Когда Вы говорите "должны" что Вы имеете ввиду?

(Reply to this) (Thread)

Верней вопрос у меня другой. Считаете ли Вы что кому-то стоит-полезно-необходимо изучать что либо из вышеперечиленного так как Вы говорите без предварительного изучения более общепринятых изложений?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Короткий ответ: да.
Ибо это технически проще.
Интуиция же в обоих случаях используется одинаковая.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо за ответ. Из перечисленного хорошо я себе представляю только пункт 3. Посему спорить или соглашаться не имею возможности.

(Reply to this) (Parent)

Зачем?

(Reply to this) (Thread)

А зачем мы изучаем одну теорему Стокса для гладких многообразий вместо пяти или шести частных случаев?
По той же причине.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

без указанных 5 или 6 частных случаев теорема Стокса представляется красивым, но бессмысленным, упражнением.
Точно так же как и линейная алгебра без координат – все–таки в 99% случаев математикам надо что–то вычислить :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>без указанных 5 или 6 частных случаев теорема Стокса представляется красивым, но бессмысленным, упражнением.

Применения теоремы Стокса внутри математики никакого отношения к этим 5 или 6 частным случаям не имеют.
Случаи малой размерности важны скорее для инженеров и прочих потребителей математики.
К тому же, знающий общую теорему легко выведет
и частные случаи. Обратное неверно.

>Точно так же как и линейная алгебра без координат – все–таки в 99% случаев математикам надо что–то вычислить :)

В 99% математикам не надо ничего вычислять.
Вычисляют инженеры и компьютеры.

Короче говоря, всё сказанное мное относится
к тому, как надо излагать предмет для математиков,
а не для инженеров и других потребителей математики.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Основное применение теоремы Стокса в математике –  это теорема Грина, необходимая для комплексного анализа. Один из 5–6 случаев...

99.99% студентов не способны усвоить бескоординатную линейную алгебру, не увидев координат.
Вообще, в вашей схеме главная проблема – это что в такой форме что–то можно рассказать математически образованным людям, то есть математикам. А чтобы подготовить математика, надо его пообучать всяким частным случаем...

Кстати, есть, между прочим, трудная и красивая часть математики, прикладная математика. Там доказывают теоремы. Про алгоритмы. О том, например, как быстро некий вычислительный процесс, приближенное обращение матрицы, сойдется.
Конечно, это не про вычисления как таковые, каковые действительно делают компьтеры, а про то, как вычислять.
Если это за время вашего андерграда прошло мимо вас, это не ваша вина, а ваша беда.
Чистая математика в основном и занимается объяснением того, что нужно прикладной...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это называется бурбакизм. Есть на свете очень мало народу, способных заглотить сначала абстрактную чепуху в максимальной общности. Но есть. Обычно человеку нужны примеры, картинки и понятные задачки. Алгебраическую геометрию разобрать на кривых и т.п. В обратном порядке, от примеров и координат к унверсальным констркукциям выходит гораздо глаже.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Обычно человеку нужны примеры, картинки и понятные задачки. Алгебраическую геометрию разобрать на кривых и т.п. В обратном порядке, от примеров и координат к унверсальным констркукциям выходит гораздо глаже.

Только так и надо. Разве я предложил что-то другое?
Мотивация совершенно необходима и обязательна.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну нам не нужны схемы в большой общности чтобы разобраться с гладкими кривым. Хватит малого. Хотя я вот был потрясен возможностью изложить гомотопическую топологию пространств через бесконечное симметрическое произведение (теорема тома-дольда). Интересно как это пропихнуть в более общую гомотопическую алгебру, где бывает мало точек. Наверно можно.

(Reply to this) (Parent)

ну как, а кто в исходном посте предлагал бескоодинатную линейную алгебру?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что бы построить хоть один пример для твоих обьектов, тебе придется использовать более классические методы.

(Reply to this) (Thread)

>придется использовать более классические методы.
А кто сказал, что эти методы не классические?

На самом деле, всё, о чём я говорю, уже известно минимум лет 40 (не считая операд, конечно).

Примеры конкретных объектов:

Пример из теории меры: из гладкого многообразия легко получается коммутативная
алгебра фон Неймана (надо взять унитальную *-алгебру ограниченных
функций и пополнить её в соответствующей топологии).

Пример из теории гладких многообразий: из вещественного векторного
пространства легко получается алгебра гладких функций на нём путём перехода
к симметрической алгебре и пополнения в соответствующей топологии.
Обобщение: из вещественного алгебраического многообразия путём пополнения
пучка функций и пучкования получается гладкое многообразие.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

И что получится если ты попытаешься пополнить алгебру гладких/непрерывных функций. Когда ты будешь факторизовать по всем последовательностям Коши, может оказаться что объект пуст.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Как это пуст?
Гладкие функции плотны среди измеримых в соответствующей топологии.
При этом сами измеримые функии полны в этой топологии.
Отсюда получаем, что измеримые функции являются пополнением гладких.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но это не исключает возможности, что все пусто. Ты ведь даже не построил меру, для которой положительная функция будет иметь положительный интеграл. Единственные меры, которые ты можешь построить "руками" это меры Дирака - для них все эти пределы довольно тривиальны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий,

V principe, bol'shego urdostva, chem yazyk model'nykh kategorij, i predstavit' sebe trudno. U Quillena ehto byla *zatychka*, tekhnicheskij sposob sformulirovat' soderzhatel'nuyu teoremu. A potom urody kanonizirovali i podkhvatili. Sporu net, zatychka udobnaya, narod do sikh por pol'zuetsya, v tom chisle i dlya soderhzatel'nykh teorem; no schitat' ehto fundamental'noj chast'yu pravil'nogo yazyka kak-to diko.

Gomologicheskaya algebra ona pro linearizaciyu voobshche-to.

Nahuj, nahuj ehti "model'nye kategorii"; tam, gde mozhno bez nikh, nuzhno bez nikh.

(Reply to this) (Thread)

Насколько я понял все это, модельные категории нужны как
раз там. где задачи "нелинейные".:) Что касается затычки: есть понятия триангулированной категории - и модельной. Многие плюются - но без них никак.:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>триангулированной категории - и модельной

Triangulirovannye luchshe. Ponyatno, chto ehto ne vsya pravda, no ponyatno, chto ehto chast' vsej pravdy. Pro model'nye zhe, u menya tverdoe ubezhdenie, chto mesto im na pomojke (v istoricheskoj perspektive, tipa). Kak i DG-kategoriyam, kak i vsyakogo roda simlicial'nym igrushkam, kak i prochim quick hacks.

Ya by tak ne rugalsya, vprochem, esli by na ehtot yazyk ne predpolagalos' perevesti *gomologicheskuyu* algebru (gde po opredeleniyu vse linejno).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, модельные категории - явно не венец гомологической
алгебры.:) Хотя как обобщение резольвент - туда-сюда.:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Nu est' zhe formalizm Spaltenstein'a, staryj, no otlichno rabotayushchij: h-injective, h-projective, h-injectives/projectives are left/right orthogonal to acyclic complexes, i t.d. Imeya v rukakh tekhniku lokalizacii v triangulirovannykh kategoriyakh, ispol'zovat' model'nye -- ehto kakoe-to dikoe izvrashchenie.

Voobshche, ponyatiya triangulirovannoj i model'noj kategorii ne tol'ko ne svyazany -- oni v kakom-to smysle ortogonal'ny drug drugu; vplot' do togo, chto [expletive deleted] Hovey v svoej [expletive deleted] knige pozvolil sebe ponyatie triangulirovannoj kategorii vnagluyu pereopredelit'. Znaet koshka, ch'e myaso pytaetsya est'.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Идейно понимать что топологический гомотопический тип -- это не мягкая резиновая штука, сопоставленная пространству, как в школе учили, а, наоборот, очень жесткая вафелька -- было полезно. Но работать с этим следует по суровой потребности, конечно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Nu, a esli posmotret' na mnozhestvo Kana, chto, stanet legche, chto li?

Lyudi khotyat izbavit'sya ot kuchi musora v vide konkretnogo topologicheskogo prostranstva "otrezok", i vmesto ehtogo vvodyat eshche khudshuyu kuchu musora, po kotoroj vse ravno prikhodit'sya faktorizovat'. Radosti-to, schast'ya-to...

Nu da, ona zato schetnaya.

Vot konkretnyj primer. Tipa, popular belief sostoit v tom, chto vse problemy s otsutstviem khorshikh modelej dlya spektrov, s kommutativnym umnozheniem, schastlivo razreshilis' s vvedeniem simmetricheskikh spektrov. Na poverku zhe, edinstvennoe prakticheskoe mesto, gde ehto kritichno -- ciklicheskaya struktura na THH -- tak sdelat' nel'zya!! -- t.e. sdelat'-to mozhno, zazhav nos i ne obrashchaya vnimaniya na ehstetiku, no otvet poluchaetsya nevernyj. Poehtomu vo vsekh stat'yakh po THH po-prezhnemu ispol'zuyut staruyu zatychku, "functors with smash products".

Po mne, tak uzh luchshe s otrezkami.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Мне, темному специалисту по точкам на плоскости и многгранникам, как то было легче представлять себе рациональный гомотопический тип, гомотопические локализации имея в виду некий представляющий их объект. В кановском виде сумашедший и бесполезный, разумеется. Есть вопрос о моделях, конечно. И не всегда интересные -- кановские, что и говорить.

(Reply to this) (Parent)

Я много лет не верил в замкнутые модельные категории, сколько мне о них ни твердили; потом обнаружил, что в них верят топологи; потом решил попробовать. Обнаружил, что в ситуациях, когда без них можно обойтись, они тем не менее полезны. В том числе в совершенно линейных/аддитивных ситуациях. Утверждение о существовании модельной структуры -- это довольно сильное свойство гомологической теории, попробовав доказать которое, можно узнать много нового. А в неаддитивных ситуациях, так и вовсе. Например, кофибрантная DG-алгебра -- вполне полезное понятие, и конструкция Хинича модельной структуры на DG-коалгебрах сыграла некую роль в развитии предмета, и т.д. (Разумеется, переводить гомологическую алгебру на язык модельных категорий как основной язык никоим образом не нужно.)

(Reply to this) (Parent)

> U Quillena ehto byla *zatychka*, tekhnicheskij sposob sformulirovat' soderzhatel'nuyu teoremu.

А что за конкретный результат, для формулировки которого понадобилось ввести понятие модельной категории вы здесь имеете в виду?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ne pomnyu uzh, za davnosti'yu, no skoree vsego ehkvivalentnost' kommutativnykh DG algebr i DG algebr Lie (racional'nuyu teoriyu gomotopij tipa). Sam Quillen v predislovii pishet, chto "the same constructions come up again and again", i chto mol, nu davajte uzh aksiomatiziruem, koli tak.

(Reply to this) (Parent)

А где прочитать теорию меры в таком изложении?

(Reply to this) (Thread)

Присоединяюсь к вопросу. В известных мне местах (от классического учебника Федерера до записок Сержа Иванова) теорию меры излагают иначе. Видать, это от невежества авторов, но ведь должны быть авторы и образованные.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(Reply to this) (Parent)

Я не знаю ни одной книги.
Если бы знал, не было бы необходимости вообще об этом писать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Думаю, как честный человек ты должен написать книгу. Потому что трындеть в блогах все мы умеем.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Точно!!!! Попались!!!! Пожалуйста немедленно заполните табличку prnd https://euclid.pdmi.ras.ru/prnd

(Reply to this) (Parent)

Книги мне ещё рановато писать, а вот пост с изложением основных
принципов и общим наброском теории обязательно напишу.
Уже скоро.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Книжка - это слишком много, а пост - это слишком мало. А небольшой обзорчик было бы полезно, наверное.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Большая часть алгебраической топологии ничего не выигрывает от использования модельных категорий. Нужно ли изучать симплициальные множества поголовно всем математикам вопрос спорный, но если уж изучать, то да, лучше сразу с языком модельных категорий.

Гомологическая алгебра даже формально не может быть переведена на язык модельных категорий, поскольку имеются триангулированные категории не имеющие модели. Резольвенты тоже дороги алгебраистам как вычислительный инструмент, также как координаты в линейной алгебре. (Ко)фибрантная аппроксимация не является адекватной заменой резольвент, так как обычно бывает через чур громоздка и непригодна для конкретных вычислений.

(Reply to this) (Thread)

Симплициальные множества много где вылезают. Возможно, их и можно изжить какой-то очень высокой наукой - но это будет (для многих применений) стрельба из пушки по воробьям.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я за симплицильные множества! Но против их насильственного насаждения на пару с модельными категориями. В стандартных курсах алгебраической топологии близко не подходят к вопросам, где они реально бывают полезны, а пустой формализм не способен вызвать ничего, кроме раздражения типа этого.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, наверное. Я-то как раз чаще общался с симплициальными объектами. чем с алгебраической топологией.:)

(Reply to this) (Parent)

Я не предлагаю ничего насильственно насаждать.
Вот более подробное объяснение:
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/9543.html?thread=348999#t348999

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Конечно хорошо иметь много книжек хороших и разных. Но издание математических книг это, хотя бы от части, коммерческий проект. То что Вы предлагаете это даже не бурбакизм, а издание книг для профессиональных математиков на элементарные темы. Боюсь, что потенциальная аудитория для такого проекта не оправдает вложений.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Мне кажется, что считать эти изменения реалистичными (они, конечно, реалистичны для алгебраической топологии и операд, допустим, поскольку когда дело доходит до этого, уже достаточно мало народу осталось, и можно учить как угодно, - в худшем случае студентам придётся открыть книгу) можно лишь, если иметь в виду, что тут пропущена некая часть Генерального Плана - значительную часть теперешних "неконцептуальных" подходов надо перенести в школьную программу. Возможно, это повлечёт удлиннение школьной программы на несколько лет, но ведь математики не считают, считают инженеры и компьютеры :-)

(Если серьёзно, то считаете ли Вы, что из студентов, не прошедшие в школьные годы [необходимой для реализации Вашего плана] должной муштры, не получится математиков в любом случае? Пытались ли Вы преподавать (не спецкурс, не на старших курсах) студентам-математикам вообще?)

(Reply to this) (Thread)

Из вашего комментария следует, что вы считаете мой пост программой.
Это не так, я не предлагаю никаких программ.
Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики.
Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники,
использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их
существовании и давали ссылки на литературу.

>(Если серьёзно, то считаете ли Вы, что из студентов, не прошедшие в школьные годы [необходимой для реализации Вашего плана] должной муштры, не получится математиков в любом случае?

Нет, не считаю.

>Пытались ли Вы преподавать (не спецкурс, не на старших курсах) студентам-математикам вообще?)

Да, преподаю линейную алгебру студентам в UC Berkeley.
Всё в координатах, конечно.
Студенты не знают, что означает словосочетание if and only if.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну вот так получилось, что Ваш пост оформлен в стиле программы, и потому естественно его так и воспринимать. Если его надо читать как "хорошо бы, чтобы кто-нибудь написал книжку о линейной алгебре с позиции (нужное вставить)", то это всем хорошо понятно, и обсуждения со взаимными переходами на личности не случилось бы.

А книжки написать - дело хорошее, кто спорит.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Сейчас сделаю добавление.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Студенты не знают, что означает словосочетание if and only if.

Что, буквально так? А сколько им лет?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По крайней мере один не знает.
Им около восемнадцати-девятнадцати.

(Reply to this) (Parent)

Мне не знакомо ни одно слово написаное выше и я не являюсь выдающимся педагогом. Но всё-таки хочеться высказаться. :-)

На мой взгляд более понятным является изложение от частного к общему.

Например: "Вот смотрите такая задача. Как её решать? Непонятно. А вот смотрите, что предложил тот-то тот-то. (Много удивления). Теперь мы умеем решать такого рода задачи."

Такого рода материал как правило запоминается лучше. И не возникает ощущения, что это полная бредятина.

Всякое решение должно расти из задачи.

(Reply to this) (Thread)

Это хороший метод - но (часто) уж больно медленный.:) Например, половина современной алгебры развилась из теоремы Ферма - неужто же ее так и преподавать?:)

(Reply to this) (Parent)

>На мой взгляд более понятным является изложение от частного к общему.
>Например: "Вот смотрите такая задача. Как её решать? Непонятно. А вот смотрите, что предложил тот-то тот-то. (Много удивления). Теперь мы умеем решать такого рода задачи."

Я, вообще говоря, ничего против этого не имею (если есть достаточно времени).
И из моего поста не следует, что я призываю учить от общего к частному.

(Reply to this) (Parent)

в чем проблема?
найдите позицию, скажем Гарвард или MIT,
и начинайте в таком духе преподавать.
интересно что получится :).

(Reply to this) (Thread)

Здесь, в UC Berkeley, я уже преподаю линейную алгебру.
Всё в координатах, естественно.

Я уже написал во втором примечании, что имеется ввиду:
>Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники,
>использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их
>существовании и давали ссылки на литературу.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

так в чем проблема,
подайте на грант на написание такого учебиника,
и напишите его.
Беркли хорошее место.

(Reply to this) (Parent)

Пожалуй, выражение "упростить а-ля Гротендик" достойно занесения в мемориз. Иная простота...

(Reply to this) (Thread)

>Иная простота...

Конечно.
Каждому своё.

(Reply to this) (Parent)

На самом деле я не понял этого замечания. Т.е. совершенно понятно, что отнюдь не все математики считают то ,что делал Гротендик простым или даже осмысленным, но по-моему
просто такова суть вопросов, которыми он занимался. Т.е. мне кажется, что с абсолютно либой точки зрения Гротендик упростил понимание тех вопросов,
которыми он занимался (что не мешает им оставаться очень сложными, просто до этого было ещё хуже). Или я что-то пропускаю?

(Reply to this) (Parent)

Да, круто на вас накинулись :-).
Я ведь предупреждал насчёт моделей. ;-)

(Reply to this)

А что можно прочитать про линейную алгебру с использованием суперсимметрии?

(Reply to this) (Thread)

Quantum Fields and Strings, том 1,
Deligne and Morgan: Notes on Supersymmetry,
Chapter 1: Multilinear algebra.

(Reply to this) (Parent)

Можно ли в таком случае получить список хороших книг по модельным категориям? Спасибо.

Боюсь, что надо самому автору писать эти вещи, поскольку разбираются в них пока немногие, а многим не до этого. Публиковать видимо надо в Архиве.

Кстати, верно ли я например понимаю, что вся теория групп может быть изложена на языке действий групп? Типа определений нормальности подгруппы, подгрупп, разрешимости, нильпотентности?

(Reply to this) (Thread)

>Можно ли в таком случае получить список хороших книг по модельным категориям? Спасибо.

Там вообще немного книг.
Hovey, Model Categories --- базовый учебник.
Ещё есть хороший обзор (Dwyer и Spalinski).
Ещё одна, более подробная и более трудная для чтения книга --- Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations.
Здесь есть более-менее полный список:
http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/

>Кстати, верно ли я например понимаю, что вся теория групп может быть изложена на языке действий групп? Типа определений нормальности подгруппы, подгрупп, разрешимости, нильпотентности?

Можно изложить это всё в терминах действия группы на себя.
Не очень понятно, зачем.

(Reply to this) (Parent)

а где найти определение модулярной алгебры Ямагами и вообще как теорию меры строить с помощью алгебр фон Неймана?
я совершенно не ориентируюсь в науке об операторных алгебрах, поэтому был бы благодарен за точную ссылку (как кажется, это должно быть где-то в первом томе Такесаки, может есть какое-то менее монументальное изложение.

(Reply to this) (Thread)

Это должно быть во втором томе Такесаки, но к сожалению
там этого нет.
У меня есть подозрение, что второй том был написан
ещё до выхода статей Ямагами в 1992 году,
и только опубликован так поздно.

Я постараюсь в ближайшее время написать про этот подход
в своём журнале.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

спасибо, было бы интересно.

(Reply to this) (Parent)

>Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке
коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр.

А есть ли возможность концептуально построить, например, brownian motion?

(Reply to this) (Thread)

Да, безусловно.
В принципе, брауновское движение строится целиком
в рамках обычной дифференциальной геометрии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ради интереса хотелось бы научиться. А можешь посоветовать где бы почитать (или рассказать в двух словах)?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что именно — теорию меры или брауновское движение?
Теорию меры можно начать здесь: http://ncatlab.org/nlab/show/measurable+locale
и дальше пойти по ссылкам.
Про брауновское движение есть обзор Bär, Pfäffle.

(Reply to this) (Parent)

перечитывал этот старый пост и заинтересовался:

> концептуальное изложение
дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек,
вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия
группы диффеоморфизмов суперточки.

что это за подход? это как-то связано с нильпотентами/кэлеровыми дифференциалами?

(Reply to this) (Thread)

Связано, конечно.
Вот здесь есть краткое описание:
http://mathoverflow.net/questions/26302/two-fancy-ways-of-defining-differential-forms-how-does-one-show-that-they-are-e

Первый подход по ссылке, кстати,
тоже заслуживает изложения в общем курсе
(как и вся технология нильпотентных точек
Вэя (Weil points), которая по сути является
чётным аналогом суперсимметрии).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

забавно, а почему odd line наывается line? это же аналог Spec k[e]/(e^2-1), или я неправильно понимаю?

(Reply to this) (Parent)

Spec k[e]/e^2 конечно

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я этот объект так не называю,
но почему его так называют другие тоже понятно:
касательное расслоение тривиально и имеет слой R^{0|1}, то есть
в точности нечётную прямую.
Сам объект при этом можно рассматривать как инфинтезимальную
окрестность нуля в R^{0|1}.

(Reply to this) (Parent)