по Вашим пассажам) совершенно не физическое: физики редко смущаются тем обстоятельством, что им актуально не даны все электроны, отвечающие всевозможным решениям уравнения Дирака для свободной частицы. Они не смущаются даже тем, что оное уравнение вообще никакой электрон не описывает абсолютно точно (т.к. совершенно свободных частиц в природе не бывает). Попробуйте применить такой же естественнонаучный подход к математике — получите в точности конструктивную установку.

> Раньше физики не знали, что такое многообразие, векторнное
> расслоение и гильбертово пространство, а теперь знают.

Вашими бы устами, да мёд пить (т.е. некоторые-то заведомо знают, но вот в массе своей...).

> Так что пройдёт ещё немного времени, и физику
> выучат разницу между симметрическим и самосопряжённым
> оператором, и узнают, как определять экспоненту в неограниченном
> случае. Никуда они не денутся.

Не денутся, если наработанные алгорифмы решения типовых физических задач перестанут давать согласующиеся с экспериментом результаты. В противном случае им эти определения на фиг не сдались.

> А то, что в физике такой факт не имеет место быть.
> Невозможно путём непрерывной деформации ретрагировать
> круг на граничную окружность.

Угу, конечно. Вы, простите, что предпочитаете: в физике вводить окружность как множество решений уравнения \(x^2+y^2=1\), или в математике определять оную как согнутую проволоку?

Давайте не путать тёплое с мягким. Нету в физике вещественных чисел. То есть вообще. Потому что какой бы физический параметр мы ни взяли (расстояние, температуру или ещё что), при попытке неограниченного увеличения точности измерения этого параметра мы в один прекрасный момент просто сделаем его бессмысленным (как измерить расстояние точнее, чем размеры булыжников, расстояние между которыми меряется? что такое температура одной молекулы? и т.д.). В физике любой параметр, по сути, оценивается интервально — это такие прописные истины, что их даже как-то неловко лишний раз вспоминать (первая глава первого тома Гильберта-Бернайса, ага? методологические статьи А.Д.Александрова, угу?). Вещественное число, соответственно — это чисто математическое понятие. И свойства у него, простите, такие, какие они есть, а не такие, какие нам хотелось бы видеть. Иногда расходятся с физической интуицией? Простите, но отсюда не следует ничего, кроме дополнительного напоминания, что физика и математика суть разные науки, а потому при математизации физических задач (а равно применении полученных математических результатов обратно к физике) нужно хоть иногда головой пользоваться. На предмет выяснения корректности таких междисциплинарных переходов.

Кстати, "классическая" аксиома непрерывности уж точно абсолютно нефизична (см. выше про неограниченное уточнение параметра). Но у Вас это почему-то нареканий не вызывает.

> А сами науки полезны в жизни.

Это все так говорят. А где польза от той же теории струн (и будет ли она вообще, это ещё бабушка надвое сказала)?

Те же аргументы можно применить к католической средневековой схоластике: от неё великий прок, ибо полезна для католицизма в целом, а последний душу спасает. Лично для меня, во всяком случае, это не аргумент. Или теория описывает реальность (и тогда она наука), или не описывает (а тогда она к науке отношения не имеет, вне зависимости от степени своей душеспасительности).

> Как видите, не разберутся, раз используют
> спектральную последовательность Атии-Хирцебруха.

Что, прямо-таки для циклотронов? :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Позволю себе вмешаться. По выражению Манина (не могу найти точную цитату),
математика строит мифы, которые используются в других науках. Таким образом, к
реальности она имеет лишь опосредованное отношение.

Вещественные числа -- очень хороший миф, который позволяет физикам рассуждать о реальности. Конструктивная математика не позволяет рассуждать о реальности менее эффективно (и, на наш вкус, менее красиво).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Демонология тоже позволяет (демон Максвелла? духи Фаддеева-Попова?), и что теперь? Вводить соответствующий курс в обязательную программу для естественнонаучных специальностей?

ИМХО, мифы должны иметь статус мифов, а не науки. Тогда к ним и претензий не будет.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Демонология тоже позволяет (демон Максвелла? духи Фаддеева-Попова?), и что теперь?

Извините, но вы же прекрасно понимаете, что
это всего лишь термионология.
Речь идёт о содержательном понятии вещественного числа.

Слово «миф», очевидно, используется в переносном смысле.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Речь идёт о содержательном понятии вещественного числа.

И каково же это содержание, если у соответствующей аксиоматики нет модели?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>И каково же это содержание, если у соответствующей аксиоматики нет модели?

У аксиоматики вещественных чисел есть явная модель:
это пополнение рациональных чисел по архимедовому нормированию.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Конструктивная математика не позволяет рассуждать о реальности менее эффективно (и, на наш вкус, менее красиво).

Тут, наверное, надо какие-то поправки внести.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тут, наверное, надо какие-то поправки внести.

Спасибо, переформулирую и дополню :

Конструктивная математика и, в особенности конструктивные вещественные числа, не позволяет физикам рассуждать о реальности столь же эффективно, как "классическая".
И, на мой вкус, конструктивная математика менее красива и менее
интересна.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Конструктивная математика и, в особенности конструктивные вещественные числа,
> не позволяет физикам рассуждать о реальности столь же эффективно, как "классическая".

Откуда дровишки?

> И, на мой вкус, конструктивная математика менее красива и менее интересна.

А на мой вкус, ровно наоборот. Как определить, чей вкус вкуснее?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Откуда дровишки?

Я привёл пример с теоремой Лефшеца.

(Reply to this) (Parent)

>Вы хотите сказать, что сомневаетесь в реальности существования вычислительной техники? :-)

Я сомневаюсь в том, что конструктивная математика исчерпывает
всю содержательную математику. Точнее, я нисколько не
сомневаюсь в обратном утверждении.

>И почему же, интересно, не существует то число, которое Вы только что сами же и написали (или оно меньше самого себя)? :-)

Ну как же, его же в принципе не возможно представить в компьютере.
Поскольку существует только то, что вычислимо,
это число не существует.

>Кстати, вот Вы столько распинаетесь про физиков, а мышление-то у Вас (судя по Вашим пассажам) совершенно не физическое: физики редко смущаются тем обстоятельством, что им актуально не даны все электроны, отвечающие всевозможным решениям уравнения Дирака для свободной частицы. Они не смущаются даже тем, что оное уравнение вообще никакой электрон не описывает абсолютно точно (т.к. совершенно свободных частиц в природе не бывает).

Так и я этим нисколько не смущаюсь.
Более того, я не смущаюсь тем, что мне актуально не даны
все вещественные числа, а лишь их счётное подмножество.
Это не мешает мне работать со всеми вещественными числами.

>Попробуйте применить такой же естественнонаучный подход к математике — получите в точности конструктивную установку.

Я уже применил и получил классическую математику.
Смотрите выше.

>Вашими бы устами, да мёд пить (т.е. некоторые-то заведомо знают, но вот в массе своей...).

Что происходит в массе, никого не волнует.
Математики в массе своей не знают, что такое векторное расслоение.

>Не денутся, если наработанные алгорифмы решения типовых физических задач перестанут давать согласующиеся с экспериментом результаты. В противном случае им эти определения на фиг не сдались.

Как я уже указал, очень даже сдались.
Математическая образованность физиков непрерывно
повышается. В первой половине 20 века какой-то
физик активно возражал против преподавания теории групп
студентам, говоря, что уж эта область им точно не понадобится.
Ничего, сейчас физики изучают теорию групп.
И симметрические операторы будут изучать, и экспоненту
неограниченного оператора тоже будут изучать. Никуда они
не денутся.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я сомневаюсь в том, что конструктивная математика исчерпывает
> всю содержательную математику. Точнее, я нисколько не
> сомневаюсь в обратном утверждении.

Да ради бога. А я не вижу у классической математики реального (т.е. существующего в том же смысле, что кирпич) предмета исследования. Разница во взглядах-с. Бывает-с.

> Ну как же, его же в принципе не возможно представить в компьютере.

Т.е. тот пост, в котором Вы это число приводили, был написан посредством Духа Святаго? Спасибо за разъяснение, сам бы я ни за что не догадался.

> Так и я этим нисколько не смущаюсь.
> Более того, я не смущаюсь тем, что мне актуально не даны
> все вещественные числа, а лишь их счётное подмножество.

Актуально может быть дано только конечное подмножество. А аксиома непрерывности требует наличия именно бесконечных (в физике, заметьте, нет утверждений про актуально бесконечные совокупности электронов!).

> Это не мешает мне работать со всеми вещественными числами.

Работать языком, следовало бы добавить. Угу. Для этого даже ластики не нужны.

> Я уже применил и получил классическую математику.
> Смотрите выше.

Плохо применяли: в физике нет утверждений про актуально бесконечные совокупности объектов. Смотрите выше.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>реального (т.е. существующего в том же смысле, что кирпич)
Проблема заключается в том, что число 2 столь же
реально, как и какое-нибудь невычислимое число.
Оба можно записать на бумаге и положить на стол.

>Т.е. тот пост, в котором Вы это число приводили, был написан посредством Духа Святаго?

Он был написан посредством классической математики.

Вот более качественный пример.
Возьмём все числа, которые можно записать
программами, длина которых не превосходит 10^(10^100).
Таких чисел конечное число.
Возьмём минимальное число, которое нельзя представить
таким способом. Это вполне конкретное, чётко
определёное натуральное число. Вы никогда не сможете
положить его на стол.

>Актуально может быть дано только конечное подмножество. А аксиома непрерывности требует наличия именно бесконечных (в физике, заметьте, нет утверждений про актуально бесконечные совокупности электронов!).

Боюсь, что теперь следует определить, что такое
актуально конечная/бесконечная совокупность.

>Работать языком, следовало бы добавить. Угу. Для этого даже ластики не нужны.

Работать мозгом. И получать содержательные утверждения.

(Reply to this) (Parent)

>Угу, конечно. Вы, простите, что предпочитаете: в физике вводить окружность как множество решений уравнения \(x^2+y^2=1\), или в математике определять оную как согнутую проволоку?

Естественно, я не имел ввиду наивное представление.
Из существования такой теоремы вытекает, что теорема
Лефшеца о неподвижных точках неверна.
Сходу нашёл статью по физике, в которой используется
теорема Лефшеца:
http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVN-42P64GT-C&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=90dc7cb8b67743f883f8fdde00f55fc7

Кстати, Vafa — очень известный физик.
Что прикажете им делать с конструктивной установкой?

>Вещественное число, соответственно — это чисто математическое понятие.

>как измерить расстояние точнее, чем размеры булыжников, расстояние между которыми меряется? что такое температура одной молекулы?

Что мешает неограниченно уменьшать размеры булыжников?

Температура прекрасно определяется для любого количества
молекул как средняя кинетическая энергия одной молекулы.
В классическом (неквантовом) случае температура
одной молекулы равна нулю.

>Вещественное число, соответственно — это чисто математическое понятие.

А вот это, простите, никак не следует из предыдущих рассуждений.
Каким образом вы можете гарантировать существование
вещественного числа, которое невозможно получить путём
последовательных физических измерений с возрастающей точностью?
Возьмём любое неконструктивное (более того, неопределимое
в теории множеств с кучей добавленных аксиом по выбору),
и предположим, что в результате некоторого физического
измерения мы со всё большей и большей точностью получаем
это неопределимое число. Что тогда?
Можете ли вы гарантировать, что такого никогда не случится?

>Иногда расходятся с физической интуицией?
Вещественные числа с физической интуицией не расходятся.
Как и в физике, любое вещественное число в математике
можно неограниченно точно приближать, скажем, десятичными
дробями.

>Простите, но отсюда не следует ничего, кроме дополнительного напоминания, что физика и математика суть разные науки, а потому при математизации физических задач (а равно применении полученных математических результатов обратно к физике) нужно хоть иногда головой пользоваться. На предмет выяснения корректности таких междисциплинарных переходов.

Это конечно. Только из этого никак не следует, что
обычные вещественные числа непригодны для физики.
Кстати, я уже написал, почему конструктивные
числа непригодны для физики: для них неверна теорема
Лефшеца.

>Кстати, "классическая" аксиома непрерывности уж точно абсолютно нефизична (см. выше про неограниченное уточнение параметра). Но у Вас это почему-то нареканий не вызывает.

Простите, как неограниченное уточнение параметра
связано с аксиомой непрерывности (в форме Дедекинда, например)?
По-моему, это может использоваться разве что в качестве
подтверждения её правильности.

>Это все так говорят. А где польза от той же теории струн (и будет ли она вообще, это ещё бабушка надвое сказала)?

Я точно знаю, что тоже самое говорили про теорию
электромагнитного поля Максвелла. Кажется, тоже
самое говорили про теорию относительности.
И ничего, нашли применения. Если бы скептики вроде
вас победили бы тогда, эта дискуссия не состоялась
бы по причине технической невозможности.
И для теории струн будут применения.

>Или теория описывает реальность (и тогда она наука), или не описывает (а тогда она к науке отношения не имеет, вне зависимости от степени своей душеспасительности).

Теория струн описывает реальность.

>Что, прямо-таки для циклотронов? :-)

Пример с теоремой Лефшеца я привёл.
Если вы воспользуетесь Google, то найдёте пример для Атии-Хирцебруха.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Сходу нашёл статью по физике,
> в которой используется теорема Лефшеца

Уже из аннотации ясно, что статья эта относится не к физике, а к философии (каков у т.н. "струнной физики" экспериментальный статус, а?). А для философов действительно любая чушь сойдёт, им даже ластики не нужны.

> Что мешает неограниченно уменьшать размеры булыжников?

В теории — ровно ничего. А на практике — покажите, как это сделать. Гладко было на бумаге...

> Температура прекрасно определяется для любого количества
> молекул как средняя кинетическая энергия одной молекулы.

Это опять же теория. Вы покажите, как на практике, "в железе", измерить эту самую температуру одной молекулы.

> А вот это, простите, никак не следует из предыдущих рассуждений.
> Каким образом вы можете гарантировать существование
> вещественного числа, которое невозможно получить путём
> последовательных физических измерений с возрастающей точностью?

[пожимая плечами] Зачем "гарантировать" существование объекта, который можно предъявить в явном виде? Если Вам на голову упадёт кирпич, каких Вы будете требовать дополнительных гарантий, что этот кирпич действительно существует?

> Возьмём любое неконструктивное (более того, неопределимое
> в теории множеств с кучей добавленных аксиом по выбору),

Да я двумя руками "за". Давайте возьмём. Куда обратиться?

> и предположим, что в результате некоторого физического
> измерения мы со всё большей и большей точностью получаем
> это неопределимое число.

Да зачем же "предположим"? Вы покажите конкретный физический объект, который будет измеряться, соорудите конкретный прибор, которым оное измерение будет производиться. "Предположить"-то много чего можно: если бы да кабы, то во рту росли б грибы.

> Можете ли вы гарантировать, что такого никогда не случится?

Не могу, разумеется. Я вообще, если Вы заметили, говорю только про то, что могу гарантировать. Надеюсь, Вы поступаете так же. А потому, пожалуйста, предъявите мне объект, удовлетворяющий "классическим" аксиомам вещественной прямой. Мне такие объекты неизвестны (именно поэтому я и сомневаюсь в правомочности претензии учения о свойствах таких объектов считаться наукой: науки изучают реальность, а не аксиоматизированные фантазии).

> Как и в физике, любое вещественное число в математике
> можно неограниченно точно приближать, скажем, десятичными
> дробями.

Вы сначала продемонстрируйте, как температуру измерять с неограниченной точностью, вот тогда и поговорим про вещественные числа в физике. А пока эти Ваши рассуждения — беспредметная философия.

> Простите, как неограниченное уточнение параметра
> связано с аксиомой непрерывности (в форме Дедекинда, например)?

А как можно утверждать, что любое рациональное число попадёт в один из классов сечения, не умея измерять параметр с неограниченной точностью? Если точность ограничена, то для некоторых чисел ответ будет не "правый" или "левый", а "не знаю" (и на практике так оно и есть).

> И для теории струн будут применения.

Вот когда будут, тогда и поговорим (если действительно будут). Вообще-то у струн есть некоторое отличие от уравнений Максвелла и теории относительности: уравнения Максвелла опирались на давно известные экспериментальные данные (единственной гипотезой там было появление электромагнитных волн, что тоже моментально подтвердилось), теория относительности такоже. А на каких экспериментальных данных основаны струны? Где у нас пресловутое двадцать шестое измерение (и сколько их вообще на текущий момент, а то я что-то за ростом их числа следить перестал)?

> Теория струн описывает реальность.

А уж лешие так по лесу и шастают. Стра-а-ашно, аж жуть! :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Уже из аннотации ясно, что статья эта относится не к физике, а к философии (каков у т.н. "струнной физики" экспериментальный статус, а?). А для философов действительно любая чушь сойдёт, им даже ластики не нужны.

А вы, стало быть, ещё и специалист в области физики?
Теория струн — одна из областей физики,
не вижу в ней ничего экстраординарного.
Попытки объявить её философией представляются
бессодержательными до тех пор, пока не предъявлены
осмысленные аргументы.
Что касается экспериментального статуса,
то в настоящее время в Швейцарии строят LHC.
(Хоть это вам известно?)
Ситаация такая же, как с ОТО: сначала Эйнштейн придумал
теорию, а уже потом стали измерять отклонение света звёздами и проводить другие эксперименты.
К тому же, теория струн ещё не закончена.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Попытки объявить её философией представляются
> бессодержательными до тех пор, пока не предъявлены
> осмысленные аргументы.

Это как раз попытки объявить её физикой представляются бессодержательными до этих самых пор.

> Что касается экспериментального статуса,
> то в настоящее время в Швейцарии строят LHC.
> (Хоть это вам известно?)

Известно, разумеется. Однако оный пока, вроде, до конца не построен. И что в итоге намеряет, ещё бабушка надвое сказала.

> Ситаация такая же, как с ОТО: сначала Эйнштейн придумал теорию,
> а уже потом стали измерять отклонение света звёздами
> и проводить другие эксперименты.

Да, да, всё так и было.

> К тому же, теория струн ещё не закончена.

А практика даже и не начата. Так что пока это заведомо не физика.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Это как раз попытки объявить её физикой представляются бессодержательными до этих самых пор.

Так никто и не объявляет, они и так является физикой.

>Да, да, всё так и было.

At its introduction in 1915, the general theory of relativity did not have a solid empirical foundation. It was known that it correctly accounted for the "anomalous"precession of the perihelion of Mercury and on philosophical grounds it was considered satisfying that it was able to unify Newton's law of universal gravitation with special relativity. That light appeared to bend in gravitational fields in line with the predictions of general relativity was found in 1919 but it was not until a program of precision tests was started in 1959 that the various predictions of general relativity were tested to any further degree of accuracy in the weak gravitational field limit, severely limiting possible deviations from the theory.

Между прочим, Эйнштейн не пытался создавать теорию,
объясняющую аномалию Меркурия. Он просто
создавал теорию, соединяющую в себе классическую
гравитацию и СТО. А потом подметил, что теория объясняет
аномалию Меркурия. Остальные тесты были выполнены гораздо позже.

>А практика даже и не начата. Так что пока это заведомо не физика.

Как я уже отметил, следуя вашей логике, в момент
своего создания ОТО не являлась физикой.

Вот, например:
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_general_relativity
By 1912, Einstein was actively seeking a theory in which gravitation was explained as a geometric phenomenon.
…
The field equations he published in October of 1915 were …
This predicted the non-Newtonian perihelion precession of Mercury, and so had Einstein very excited.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Впрочем, теорема Лефшеца используется не только в теории
струн. Вот, например, статья по физике конденсированного состояния:
http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TJJ-4CF72RF-1&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=8529433f9e9be868e9eb4193c786d7a9

Интересно, а физику конденсированного состояния
вы тоже считаете философией?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Физики (и я это уже не по разу повторил) с лёгкостью берут расходящиеся интегралы и суммируют ряды с неограниченно растущими слагаемыми. Потому что у них критерий один: чтобы с экспериментом совпало. Если совпадает — они правы, независимо от степени математической корректности их действий. Если не совпадает — они не правы, даже если проводили вычисления абсолютно безукоризненно. К математике обе эти ситуации отношения не имеют. Ибо математика — не физика (и не механика, и не геометрия).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не понимаю, какое отношение это высказывание имеет
к моему примеру статьи по физике, использующей
теорему Лефшеца? Теорема Лефшеца —
это нетривиальный факт, даже по своей формулировке.
Это факт неверен в конструктивной математике.
Зато он верен в обычной математике. Итого мы имеем:
обычная математика предоставляет для физики
нетривиальный результат, который в конструктивной
математике неверен.

>Физики (и я это уже не по разу повторил) с лёгкостью берут расходящиеся интегралы и суммируют ряды с неограниченно растущими слагаемыми.

Но при этом они сами понимают сомнительность таких
действий. И делают так только потому, что пока
ещё не предложен выход из этой ситуации.

Ньютон, Лейбниц и Эйлер пользовались бесконечно
малыми, которые не имели никакого, даже
самого грубого обоснования. Вы хотите сказать,
что они физики?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>В теории — ровно ничего. А на практике — покажите, как это сделать. Гладко было на бумаге...

Зачем мне это делать? Измерять что-то путём приближений
предлагаете вы, а не я. Кстати, отметим, что
понятие конструктивного вещественного числа как
раз и предполагает возможность вычислить его с неограниченной
точностью. Так что тот же самый аргумент
применим в конструктивном случае.

Вообще, при такой точке зрение не нужно ничего, кроме
рацональных чисел, ибо последние плотны в вещественных,
следовательно достаточны для измерения чего угодно
с любой точностью.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Кстати, отметим, что понятие конструктивного вещественного числа
> как раз и предполагает возможность вычислить его
> с неограниченной точностью. Так что тот же самый аргумент
> применим в конструктивном случае.

Н-да... Говорил мне Нагорный, что у людей о конструктивизме бытуют самые дикие представления — а я, дурила, не верил :-((

Конструктивное вещественное число — это генерирующая "рациональные приближения" программа, которая всего лишь может применяться к различным натуральным числам, если для такого применения имеются действительная необходимость и достаточное количество вычислительных ресурсов. Не совокупность всевозможных результатов работы программы, а сама программа. Т.е. некий конечный текст.

> Вообще, при такой точке зрение не нужно ничего, кроме
> рацональных чисел, ибо последние плотны в вещественных,
> следовательно достаточны для измерения чего угодно
> с любой точностью.

Так а я что тут уже тридцать раз повторил? Разумеется, в физике можно прекрасно обходиться рациональными числами (на деле как раз и обходятся). Вещественные числа появляются только в чистой математике, и никакого отношения к "физической интуиции" не имеют и иметь не могут.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Н-да... Говорил мне Нагорный, что у людей о конструктивизме бытуют самые дикие представления — а я, дурила, не верил :-((

>Конструктивное вещественное число — это генерирующая "рациональные приближения" программа, которая всего лишь может применяться к различным натуральным числам, если для такого применения имеются действительная необходимость и достаточное количество вычислительных ресурсов. Не совокупность всевозможных результатов работы программы, а сама программа. Т.е. некий конечный текст.

Не следует пытаться выставить своего собеседника
идиотом, если он им не является. Всё, что вы написали,
мне и так прекрасно известно. Ваши просветительские
усилия пропали зря. Или что, вы думаете, я бы стал
говорить что-то про конструктивные вещественные
числа, не зная их определения?
Я вообще не понимаю, как глупость вроде
совокупности всевозможных результатов работы программы
могла прийти вам в голову.

>Так а я что тут уже тридцать раз повторил? Разумеется, в физике можно прекрасно обходиться рациональными числами (на деле как раз и обходятся). Вещественные числа появляются только в чистой математике, и никакого отношения к "физической интуиции" не имеют и иметь не могут.

Вы путаете физику и физические измерения (эксперимент).
При эксперименте действительно получаются
только рациональные числа. Однако есть ещё
теоретическая физика, которая занимается теоретическим
обоснованием эксперимента. И вот она-то
как раз активно использует вещественные числа.
И обойтись без них не может, хотя бы по причине
теоремы Лефшеца, а также по множеству
других причин.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Да я двумя руками "за". Давайте возьмём. Куда обратиться?

Пожалуйста, вот явная конструкция:
возьмём сумму по всем натуральным k
чисел 2^(-k) A(k,k), где A(k,k) — результат
применения машины Тьюринга с номером k к числу k.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Пожалуйста, вот явная конструкция:
> возьмём сумму по всем натуральным k
> чисел 2^(-k) A(k,k), где A(k,k) — результат
> применения машины Тьюринга с номером k к числу k

Чё-то моя не понять: кто-то отменил неразрешимость (а тем самым и нетотальность) области определения Вашего A?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Да зачем же "предположим"? Вы покажите конкретный физический объект, который будет измеряться, соорудите конкретный прибор, которым оное измерение будет производиться. "Предположить"-то много чего можно: если бы да кабы, то во рту росли б грибы.

Видите ли, при таком подходе вообще нельзя получить
ни одного числа — ибо как вы сами отметили,
точность наших измерений ограничена.
Поэтому мы не можем утверждать, что в результате
измерений получается число 2, а можем утверждать
что скорее всего получено 2 с очень маленькой
погрешностью. Которая может быть ненулевой.
Так что предложение о предъявлении физического
прибора является полной бессмыслицей.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Видите ли, при таком подходе вообще нельзя получить
> ни одного числа

В физике — разумеется, нельзя. Я ж только об этом с самого начала и талдычу.

> Поэтому мы не можем утверждать, что в результате
> измерений получается число 2

Именно. В результате измерения получается интервал (и я об этом прямо писал в одном из предыдущих постов!).

> Так что предложение о предъявлении физического
> прибора является полной бессмыслицей.

Это предложение иллюстрирует бессмысленность высказанного Вами тезиса, будто бы в физике встречаются вещественные числа. Они там, разумеется, не встречаются, и всем вменяемым людям это давно известно (первый том Гильберта-Бернайса, где это сказано открытым текстом — 1934 год, и явно они не сами это придумали).

Кстати, Вы действительно не замечаете, что своей попыткой свести математику к физике наступаете на давно исхоженные вдоль и поперёк грабли? Это ж уже было, и не по разу: в античности математику пытались свести к геометрии (как там у Евклида числа перемножались через площади прямоугольников?), в XVIII веке — к механике (у Ньютона производная — это что угодно, но только не предел конечных разностей). И каждый раз это заканчивалось одинаково: математика оставалась математикой. И то обстоятельство, что анализ имени Коши и Вейерштрасса противоречил механической интуиции XVIII века (где было "очевидно", что все функции — кусочно-гладкие), не сильно этому воспрепятствовало. Думаете, что современная физика чем-то более особенная, чем античная геометрия или ньютонова механика? Ну, думайте на здоровье. А мне, уж извините, сомнительно.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Это опять же теория. Вы покажите, как на практике, "в железе", измерить эту самую температуру одной молекулы.

Её незачем измерять: в классическом приближении она равна нулю.

>теория относительности такоже
Как интересно. Может, приведёте пример экспериментальных
данных, на которых была основана общая теория
относительности?

>Вот когда будут, тогда и поговорим (если действительно будут).

Ну что ж, могу лишь указать, что в момент создания
ОТО у неё в близкой перспективе не было никаких
применений.
Следуя вашей логике, создание ОТО было бессмыслицей.

(Reply to this) (Parent)

>А на каких экспериментальных данных основаны струны?

Известно, на каких: на данных наблюдений элементарных частиц.
Задачей теории струн является устранение противоречий,
возникающих при соединении стандартной модели
и общей теории относительности. И то, и другое
подтверждено огромным количеством экспериментов.

Кстати, Эйнштейн создал ОТО в попытке соединить
теорию гравитации Ньютона и СТО. Точно такая же ситуация.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Известно, на каких: на данных наблюдений элементарных частиц.

Эти данные так радикально расходятся с выводами обычной КТП (я действительно не в курсе)?

> Задачей теории струн является устранение противоречий,
> возникающих при соединении стандартной модели
> и общей теории относительности.

И, разумеется, нет и не может быть ну никакого способа устранить эти противоречия, кроме высасывания из пальца десятков никем никогда не виданных размерностей.

> И то, и другое подтверждено огромным количеством экспериментов.

Проведённых внутри границ применимости этих теорий. Что происходит за этими границами, пока неизвестно. И не будет известно до тех пор, пока это тоже не будет исследовано экспериментальным путём. А гадания на кофейной гуще двадцатишестимерных многообразиях — это не имеющая отношения к делу лирика.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А уж лешие так по лесу и шастают. Стра-а-ашно, аж жуть! :-)

Потрясающая аргументация.

(Reply to this) (Parent)

Науки (естественно), вообще-то, изучают не реальность, а ее модели. Реальность изучают следователи. А курс физики начинается с изучения материальных точек, далее - абсолютно твердое тело и.т.д. Вы в природе много абсолютно твердых тел встречали?:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вот-вот. Последствия опошления курса философии в современном преподавании сказываются :-) Я как-то привык, что моделью (материального объекта A) называется материальный, опять же, объект B, тождественный объекту A по некоторым интересующим нас свойствам (что позволяет свести изучение объекта A к изучению объекта B, каковое может быть технически более простым). Всевозможные "уменьшенные модели" во всяких аэродинамических трубах именно таковы. Математические модели, кстати, тоже таковы: здесь свойства изучаемого объекта сводятся к свойствам некоторого вычислительного процесса, который сам по себе вполне материален (протекает в ЭВМ, например; а эту ЭВМ можно и взвесить, и силу тока внутри неё померить). А что Вы понимаете под словом "модель" в Вашей тираде? Уж не придуманное ли попами и астрологами обоснование своей претензии тоже считаться деятелями науки (мол, мы никаких реальных вещей, конечно, не изучаем — но и "обычная" де наука изучает только "модели", так что мы ничуть не хуже)? А кто с ними воевать завещал? :-)

Науки изучают реальность, и только её. Другое дело, что изучают они её в абстрактной форме. Вас материальные точки интересуют? Пожалуйста: неиллюзорный кирпич, летящий мне на голову — это материальная точка, коль скоро меня интересует лишь скорость, с каковой он пробьёт мне череп. Да, на самом деле он имеет ненулевые размеры, и звук в нём таки распространяется — но на скорости его все эти вещи сказываются не слишком значительно, а потому в рамках рассматриваемой конкретной задачи (о проламывании черепа) всеми этими вещами объективно можно пренебречь. Вот это пренебрежение несущественными деталями и называется "абстрагированием". Никаких мифических "моделей" при этом не возникает: кирпич, он и есть кирпич, даже если нам по ряду причин и неинтересно распределение температуры внутри него.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Кстати, Эйнштейн при её создании пользовался результатами Леви и Чивиты.

Эйн и Штейн оба пользовались!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ты это о чём?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если это те же Леви и Чивита, что в другой ветке, так то один человек.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да уж. Говоришь Леви-Чивита, а думаешь Калаби-Яу.
(И ведь я знал, что у него двойная фамилия, и даже
знал его полное имя.)
Видимо, я хотел упомянуть также Риччи-Курбастро,
потому что Эйнштейн пользовался его тензорным
исчислением. Написал две части фамилии, и подумал, что хватит.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насколько я понимаю - Эйнштейн немало на них повлиял (и сам, и через Гильберта).
То есть 1/2 дифференциальной геометрии, которая
используется в ОТО, им же и придумана, а потом развита
математиками.

(Reply to this) (Parent)

Теорема Хана-Банаха прекрасно доказывается без аксиомы
выбора для сепарабельных пространств. Собственно,
в таком виде она и используется. Я как-то не могу
припомнить, чтобы Хана-Банаха использовали
для получения чего-то интересного, что не является
контрпримером.

Собственно говоря, такая же ситуация наблюдается
и с другими теоремами, использующими аксиому выбора.
Например, теорему о существовании максимального
идеала достаточно применять к нётеровым кольцам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

с другими теоремами, использующими аксиому выбора.

Аксиома выбора для несчетных множеств подразумевается?

Axiom of countable choice представляется много где необходимой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я как-то просматривал книжку, посвящённую аксиоме выбора.
В ней было приведена куча теорем, и для каждой
написано, какой форме аксиомы выбора она эквивалентна.
В частности, у меня создалось впечатление,
что несчётная аксиома выбора вообще не нужна.

Что касается счётной, здесь я уже не так уверен.
В принципе, я допускаю, что она используется в каком-то
содержательном примере. Надо только найти пример.
Секвенциальная непрерывность особого интереса не представляет, равно как и тот факт, что счётное
объединение любого семейства нульмерных множеств
нульмерно, так как в интегрировании мне кажется
более естественным подход Даниеля. Интересно,
кстати, насколько он зависит от счётной аксиомы выбора.
Надо сказать, что для любого счётного
семейства нульмерных множеств, которое мы в состоянии
предъявить, нульмерность их объединения легко
доказывается без аксиомы выбора. То есть
здесь тоже действует тезис, неявно высказанный
ранее: из любого более-менее содержательного утверждения
аксиома выбора легко устраняется.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Материал первого курса: эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне. Висит в точности на счётной аксиоме выбора (и в конструктивной математике опровергается на примерах). Эта эквивалентность содержательна?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Пропустил при первом чтении упоминание "секвенциальной непрерывности" :-( Тем не менее: она была отметена только по причине малоинтересности (что субъективно), или есть какие-то более глубокие соображения?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Она отметена по причине отсутствия применений на практике (что объективно).
Обычная непрерывность проще и удобнее в обращении.
Секвенциальная непрерывность — это архаизм,
идущий к нам из 19 века, когда люди не умели
толком обращаться со множествами и язык последовательностей,
состоящих из отдельных элементов, казался
проще, чем язык открытых множеств.
Кроме того, для общих топологических пространств
(без локальной счётной базы) понятия секвенциальной
непрерывности и непрерывности различаются, и используется
именно непрерывность, а не секвенциальная непрерывность.
Можно, конечно, решить эту проблему путём замены
последовательностей на направленности, но это
ещё тоскливее.
Не случайно общая топология излагается на
языке открытых множеств, а не на языке направленностей
— первый попроще будет.
Вообще, меня удивляет математическая отсталость
преподавателей анализа — его преподавание
не изменилось по сравнению с 19 веком.
С тех пор появилось несколько дисциплин, упрощающих
изложение (и понимание!) курса анализа и дающих
более концептуальные и понятные объяснения старых фактов.
Общая топология позволяет навсегда избавиться
от последовательностой и языка эпсилон-дельта
(за эпсилон-дельта я бы вообще убивал, это
просто ужас какой-то), но нет, аналитики считают,
что они умнее, и лучше преподавать по-старому.
Гладкие многообразия полностью перевернули
«многомерный анализ» и сделали
ненужным многократно дублирующее
само себя изложение (например, в виде формул
Грина, криволинейного интеграла,
Гаусса-Остроградского, Стокса, теоремы о градиенте,
а также формулы Ньютона-Лейбница —
вместо одной теоремы рассказывают шесть!),
они также позволили чрезвычайно компактно переписать
громоздкие формулы (с определителями и без)
и придать им интуитивный геометрический смысл
(что крайне важно для понимания).
Но нет, говорят аналитики, мы умнее, мы будем
всё преподавать по-старому.
Аппарат топологических векторных пространств
очень хорошо подходит для изложения интегрирования,
но только не для аналитиков —
они будут продолжать мучать бедных студентов чудовищным
изложением на сигма-алгебрах множеств.
Группы Ли преобразили гармонический анализ
— аналитики будут по-прежнему мучать
студентов идиотским изложением на уровне
девятнадцатого века.
По-моему, дисциплину «математический
анализ» надо запретить как исключительно
вредную для студентов (боюсь, что у многих
студентов после изучения «математического анализа» пропадает желание заниматься математикой)
и вместо неё ввести нормальные курсы общей топологии,
гладких многообразий, гармонического анализа
(в современном изложении) и теории интегрирования
(на основе топологических векторных пространств,
изученных в курсе функционального анализа).

Для представителей второй культуры можно
ввести факультативный курс методов классического анализа,
на котором изучать немногочисленные остатки
(в основном это будут признаки сходимости рядов,
впрочем, мне кажется, что на практике можно
всегда обойтись обобщённым логарифмическим признаком),
а также методы вычисления пределов, производных, а
также интегралов (в основном, видимо, с помощью
рядов Тейлора), в частности, их асимптотической оценки.
Впрочем, это скорее получается не теоретический,
а практический курс.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Вообще, меня удивляет математическая отсталость
> преподавателей анализа — его преподавание
> не изменилось по сравнению с 19 веком.
> С тех пор появилось несколько дисциплин, упрощающих
> изложение (и понимание!) курса анализа и дающих
> более концептуальные и понятные объяснения старых фактов.

А вот теперь вспоминаем, с чего начиналась ветка. А начиналась она с расписывания в красках ситуации, когда студент знает о векторном пространстве только то, что оно — частный случай модуля. Известны также случаи, когда студенты, гордо выучившие на первом курсе определение предела фильтра, не умели найти предел последовательности \(\{1/n\}_{n=0}^{\infty}\).

Что понимается под словом "понимание"? Формальное вызубривание теорем и доказательств? Или умение применить теорию к конкретному расчёту? Когда "язык гладких многообразий" позволяет делать последнее, к нему нет никаких нареканий. А вот когда студенты в итоге формулу Стокса для форм радостно выписывают, а сосчитать на её основе ни одного конкретного интеграла не могут — вот тогда Учёные Советы с деканатами испытывают глубокия нравственныя страдания. Вы полагаете, что они в этом неправы?

> Общая топология позволяет навсегда избавиться
> от последовательностой и языка эпсилон-дельта
> (за эпсилон-дельта я бы вообще убивал, это
> просто ужас какой-то), но нет, аналитики считают,
> что они умнее, и лучше преподавать по-старому.

Тут аналитики, имхо, правы, ибо на практике неметризуемые пространства не особо встретишь. А основные свойства метрических связаны именно с эпсилон-дельтами (примеры обратного приведёте?).

> и придать им интуитивный геометрический смысл
> (что крайне важно для понимания).

Для понимания, повторяю, важно, чтобы человек умел формулу применять в расчёте, а не растекаться мыслию по древу на предмет её красот и интуитивной ясности. Для любителей чистого словоблудия есть философские факультеты, и дублировать то же самое на математических едва ли имеет смысл.

С чем согласен безусловно — это с интегрированием. Разумеется, интеграл — это функционал на алгебре, и пытаться вывернуться наизнанку, доказывая, что элементы этой алгебры суть именно функции, есть несусветная глупость. Но глупость эта, кстати, целиком лежит на совести любимой Вами "классической" математики — в конструктивной она невозможна в принципе :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

К слову, хорошее краткое пояснение того, что значит студент понимает :

4-я степень (у с п е х и х о р о ш и е). Ученик отлично знает преподанное учение; он умеет изъяснить все части из начал, постигает вэаимную связь их и легко применяет усвоенное истины к обыкновенным случаям. Тут действующий разум ученика не уступает памяти, и он почитает невозможным выучить что-либо не понимая. Один недостаток прилежания и упражнения препятствует таковому ученику подяться выше. С другой стороны, и то правда, что самомышление в каждом человеке имеет известную степень силы, за которую черту при всех напряжениях перейти невозможно.


Тут аналитики, имхо, правы, ибо на практике неметризуемые пространства не особо встретишь. А основные свойства метрических связаны именно с эпсилон-дельтами (примеры обратного приведёте?).

Компактность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Компактность можно определить через существование эпсилон-сети.
Я предлагаю связность.

(Reply to this) (Parent)

А где эффективная процедура выбора конечного подпокрытия? Где эффективная процедура распознавания свойства системы окрестностей быть покрытием? Что вообще можно реально (помимо высоконаучного чесания языком) сделать с "топологическим" определением компактности?

А вот \(\varepsilon\)-сети вполне себе конструктивны. Так что пример, имхо, мимо цели.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не вижу, чем эпсилон-сети более конструктивны,
чем открытые покрытия.
Что мешает по открытому покрытию эффективно
строить его конечное подпокрытие?

Мой пример со связностью, как я вижу,
вы проигнорировали.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Что мешает по открытому покрытию эффективно
> строить его конечное подпокрытие?

Как минимум, отсутствие эффективной процедуры распознавания покрытий среди систем открытых множеств. И это едва ли лечится: для конструктивного отрезка \([0,1]\) (который с "классической" точки зрения дырявый) заведомо имеются интервальные покрытия, из которых конечное подпокрытие не выделяется (т.н. сингулярные покрытия — наверняка слышали, если уж про неподвижные точки квадрата в курсе). Следовательно, такие покрытия мы считать "настоящими" не можем. Какие можем — непонятно. Можно, конечно, изначально потребовать для "настоящих" покрытий наличия конечного подпокрытия — но тогда само понятие компактности обессмысливается, превращаясь в тавтологию.

Что же касается сетей, то написать программу, перерабатывающую получаемое на входе натуральное число \(n\) в список рациональных чисел, образующих \(2^{-n}\)-сеть для отрезка \([0,1]\), я предоставляю Вам в качестве лёгкого упражнения :-)

> Мой пример со связностью, как я вижу,
> вы проигнорировали

Вы настаиваете, чтобы я признал, что фраза «любое непрерывное отображение пространства \(X\) в двухточечное пространство имеет одноточечный образ» не содержит слова "эпсилон"? Признаю, не содержит. Но база-то топологии всё равно определяется именно через эпсилоны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но база-то топологии всё равно определяется именно через эпсилоны.

Для метрических пространств — да.
Для топологических — нет.
К тому же топологию на метрическом пространстве можно
определить многими способами. Например, как
слабейшую топологию, при которой метрика непрерывна
по первому аргументу. И никаких эпсилонов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А вот теперь вспоминаем, с чего начиналась ветка. А начиналась она с расписывания в красках ситуации, когда студент знает о векторном пространстве только то, что оно — частный случай модуля. Известны также случаи, когда студенты, гордо выучившие на первом курсе определение предела фильтра, не умели найти предел последовательности \(\{1/n\}_{n=0}^{\infty}\).

Интересно, как вы сумели вывести из того, что соответствующие
дисциплины надо преподавать на концептуальном современном уровне,
что студенты не должны уметь решать элементарные задачи?
Я имел ввиду как раз обратное.

>Что понимается под словом "понимание"? Формальное вызубривание теорем и доказательств? Или умение применить теорию к конкретному расчёту?

Очевидно, ни то, ни другое. Хотя последнее, видимо, входит
(если расчёты не очень технические).
bbixob@lj ниже написал, что такое понимание,
я более-менее согласен. Там ещё есть для пятёрки описание,
тоже хорошее.

>Когда "язык гладких многообразий" позволяет делать последнее, к нему нет никаких нареканий. А вот когда студенты в итоге формулу Стокса для форм радостно выписывают, а сосчитать на её основе ни одного конкретного интеграла не могут — вот тогда Учёные Советы с деканатами испытывают глубокия нравственныя страдания. Вы полагаете, что они в этом неправы?

Если студент не в состоянии применить теорему Стокса в случае
малых размерностей, это означает, что они не понимают
формулу Стокса. Умение провести нетехнический расчёт
с помощью формулы Стокса есть необходимое, но не достаточное
условие понимания.

>Тут аналитики, имхо, правы, ибо на практике неметризуемые пространства не особо встретишь.

Многие важные топологические векторные пространства
в функциональном анализе не метризуемы.

>А основные свойства метрических связаны именно с эпсилон-дельтами (примеры обратного приведёте?).

Сколько угодно. Например, связность.
Кроме того, я уже говорил, что даже если свойство
можно выразить на языке метрики, это не значит, что так
надо делать. Определение непрерывности как прообраз
открытого открыт куда проще для понимания, чем чудовищное эпсилон-дельта
определение.

>Для понимания, повторяю, важно, чтобы человек умел формулу применять в расчёте, а не растекаться мыслию по древу на предмет её красот и интуитивной ясности. Для любителей чистого словоблудия есть философские факультеты, и дублировать то же самое на математических едва ли имеет смысл.

Как я уже говорил, умение применить знание для нетехнического
расчёта есть необходимое, но не достаточное условие понимания.
Да и расчёты — это скорее для инженеров.
Математики особо расчётами не занимаются (кроме некоторых
областей вроме анализа), а когда занимаются, то предпочитают
использовать компьютер. Что не отменяет, конечно,
необходимости понимать суть происходящего и умения
провести вычисление самостоятельно в элементарном случае.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Интересно, как вы сумели вывести из того, что соответствующие
> дисциплины надо преподавать на концептуальном современном уровне,
> что студенты не должны уметь решать элементарные задачи?
> Я имел ввиду как раз обратное.

В идеале — разумеется. Настоящее "концептуальное осовременивание" — это когда новые методы позволяют решать те же задачи, что и старые (причём проще), а заодно и ряд других. Но вот всегда ли попытки осовременивания программы дают именно такой идеальный результат? Не вырождается ли время от времени такое осовременивание в вызубривание модных словечек, годных лишь на то, что по их употреблению в речи Приобщённые К Тайнам могут отличать друг друга от прочей подлой публики?

> Там ещё есть для пятёрки описание, тоже хорошее.

Это, часом, не тот самый документ, про который соавтор rus4@lj (со значками сущий) говаривал, что стремится к тому, чтобы его пятёрка хотя бы отдалённо напоминала тамошнюю тройку? :-)

> Многие важные топологические векторные пространства
> в функциональном анализе не метризуемы.

Ой, ну какие? Соболевские? Шварца? Бесова? Или речь про непришейкобылехвостное \(D'\), для которого я не знаю ни одного действительно разумного применения?

> Определение непрерывности как прообраз открытого открыт
> куда проще для понимания, чем чудовищное эпсилон-дельта
> определение.

Для запоминания, а не для понимания. Если начать пытаться понять, что Ваша фраза действительно означает, то всё равно вернёшься к эпсилонам (или к базе топологии, что для метрических пространств суть те же эпсилоны).

> то предпочитают использовать компьютер.

Когда я говорю про расчёты, то имею в виду именно расчёты на ЭВМ. При работе с которой (обычно как раз в задачах из анализа, с алгеброй в этом плане проблем меньше) нередко возникает ситуация, когда математик совершенно не понимает, что в этой самой ЭВМ на деле происходит (например, не ощущает разницы между объектами типа double и вещественными числами из Фихтенгольца). Вас это не смущает? Меня — да.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Не вырождается ли время от времени такое осовременивание в вызубривание модных словечек, годных лишь на то, что по их употреблению в речи Приобщённые К Тайнам могут отличать друг друга от прочей подлой публики?

Наличие или отсутствие вызубривания в программе
никак не соотносится с её современностью или
отсталостью, а зависит лишь от преподавателей.
Так что это не аргумент.

>Это, часом, не тот самый документ, про который соавтор rus4 (со значками сущий) говаривал, что стремится к тому, чтобы его пятёрка хотя бы отдалённо напоминала тамошнюю тройку? :-)

Я не помню, чей это пост, но вроде бы да.
Вот полная версия.

>Ой, ну какие? Соболевские? Шварца? Бесова? Или речь про непришейкобылехвостное \(D'\), для которого я не знаю ни одного действительно разумного применения?

Вот, первый попавшийся пример:
http://arxiv.org/abs/math-ph/0507011v2
Результат имеет применения в квантовой теории поля.
В статье используются неметризуемые ТВП.

>Для запоминания, а не для понимания. Если начать пытаться понять, что Ваша фраза действительно означает, то всё равно вернёшься к эпсилонам (или к базе топологии, что для метрических пространств суть те же эпсилоны).
Понимать это следует так: если x — фиксированная
точка пространства, то для всех точек y близких к x
f(y) будет близко к f(x), что в свою очередь следует
из того, что открытое множество — это
такое множество, которое для каждой своей точки содержит
также все близкие к ней точки.
Кстати, если пытаться понять, что означает
эпсилон-дельта определение, то приходишь к тому же самому.
Само по себе эпсилон-дельта опредление
ничуть не более понятно, чем определение
через открытые множества.

>Когда я говорю про расчёты, то имею в виду именно расчёты на ЭВМ. При работе с которой (обычно как раз в задачах из анализа, с алгеброй в этом плане проблем меньше) нередко возникает ситуация, когда математик совершенно не понимает, что в этой самой ЭВМ на деле происходит (например, не ощущает разницы между объектами типа double и вещественными числами из Фихтенгольца). Вас это не смущает? Меня — да.

Путать double и вещественные числа действительно смешно,
особенно если учесть, что в double представимо только
подмножество рациональных чисел.

>Для понимания, повторяю, важно, чтобы человек умел формулу применять в расчёте, а не растекаться мыслию по древу на предмет её красот и интуитивной ясности.

Школьники доставляют отличный пример:
большинство из них умеют решать задачи, но гораздо
меньше понимают, что при этом происходит.
Этакие биологические компьютеры.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

То, о чем вы говорите, формулируется так: отображение замыкания множества A является подмножеством замыкания отображения A.
Но из этого настолько легко вытекает частный случай дельта-эпсилонов, что вопрос учить их или нет мне кажется дурацким.

Формулировка через открытые множества, не смотря на всю свою теоретическую важность, не настолько очевидна, что очень обидно. Хоть и выводится из предыдущей за один шаг.

А про топологические векторные пространства я так и не понял. У меня есть книжка по ТВП и обобщенным функциям Хорвата (а также Рудин), но я там не заметил особого языка или особых интегралов. Что имеется в виду?
Или речь о теореме Рисса?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>То, о чем вы говорите, формулируется так: отображение замыкания множества A является подмножеством замыкания отображения A.

По-моему, это совсем другое. При чём здесь замыкания?

Ещё раз: непрерывное отоброжение — это отображение, обладающее следующим интуитивным свойством: для любой точки x и для любой точки y достаточно близкой к x мы имеем, что f(y) сколь угодно близко к f(x).
Формализация понятия множества точек, близких к x —
это окрестность точки x. Поэтому интуитивное свойство
переформулируется так: прообраз окрестности точки f(x)
есть окрестность точки x. Что такое открытое множество?
Это множество, которое является окрестностью каждой
своей точки. Поэтому предыдущее определение
можно освободить от упоминания точки x и сказать,
что прообраз открытого открыт.
Из определения через окрестности можно получить
эпсилон-дельта определения. Окрестность меняется
на открытый шар. Но здесь есть тонкость:
открытые шары всего лишь образуют базу,
поэтому следует сказать, что прообраз открытого
шара с центром в точке f(x) содержит в себе
открытый шар с центром в x.
Это определение менее понятно.
А если учесть, что аналитики не упоминают
открытые шары, а вместо этого всё раскрывают,
то вообще ужасно.

>Но из этого настолько легко вытекает частный случай дельта-эпсилонов, что вопрос учить их или нет мне кажется дурацким.
Проблема заключается не в этом определении,
а в том, что всё дальнейшее изложение анализа
тоже ведётся на языке эпсилон-дельта.

>Хоть и выводится из предыдущей за один шаг.
Как и формулировка с эпсилон-дельта.

>Что имеется в виду?
Имеется ввиду, что теорию меры следует преподавать
с привлечением аппарата функционального анализа по схеме Даниэля,
без использования архаичных теоретико-множественных конструкций.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>В статье используются неметризуемые ТВП

В принципе, пространство вещественно аналитических
функций с естественной топологией неметризуемо (и не имеет
базиса Банаха-Шаудера). Уж куда более естественное понятие.

(Reply to this) (Parent)

Теорема Хана-Банаха прекрасно доказывается без аксиомы
выбора для сепарабельных пространств.

Разве? Тут (Top. Appl. 1997, 77, 193-211) написано, что нужна аксиома зависимого выбора, каковая влечет счетную аксиому выбора. То есть не то чтобы нужна, но пишут что сепарабельную версию с ней удалось доказать, а со счетной вроде как не удалось.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я имел ввиду самую общую (несчётную) форму аксиомы выбора.
Действительно, для того доказательства нужна аксиома
зависимого выбора.

Опять же, я думаю, что если посмотреть на конкретные
случаи содеражтельного использования
Хана-Банаха для сеперабельных пространств,
то скорее всего из них можно исключить аксиому выбора
полностью.

Хотя в принципе, конечно, можно пользоваться аксиомой
зависимого выбора и радоваться жизни.

(Reply to this) (Parent)

>Я как-то не могу
>припомнить, чтобы Хана-Банаха использовали
>для получения чего-то интересного, что не является
>контрпримером.

Доказательство того, что любая комплексная поверхность
с четным b_1 кэлерова следует из Хана-Банаха. Есть результаты
(во вполне приличной алгебраической геометрии), которые без
Хана-Банаха не получаются (пока).

Библиография
http://arxiv.org/abs/math/0105176
http://lj.rossia.org/community/ljr_math/20024.html

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Есть результаты
(во вполне приличной алгебраической геометрии), которые без
Хана-Банаха не получаются (пока).

Очень интересно.
Именно без Хана-Банаха для несепарабельных пространств?
Тогда я был неправ.
Кстати, а какого типа там возникают пространства?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Самые простые - пространства дифф. форм
на многообразии. Гладких, обыкновенно
(пишу сейчас про вещественно аналитические,
но я первый, кажется).

Обойтись зависимым выбором получится, счетным
едва ли (хотя если делать зависимый выбор по всем
счетным ординалам, его хватит, конечно).

Думаю, что после того, как окажется, что
ZF+AC (и лично ZF) противоречива, какие-то версии
Хана-Банаха останутся справедливыми и в следующей
версии математики, уж очень интуитивно ясное утверждение.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)