>Но на темное владычество кафедры матанализа покуситься никто не может.
Это точно подмечено.

Интегралы Курцвейля-Хенстока я как-то смотрел, это довольно
забавная вещь: если функция дифференцируема на отрезке
в каждой точке, то интеграл Курцвейля-Хенстока от её
производной равен ей самой. При том без дополнительных
условий на непрерывность.

Но практике это, конечно, совершенно бесполезно.

Вообще, кажется, что доминирование кафедры анализа
(точнее, кафедр анализа — из шести кафедр
отделения математики три с половиной аналитические)
тормозит развитие программы. Выпускник матмеха
не обязан знать, что такое категория.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Уж не знаю, какие кафедры на мехмате следует считать аналитическими. Знаю только, что кафедра анализа когда-то разделилась на матанализ и ТФФА. По сути и терверщики, и геометры, и топологи, и дифурщики занимаются анализом. Вообще кафедры у нас хитро делились. теперь их 16.

А еще не бывает несобственных интегралов Курцвейля-Хенстока. Если уж сошлось на любом подынтервале, то и на отрезке сойдется. Интегрируются им только измеримые функции. Итд.

У нас и геометрию загубили. Фоменко геометрию не преподает, только курс так называет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо за интересные замечания. А кому и что именно читает Фоменко, и на какой кафедре? Речь идет об обязательном курсе геометрии--на каком курсе?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Он заведует кафедрой "дифференциальной геометрии и приложений" (получилась при разделе кафедры геометрии. Новиков (заведовавший той единой кафедрой) утверждал, что разделили по приказу Садовничего, ибо Фоменко стал любимчиком ректора, даже его книжки по истории издавало издательство МГУ).

Читает 2 курса: "Классическая дифференциальная геометрия" и "Дифференциальная геометрия" (продолжение). Тензорные поля например определяются как набор чиселок, изменяющихся по естественному закону. Фактически набор фактов про разные тензоры, рассказ про когомологии де Рама, классификация двумерных поверхностей, общая топология, геометрия Лобачевского (как вычислять углы, длины и площади в продемонстрированных моделях) и все.

Читает математикам в 4м и 5м семестрах. Поскольку читают курс 2 разных кафедры двум разным потокам математиков, да еще и перераспределение по кафедрам (и соотв группам), то успевают немного. Мищенко (мой лектор в 5м семестре, у него общий с Фоменкой учебник) в этом году успел рассказать про двойственность Пуанкаре. Кажется, единственная геометрия, которую я обнаружил, это лемма Сарда с приложениями. Но на мой вкус это слабовато. По сравнению с годичным курсом НМУ ничего не успели. Правда, в НМУ год на год не приходится.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну лемма Сарда это уж совсем анализ

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Лемма Сарда — это гладкие многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Утверждение аналитическое, хотя и применяется обычно в геометрии. То, что сразу сводится к случаю карт - это не "гладкие многообразия", потому что не имеет дела с их структурой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Доказательство (смотрим Милнор, глава 3) по большей части
геометрическое, только в последней (третьей) части
появляются какие-то оценки. Да и само утверждение,
как ты правильно подметил, по большей части используется
в многообразиях.

>То, что сразу сводится к случаю карт - это не "гладкие многообразия", потому что не имеет дела с их структурой.

Извини, но это очень странное утверждение.
Раньше было принято все утверждения из многообразий
доказывать в координатах. В книжке Новикова до сих
пор так делается. По-твоему выходит, что всё это —
не многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Многообразие локально есть евклидово пространство. Что же представляет собой локальная теория многообразий? Глобальная другое дело. Я за то, чтобы разделять. Это принципиальное различие на мой взгляд.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Многообразие локально есть евклидово пространство.
>Что же представляет собой локальная теория многообразий?

В смысле? Дифференциальные формы, векторные расслоения,
риманова метрика, связности, кривизна, кручение —
всё это можно опеределить локально. По твоему всё сначала
надо излагать в случае открытых подмножеств
векторных пространств, а затем обобщать на многообразия?

>Глобальная другое дело. Я за то, чтобы разделять. Это принципиальное различие на мой взгляд.

Не очень понял, о чём ты. В любом случае, смотри
предыдущий параграф.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну это все определения. Содержательные геометрические утверждения о многообразиях глобальны, локальные содержательные утверждения (например, теорема Сарда) - не про многообразия.

Но флейм на эту тему не входит в мои планы, пара десятков комментариев - и спать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Скажем, теорию когомологий де Рама можно развить
для открытых подмножеств векторного пространства
и получить содержательные утверждения про них.
Согласно твоему утверждению, теория де Рама — не про многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

когомологии это глобальная характеристика
открытое множество важно же, какое

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хорошо, забьём на когомологии, я тебе ниже привёл пример с Леви-Чивита.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

действительно, геометрия бывает в малом (локальная) и в целом (глобальная). но довольно странно относить к анализу геометрию в малом, например кривизну (как сказано в соседнем комменте)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я считаю, что "относить" следует не понятия, а утверждения. Теорема Гасса-Боннэ - пример утверждения про кривизну, которое относится к геометрии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теорема Леви-Чивиты содержательна в локальном случае.
Более того, её глобальная форма немедленно вытекает из локальной.
Согласно твоему критерию, эта теорема не про многообразия.

(Reply to this) (Parent)

вообще интересно, стоит ли преподавать когомологии де Рама, не рассказывая ничего про симплициальные гомологии? как инвариант многообразий можно, но зачем дальше? тот же вопрос о двойственности Пуанкаре: она сама по себе лишена смысла, если не знать, для чего все эти двойственности и какой у них геометрический смысл.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

К моменту изучения когомологий де Рама при нормальной программе
симплициальные гомологии и когомологии уже должны быть изучены.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

значит, мехматовская программа точно ненормальная) когомологии де Рама изучаются сами по себе без намеков на существование сингулярных

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это, конечно, чудовищно.

(Reply to this) (Parent)

Вот и на матмехе такая же ситуация.

>Интегрируются им только измеримые функции.
Мне вполне достаточно измеримых функций.
Зачем интегрировать неизмеримые?

>Фоменко геометрию не преподает, только курс так называет.
Фоменко известный жулик. Не только в истории (что всем известно), но и в математике.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Зачем интегрировать неизмеримые?
Сложный вопрос. Точно так же можно спросить, зачем интегрировать непрерывное. Т.е. в принципе мы знаем, что измеримость помогает решать задачи про непрерывность. Может, какая-то неизмеримость поможет решать задачи про измеримость.

>Фоменко известный жулик. Не только в истории (что всем >известно), но и в математике.
Да уж. Чего стоит история с Мантуровым...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Неизмеримость едва ли поможет решить задачи про измеримость. Например, потому, что в предположении чуть более слабой версии аксиомы выбора есть непротиворечивая модель, в которой все множества на прямой измеримы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Например, потому, что в предположении чуть более слабой версии
> аксиомы выбора есть непротиворечивая модель,
> в которой все множества на прямой измеримы.

Вы владеете способом построения такой модели?!! Я надеюсь, на Вас уже подали заявку в филдсовский комитет?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Непротиворечивая имелось в виду по модулю Цермело-Френкеля, конечно.

(Reply to this) (Parent)

непротиворечивость непротиворечивостью, а полнота там есть? в смысле: каждое ли верное утверждение про измеримые, которое можно получить, можно получить в этой более слабой модели?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все более (и даже менее) разумные утверждения
про измеримость доказываются без аксиомы выбора.
Поэтому ответ на вопрос положительный.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

сомнительное утверждение. мало ли где встретятся базисы Гамеля. впрочем к вопросу о преподавании широких интегралов в общем курсе скорее подходит.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Базисы Гамеля, равно как и неизмеримые множества
используются только для построения контрпримеров
(никому не нужных).

(Reply to this) (Parent)

В целом да, но той версии аксиомы выбора не хватает для теоремы Хана-Банаха - а то бы все так и пользовались этой моделью. Вообще говоря, теорема ХБ часто применяется к пространствам измеримых функций, так что это не вполне верно. Но по сути конечно неизмеримые множества еще ни разу никому не помогли, насколько мне известно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Счастливые вы всё-таки люди. Выбираете аксиоматики по соображениям удобства, а не соответствия реальности. Мне бы так :-((

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так присоединяйтесь :-))

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Богородица не велит :-((

(Reply to this) (Parent)

Что есть реальность в применении к математике?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В применении к той математике, которая наука — в том, что два паровоза, сложенные с двумя паровозами, суть четыре паровоза. В применении же к той математике, которая есть не наука, а весёлая игра в получение бессмысленных "теорем" средствами высосанных из пальца формальных теорий — тут да, никакой реальности действительно нет и быть не может. Но лично меня такая горе-математика не интересует (не меня одного, впрочем: в Ваших местах аналогичные случаи тоже описаны — Шанин, например).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если упоминается Шанин, то видимо, имеется ввиду
конструктивная математика.
Мне не понятно, почему конструктивная математика может
претендовать на большее отношение к реальности, чем
классическая. Кажется, единственный способ проверки
отношения математики к реальности, который
пока изобрели — её применение в физике (в остальных
науках применения крайне элементарные).
Физики успешно создали общую теорию относительности,
квантовую механику, и сейчас создают теорию струн
при помощи классической математики, притом в теории
струн используется крайне нетривиальные топологические
и геометрические методы, и, кажется, пока у физиков
с этим проблем не возникло.
То есть если в какой-то момент физики обнаружат,
что конструктивные объекты лучше описывают реальность,
чем классические, то появится смысл в детальном изучении
конструктивных объектов.
Пока что таких примеров не обнаружено, поэтому и оснований особых
нет.
Впрочем, я не особо осведомлён в этой области и если
у вас есть контрпримеры, мне было бы интересно их послушать.

Вот, кстати, насколько мне известно, существует конструктивный
гомеоморфизм квадрата на себя без неподвижной точки.
Тем самым есть ретракция круга на его граничную окружность,
что, очевидно, противоречит физической интуиции.
А ведь в обычной физико используется множество теорем
схожего характера, не удивлюсь, если многие из них
станут неверны в конструктивном случае.
И что тогда делать физикам?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Мне не понятно, почему конструктивная математика может
> претендовать на большее отношение к реальности, чем
> классическая. Кажется, единственный способ проверки
> отношения математики к реальности, который
> пока изобрели — её применение в физике

Ничего подобного. Математика — это наука о закономерностях вычислительных процессов, каковые вполне материальны сами по себе. Поэтому основной способ проверки отношения математики к реальности — писать программы и смотреть, так ли они работают, как утверждает теория.

> Физики успешно создали общую теорию относительности,
> квантовую механику, и сейчас создают теорию струн
> при помощи классической математики

Не "при" помощи, а "без" помощи. Много Вам известно физиков, которые отличают самосопряжённый оператор от симметрического общего вида (с точки зрения "математической прилизанности" квантовой механики не последняя вещь!)? И которые знают, как на самом деле определяется экспонента неограниченного оператора (а потому не берутся суммировать фигурирующие во всех физических учебниках степенные ряды)? Мне такие физики неизвестны вообще.

Физикам нужно не теории разводить, а всякие амплитуды рассеяния расчитывать. Пока их расчёты подтверждаются экспериментом, они будут пользоваться своими методами, сколь бы некорректны они ни были с точки зрения чистой математики (а они некорректны в 99 случаях из 100). А потому когда "классическая" математика записывает квантовую механику и ОТО себе в актив, она жульничает: люди, создававшие эти физические теории, имели о ней, "классической", весьма слабое представление. Они бы прекрасно могли наваять то же самое и при шанинском финитаризме.

> Вот, кстати, насколько мне известно, существует конструктивный
> гомеоморфизм квадрата на себя без неподвижной точки.
> Тем самым есть ретракция круга на его граничную окружность,
> что, очевидно, противоречит физической интуиции.

Однако программу для ЭВМ, которая осуществляет такое отображение, вполне можно написать и запустить. Так что не так?

> А ведь в обычной физико используется множество теорем

Как уже было сказано, не используются в физике "теоремы". В физике используется та самая "физическая интуиция" и основанные на ней (формально некорректные) матметоды, позволяющие в практически интересных случаях получать согласующиеся с экспериментом ответы. Для физика, например, плёвое дело приравнять нулю заведомо расходящийся интеграл, если подынтегральная функция осциллирует (ну, очевидно же, что колебания усреднятся!).

Кстати, могу вернуть Вам Ваш вопрос: если у математики нет самостоятельного, независимого от физических, биологических и прочих приложений, объекта исследования, то зачем она вообще нужна? Или физики такие дураки, что сами не разберутся, как им циклотроны строить?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Математика — это наука о закономерностях вычислительных процессов, каковые вполне материальны сами по себе.

С тем же успехом математик, любимым объектом которого
является Х, может сказать, что математика — это
наука об Х, каковой вполне материален сам по себе.

На самом деле реальны только вычислительные процессы
с весьма ограниченными характеристиками.
Можно смело утверждать, что объём памяти не превзойдёт
количества элементарных частиц во вселенной,
а число шагов, следовательно, экспоненты от этого количества.
То есть при таком подходе неприменима даже конструктивная
математика, которая, например, пользуется натуральными
числами, которые в данном случае смысла не имеют —
имеет смысл только понятие натурального числа меньше 10^(10^100).

>Много Вам известно физиков, которые отличают самосопряжённый оператор от симметрического общего вида (с точки зрения "математической прилизанности" квантовой механики не последняя вещь!)? И которые знают, как на самом деле определяется экспонента неограниченного оператора (а потому не берутся суммировать фигурирующие во всех физических учебниках степенные ряды)?

Физики постепенно осваивают математические понятие.
Трудно ожидать от них, что они сразу выучат всю современную
математику. Раньше физики не знали, что такое многообразие,
векторнное расслоение и гильбертово пространство, а теперь
знают. Так что пройдёт ещё немного времени, и физику
выучат разницу между симметрическим и самосопряжённым
оператором, и узнают, как определять экспоненту в неограниченном
случае. Никуда они не денутся.

>Не "при" помощи, а "без" помощи.
Современные фихики используют К-теорию, спектральную
последовательность Атии-Хирцебруха и эллиптические
когомологии. Все эти инструменты были созданы математиками,
а не физиками.

>Физикам нужно не теории разводить, а всякие амплитуды рассеяния расчитывать.
Теоретическим физикам нужны прежде всего теории, объясняющие
явления реального мира. Расчёты вторичны.
Почитайте Фейнмана, у него эта идеология явно выражена.

>Пока их расчёты подтверждаются экспериментом, они будут пользоваться своими методами, сколь бы некорректны они ни были с точки зрения чистой математики (а они некорректны в 99 случаях из 100).

Классическая механика по Ньютону тоже была некорректна вначале.
В 19 веке все дырки заполнили, а в 20 всё это было
сформулировано на языке симплектической геометрии, сильно
упростившим понимание этой области.
То же самое произошло с квантовой механикой: вначале
там имелись пробелы, но потом они были заполнены
с развитием теории геометрического квантования.
Общая теория относительности уже изначально не содержала
никаких серьёзных математических пробелов.
Кстати, Эйнштейн при её создании пользовался
результатами Леви и Чивиты.

>Однако программу для ЭВМ, которая осуществляет такое отображение, вполне можно написать и запустить. Так что не так?

А то, что в физике такой факт не имеет место быть.
Невозможно путём непрерывной деформации ретрагировать
круг на граничную окружность.

>Как уже было сказано, не используются в физике "теоремы".

Это утверждение было опровергнуто выше.

>Кстати, могу вернуть Вам Ваш вопрос: если у математики нет самостоятельного, независимого от физических, биологических и прочих приложений, объекта исследования, то зачем она вообще нужна?

Ясно зачем: потому что она полезна в этих науках.
А сами науки полезны в жизни.
Если бы у неё действительно не было бы приложений
в науках, то мы бы имели бесполезную игру в бисер, вроде шахмат.

>Или физики такие дураки, что сами не разберутся, как им циклотроны строить?
Как видите, не разберутся, раз используют спектральную
последовательность Атии-Хирцебруха.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теорема Хана-Банаха прекрасно доказывается без аксиомы
выбора для сепарабельных пространств. Собственно,
в таком виде она и используется. Я как-то не могу
припомнить, чтобы Хана-Банаха использовали
для получения чего-то интересного, что не является
контрпримером.

Собственно говоря, такая же ситуация наблюдается
и с другими теоремами, использующими аксиому выбора.
Например, теорему о существовании максимального
идеала достаточно применять к нётеровым кольцам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

с другими теоремами, использующими аксиому выбора.

Аксиома выбора для несчетных множеств подразумевается?

Axiom of countable choice представляется много где необходимой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я как-то просматривал книжку, посвящённую аксиоме выбора.
В ней было приведена куча теорем, и для каждой
написано, какой форме аксиомы выбора она эквивалентна.
В частности, у меня создалось впечатление,
что несчётная аксиома выбора вообще не нужна.

Что касается счётной, здесь я уже не так уверен.
В принципе, я допускаю, что она используется в каком-то
содержательном примере. Надо только найти пример.
Секвенциальная непрерывность особого интереса не представляет, равно как и тот факт, что счётное
объединение любого семейства нульмерных множеств
нульмерно, так как в интегрировании мне кажется
более естественным подход Даниеля. Интересно,
кстати, насколько он зависит от счётной аксиомы выбора.
Надо сказать, что для любого счётного
семейства нульмерных множеств, которое мы в состоянии
предъявить, нульмерность их объединения легко
доказывается без аксиомы выбора. То есть
здесь тоже действует тезис, неявно высказанный
ранее: из любого более-менее содержательного утверждения
аксиома выбора легко устраняется.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Материал первого курса: эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне. Висит в точности на счётной аксиоме выбора (и в конструктивной математике опровергается на примерах). Эта эквивалентность содержательна?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Пропустил при первом чтении упоминание "секвенциальной непрерывности" :-( Тем не менее: она была отметена только по причине малоинтересности (что субъективно), или есть какие-то более глубокие соображения?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Она отметена по причине отсутствия применений на практике (что объективно).
Обычная непрерывность проще и удобнее в обращении.
Секвенциальная непрерывность — это архаизм,
идущий к нам из 19 века, когда люди не умели
толком обращаться со множествами и язык последовательностей,
состоящих из отдельных элементов, казался
проще, чем язык открытых множеств.
Кроме того, для общих топологических пространств
(без локальной счётной базы) понятия секвенциальной
непрерывности и непрерывности различаются, и используется
именно непрерывность, а не секвенциальная непрерывность.
Можно, конечно, решить эту проблему путём замены
последовательностей на направленности, но это
ещё тоскливее.
Не случайно общая топология излагается на
языке открытых множеств, а не на языке направленностей
— первый попроще будет.
Вообще, меня удивляет математическая отсталость
преподавателей анализа — его преподавание
не изменилось по сравнению с 19 веком.
С тех пор появилось несколько дисциплин, упрощающих
изложение (и понимание!) курса анализа и дающих
более концептуальные и понятные объяснения старых фактов.
Общая топология позволяет навсегда избавиться
от последовательностой и языка эпсилон-дельта
(за эпсилон-дельта я бы вообще убивал, это
просто ужас какой-то), но нет, аналитики считают,
что они умнее, и лучше преподавать по-старому.
Гладкие многообразия полностью перевернули
«многомерный анализ» и сделали
ненужным многократно дублирующее
само себя изложение (например, в виде формул
Грина, криволинейного интеграла,
Гаусса-Остроградского, Стокса, теоремы о градиенте,
а также формулы Ньютона-Лейбница —
вместо одной теоремы рассказывают шесть!),
они также позволили чрезвычайно компактно переписать
громоздкие формулы (с определителями и без)
и придать им интуитивный геометрический смысл
(что крайне важно для понимания).
Но нет, говорят аналитики, мы умнее, мы будем
всё преподавать по-старому.
Аппарат топологических векторных пространств
очень хорошо подходит для изложения интегрирования,
но только не для аналитиков —
они будут продолжать мучать бедных студентов чудовищным
изложением на сигма-алгебрах множеств.
Группы Ли преобразили гармонический анализ
— аналитики будут по-прежнему мучать
студентов идиотским изложением на уровне
девятнадцатого века.
По-моему, дисциплину «математический
анализ» надо запретить как исключительно
вредную для студентов (боюсь, что у многих
студентов после изучения «математического анализа» пропадает желание заниматься математикой)
и вместо неё ввести нормальные курсы общей топологии,
гладких многообразий, гармонического анализа
(в современном изложении) и теории интегрирования
(на основе топологических векторных пространств,
изученных в курсе функционального анализа).

Для представителей второй культуры можно
ввести факультативный курс методов классического анализа,
на котором изучать немногочисленные остатки
(в основном это будут признаки сходимости рядов,
впрочем, мне кажется, что на практике можно
всегда обойтись обобщённым логарифмическим признаком),
а также методы вычисления пределов, производных, а
также интегралов (в основном, видимо, с помощью
рядов Тейлора), в частности, их асимптотической оценки.
Впрочем, это скорее получается не теоретический,
а практический курс.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теорема Хана-Банаха прекрасно доказывается без аксиомы
выбора для сепарабельных пространств.

Разве? Тут (Top. Appl. 1997, 77, 193-211) написано, что нужна аксиома зависимого выбора, каковая влечет счетную аксиому выбора. То есть не то чтобы нужна, но пишут что сепарабельную версию с ней удалось доказать, а со счетной вроде как не удалось.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я имел ввиду самую общую (несчётную) форму аксиомы выбора.
Действительно, для того доказательства нужна аксиома
зависимого выбора.

Опять же, я думаю, что если посмотреть на конкретные
случаи содеражтельного использования
Хана-Банаха для сеперабельных пространств,
то скорее всего из них можно исключить аксиому выбора
полностью.

Хотя в принципе, конечно, можно пользоваться аксиомой
зависимого выбора и радоваться жизни.

(Reply to this) (Parent)

>Я как-то не могу
>припомнить, чтобы Хана-Банаха использовали
>для получения чего-то интересного, что не является
>контрпримером.

Доказательство того, что любая комплексная поверхность
с четным b_1 кэлерова следует из Хана-Банаха. Есть результаты
(во вполне приличной алгебраической геометрии), которые без
Хана-Банаха не получаются (пока).

Библиография
http://arxiv.org/abs/math/0105176
http://lj.rossia.org/community/ljr_math/20024.html

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Есть результаты
(во вполне приличной алгебраической геометрии), которые без
Хана-Банаха не получаются (пока).

Очень интересно.
Именно без Хана-Банаха для несепарабельных пространств?
Тогда я был неправ.
Кстати, а какого типа там возникают пространства?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Самые простые - пространства дифф. форм
на многообразии. Гладких, обыкновенно
(пишу сейчас про вещественно аналитические,
но я первый, кажется).

Обойтись зависимым выбором получится, счетным
едва ли (хотя если делать зависимый выбор по всем
счетным ординалам, его хватит, конечно).

Думаю, что после того, как окажется, что
ZF+AC (и лично ZF) противоречива, какие-то версии
Хана-Банаха останутся справедливыми и в следующей
версии математики, уж очень интуитивно ясное утверждение.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)

Таких результатов о полноте, насколько я знаю, нет -- так как трудно
формализовать понятие "утверждение про измеримые". Даже ведь и неформально, утверждение, что иеизмеримых нет, что-то говорит про измеримые...

(Reply to this) (Parent)

А "верные" ૼ это, простите, какие? Мне вот, например, неизвестно, чтобы у теории множеств была семантика.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

выводимые при наличии обычной человеческой аксиомы выбора

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Из одной аксиомы выбора много не навыводишь — так что, вероятно, имеется в виду "выводимые в ZF". В контексте рассуждений об альтернативах к оной — позиция просто потрясающая. Сказали бы уж прямо (как Хелемский, например, в своём учебнике функана и предлагает): в аксиому выбора и ZF я попросту верую, а потому и рассматриваю все прочие аксиоматики под углом зрения этой своей веры. Тогда сразу было бы ясно, что все Ваши претензии к Лукашенко — обычная религиозная война, очередное выяснение, какая из бессмысленностей лучше спасает души: интеграл Данжуа или базис Гамеля.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

бесспорно, я верую в то, что у всякого поля есть алгебраическое замыкание (ибо это удобная позиция, в том смысле что можно не заботиться о решении алгебраической задачи с помощью конечных расширений, тем более что такое рассуждение и так можно провести). И он (Лукашенко) верует в равносильные этому утверждения. Так что не понимаю, какая здесь религиозная война.

Вообще-то, вы могли заметить, что мы спорим не об актуальности извращенных интегралов в преподавании, а о научности изучения неизмеримого. И уж могли бы заметить, КАКУЮ позицию я занимаю. Ваш комментарий немного не к месту. Я не веду душеспасительных споров, подобно многим своим коллегам, ибо это абсолютно бессмысленно (каждый останется при своем мнении, даже все российское математическое комьюнити не смогло переубедить в чем-либо Подольского). И прошу не пытаться сводить меня к распространенному случаю, делая безосновательные выводы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

На самом деле спор ни о чём, поскольку для тех полей, которые
встречаются на практике, существование алгебраического расширения
доказывается без аксиомы выбора (её наиболее общей несчётной формы).
При этом класс таких полей очень щирок.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

К слову, Концевич спрашивал как-то построить явно алгебраическое замыкание конечного поля, не использующий априорного упорядочения полиномов (если я правильно понял, как-то так). По его словам, это
имело отношение к статье http://arxiv.org/abs/math/0702206
Notes on motives in finite characteristic . *Кажется*, при этом он таки произносил слова "не использующий аксиому выбора".
-

Метод, который не хочется---метод,
использующий добавление корней полиномов по порядку
(например, лексиграфическое)---по сути использующийся в
сюрреалистичных часлах Конвея...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что-то я не понял с числами Конвея.
Они ведь конструируются сами по себе, без
всяких присоединений корней, поэтому конструкция
мне кажется канонической. Или я не прав?

Кстати, существование алгебраического
замыкание рациональных чисел не требует
никакой аксиомы выбора, единственность
счётного алгебраического замыкания
тоже не требует никакой аксиомы выбора,
а вот единственность любого замыкания
требует довольно слабую форму — счётное
объединение конечных множеств счётно
(если я не ошибаюсь). Это обсуждалось в рассылке FoM.

Интересно, каков аналог этого факта для конечных полей?
Может, там тоже нет единственности без слабой
формы аксиомы выбора? Я уверен, что
счётные замыкания у них единственны.
Отсутствие общей единственности (если таковое
имеет место) будет говорить не в пользу
существования канонической конструкции.
Хотя кто знает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Кстати, вопрос: можно ли математически строго сформулировать,
что мы хотим? Просто рассуждения про добавление
корней многочленов слишком уж неформальны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Кстати, для счётного замыкания рациональных
чисел каноническая конструкция существует: надо
взять любое из двух вложений алгебраических чисел в комплексные.
Что может являться аналогом комплексных чисел для
случая ненулевой характеристики?
Может здесь должны возникнуть формальные степенные ряды
от одной переменной над конечным полем или их расширение?

(Reply to this) (Parent)

> Вообще-то, вы могли заметить, что мы спорим
> не об актуальности извращенных интегралов в преподавании,
> а о научности изучения неизмеримого

Вообще-то, Вы могли бы заметить, что и я о том же. И вот как раз в этом вопросе Ваша позиция чисто религиозная: всё, что вытекает из ZF, есть истина, а всё, что вытекает из других аксиоматик, может считаться таковой лишь постольку, поскольку не противоречит ZF. Религиозна же такая позиция потому, что никаких оснований признавать истину именно за ZF, кроме голой веры, науке до сих пор отыскать не удалось. Что не так?

> все российское математическое комьюнити не смогло переубедить в чем-либо Подольского

В.Е. в роли оппонента математического сообщества? Держите меня семеро. Вы его ни с кем не путаете?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В принципе, спор ни о чём, посколько
утверждение об истинности ZF равносильно
существованию вполне отделимого элементарного топоса с объектом
натуральных чисел.
Так что на самом деле все теоремы в ZF следует
воспринимать так: если T — вполне отделимый
элементарный топос с объектом натуральных чисел,
то тогдка верно следующее: …
Этот факт устраняет сам предмет спора и делает всё яснее.
Кстати, веровать при этом ни во что не надо.
В частности, следует осознать, что в математике
нет никаких «аксиом»
(утверждений, принимаемых без доказательств
— глупость-то какая!), а есть определения.
В частности, у нас есть определение некоторого
объекта (теории множеств ZFC, или в современном
варианте, вполне отделимого элементарного
топоса с объектом натуральных чисел и аксиомой выбора) и для этого
объекта выполняются определённые свойства
(наличие алгебраического замыкания
у любого поля, построенного внутри этого объекта).
В частности, в математики не существует абсолютных
конструкций, всё делается относительно чего-либо.

Другое дело, что ZFC (или топосы, кому как
больше нравится) приняты настолько повсеместно,
что это принято не упоминать. И правильно, нечего
засорять тексты повторениями.

А для конструктивной математики вместо
топоса ZFC используется эффективный топос.
Вот, например, что я нашёл:
http://www.lfcs.inf.ed.ac.uk/reports/92/ECS-LFCS-92-208/
И теоремы в нём, конечно другие.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> если T — вполне отделимый
> элементарный топос с объектом натуральных чисел,
> то тогдка верно следующее: …
> Этот факт устраняет сам предмет спора и делает всё яснее.
> Кстати, веровать при этом ни во что не надо.

Кирпич можно взять и положить на стол. Конструктивное вещественное число — тоже (в виде распечатки соответствующей программы или дискеты, на которую эта программа записана). Можно положить на стол элементарный топос? Если нет — то в его существование остаётся именно веровать.

> А для конструктивной математики вместо
> топоса ZFC используется эффективный топос.

В конструктивной математике используется только то, что можно положить на стол. А то, что говорите Вы — это попытка понимания результатов конструктивной математики "классиками", к собственно конструктивной математике отношения не имеющая.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Может, какая-то неизмеримость поможет решать задачи про измеримость.
Практика показывает, что нет. Неизмеримые функции
никому особо не нужны и можно даже не знать про
их существование.

>Да уж. Чего стоит история с Мантуровым...
Что ещё за история с Мантуровым?
Мне известна история с его «решением задачи Плато».

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Мне известна история с его попыткой защитить докторскую. Дынников и Алания обязательно приезжают на все эти попытки. Фоменко попросил Аркашу Скопенкова написать отчет об этой работе. Аркаша честно написал, что слабая. Результат: Скопенков в немилости у Фоменко, возможно придется уходить с мехмата.

Это про задачу Плато?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Это про задачу Плато?
Ну да. Фоменко опубликовал книгу с её «решением».
Когда книгу перевели на анлгийский, Almgren указал на серьёзные
ошибки. Фоменко ошибки исправлять не стал.
Книга вышла как есть, после чего Almgren написал разгромную
рецензию. Springerу пришлось отозвать книгу (экстраординарный случай).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Только формальная реплика: смешно читать, как люди говорят о совершенно разном при полной уверенности, что об одном и том же и расходятся, удовлетворённые друг другом.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это вы о чём вообще? История про Фоменко и Almgrena хорошо известна и задокументирована.
То, что упоминание о жульничестве Фоменко вызывает у разных
людей разные ассоциации, говорит лишь о многогранности жульничества Фоменко.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Видимо о том, что работа Мантурова не имеет отношения к задаче Плато.
Это два разных инцидента; хороший ли Мантуров математик, не знаю.

Речь идет о каком Мантурове ? Этом ?

http://www.amazon.com/Knot-Theory-Vassily-Manturov/dp/0415310016
http://icm2006.org/v_f/web_UC.php?CodiSeccio=06&CodiTipusEvent=4sc&Ordenacio=ae&Format=UC4sc

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Их два — О. В. Мантуров и В. О. Мантуров,
и какой из них имеется ввиду, не очень понятно,
потому что оба занимаются узлами.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Василий Мантуров пытался защищаться в нашем матмеховском Совете (возможно, еще где-то). Завалили не без влияния приехавших на защиту московских товарищей. Виро, впрочем, был за Мантурова. Он вообще тоже в узлах понимает, не меньше Аркаши. Так что насколько сильная работа, мне сложно судить.

(Reply to this) (Parent)

По-моему, я понятно написал: я никак не комментирую существо обсуждаемых историй, я лишь констатировал, что вы говорите о совершенно разных историях, а каждому кажется, что об одной и той же.

Во всяком случае, мой коммент заведомо малозначителен.

(Reply to this) (Parent)

Одногруппник недавно слышал в стекловке реплику С.П. Новикова: "Не смейте при мне ругать картины Фоменки! Фоменко только в математике мудак, а картинки у него замечательные!"

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Картинки у него замечательные, с этим никто не спорит.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

я спорю. дурацкие

(Reply to this) (Parent)